ЕГЭ математика

Задание 17 ЕГЭ математика профиль: теория, баллы и разбор задач

Статья описывает задание 17 ЕГЭ математика профиль: критерии, теорию планиметрии, типы задач и пошаговые решения для максимального балла.

10 мин чтения
#ЕГЭ математика#задание 17 егэ математика профиль#задание 17 егэ математика профиль теория#планиметрия егэ профиль 17 задание#задание 17 егэ математика профиль сколько баллов

Что такое задание 17 профильного ЕГЭ: баллы, критерии и изменения 2025–2026

Задание 17 егэ математика профиль открывает вторую часть экзамена и посвящено планиметрии. В отличие от первой части, здесь требуется развёрнутое решение с обоснованием каждого шага. Максимально можно получить 2 первичных балла. Критерии оценки по ФИПИ детализированы на три уровня: К1 (1 балл) — верно выполнено только вычисление или дано неполное обоснование; К2 (2 балла) — решение полностью верное, логика изложена чётко, все теоремы сослаются; К3 используется редко, для задач повышенной сложности с доказательством. В демоверсиях 2025 и 2026 года структура задания не менялась: это вычисление угла, длины или площади на заданной геометрической конфигурации. Кодекс профильного уровня фиксирует умение применять свойства окружности, треугольников и четырёхугольников, теорему синусов и степень точки. Это задание 17 егэ математика профильный уровень, актуальное также для задание 17 егэ математика профильный уровень 2025 года. 17 задание егэ математика профиль сколько баллов принесёт — зависит от аккуратности оформления: даже верный ответ без доказательства оценивается в 0 баллов.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Теория по планиметрии для 17 задания: основные определения и формулы

Планиметрия егэ профиль 17 задание опирается на базовый блок определений. Окружность — множество точек, равноудалённых от центра. Хорда соединяет две точки окружности, диаметр проходит через центр и равен \(2R\). Вписанный угол имеет вершину на окружности и равен половине центрального угла (или половине меры дуги), на которую он опирается. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. 17 задание егэ математика профиль теория требует уверенного владения формулами длины дуги, площадей сектора и сегмента, теоремой синусов для радиуса описанной окружности и свойствами степеней точки.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Длина окружности
\[C = 2\\pi R = \\pi d\]
Площадь круга
\[S = \\pi R^{2} = \\dfrac{\\pi d^{2}}{4}\]
Длина дуги
\[l = \\dfrac{\\pi R \\alpha}{180^{\\circ}} = R\\alpha_{\\text{рад}}\]
Площадь кругового сектора
\[S_{\\text{сект}} = \\dfrac{\\pi R^{2}\\alpha}{360^{\\circ}} = \\dfrac{1}{2}R^{2}\\alpha_{\\text{рад}}\]
Площадь сегмента
\[S_{\\text{сегм}} = \\dfrac{\\pi R^{2}\\alpha}{360^{\\circ}} - \\dfrac{1}{2}R^{2}\\sin\\alpha\]
Длина хорды через центральный угол
\[a = 2R\\sin\\dfrac{\\alpha}{2}\]
Теорема синусов (радиус описанной окружности)
\[\\dfrac{a}{\\sin A} = 2R \\;\\Rightarrow\\; R = \\dfrac{a}{2\\sin A} = \\dfrac{abc}{4S}\]
Радиус вписанной окружности
\[r = \\dfrac{S}{p},\\qquad p = \\dfrac{a+b+c}{2}\]
Пересекающиеся хорды
\[AE\\cdot EB = CE\\cdot ED\]
Секущая и касательная из внешней точки
\[MT^{2} = MA\\cdot MB\]
Длина хорды через расстояние до центра
\[a=2\\sqrt{R^{2}-d^{2}}\]
Длина общей касательной двух окружностей
\[\\ell_{\\text{внеш}}=\\sqrt{d^{2}-(R-r)^{2}},\\qquad \\ell_{\\text{внутр}}=\\sqrt{d^{2}-(R+r)^{2}}\]
Вписанный и центральный угол
\[\\beta=\\dfrac{\\alpha}{2}\]
Угол, опирающийся на диаметр
\[\\beta=90^{\\circ}\]

Коротко

  • Вписанный угол = половина центрального на ту же дугу; угол на диаметр = 90°.
  • Касательная ⊥ радиусу в точке касания; две касательные из точки равны.
  • Пересекающиеся хорды: AE·EB = CE·ED; секущая и касательная: MT² = MA·MB.
  • Теорема синусов: a/sin A = 2R, поэтому R = a/(2 sin A).
  • Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов = 180°.
  • Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны.
  • Длина дуги l = πRα/180°; площадь сектора S = πR²α/360°.
  • Сегмент = сектор − треугольник: S = πR²α/360° − ½R²·sin α.
  • Хорда через центральный угол: a = 2R·sin(α/2).
  • Радиус вписанной окружности r = S/p, где p — полупериметр.
  • Отрезок AB виден под прямым углом из точек окружности с диаметром AB; изнутри круга — под тупым, снаружи — под острым.
  • Касание окружностей: O₁O₂=R+r (внешнее) или O₁O₂=|R-r| (внутреннее); длина внешней общей касательной √(d²-(R-r)²).

По этой теме есть отдельный разбор: формулы площадей фигур.

Все типы и прототипы 17 задания: от ФИПИ до зачетных вариантов 2027

Все типы 17 задания егэ математика профиль можно разделить на несколько прототипов. Первый — вычисление углов, длин или площадей на готовой схеме (треугольник, четырёхугольник, окружность). Второй — задачи на степень точки: пересекающиеся хорды, секущие и касательные из внешней точки. Третий — применение теоремы синусов для нахождения радиуса описанной окружности или стороны треугольника. Четвёртый — свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Прототипы 17 задания егэ математика профиль регулярно публикуются в открытом банке ФИПИ; их разбор даёт устойчивый навык распознавания типа по условию. Зачетные задания 17 егэ математика профиль 2027 сохранят те же идеи, но могут усложнять конфигурацию: добавлять дополнительные построения, комбинировать несколько теорем в одной цепочке или требовать обратный ход (найти угол по известной площади сектора).

Как решать 17 задание: методы, разбор примеров и алгоритмы

Разбор 17 задания егэ математика профиль показывает, что решение строится по жёсткому алгоритму: прочитать условие, сделать точный черновик, отметить известные и искомые величины, выбрать теорему, записать равенство, вычислить ответ. Решение заданий 17 егэ математика профиль ускоряется, если сразу классифицировать конфигурацию. Как решать 17 задание егэ математика профиль — ниже по методам.

Высота из прямого угла к гипотенузе делит гипотенузу на отрезки, связанные соотношением катетов.
Высота из прямого угла к гипотенузе делит гипотенузу на отрезки, связанные соотношением катетов.

  1. Счёт углов через вписанный угол
  2. Шаг 1. Отметьте, какая вершина у угла: в центре (центральный) или на окружности (вписанный).
  3. Шаг 2. Переведите всё к дугам: центральный угол = дуга, вписанный = половина дуги.
  4. Шаг 3. Используйте, что углы на одну дугу равны, а угол на диаметр равен 90°.
  5. Шаг 4. Если фигура — треугольник, добавьте, что сумма углов равна 180°.
  6. Шаг 5. Выразите искомую величину и сосчитайте.

  1. Степень точки: пересекающиеся хорды и секущие
  2. Шаг 1. Определите положение точки: внутри круга (хорды) или снаружи (секущие/касательная).
  3. Шаг 2. Внутри: приравняйте произведения отрезков хорд AE·EB = CE·ED.
  4. Шаг 3. Снаружи для двух секущих: MA·MB = MC·MD (полные расстояния до дальних точек).
  5. Шаг 4. Снаружи для касательной и секущей: MT² = MA·MB.
  6. Шаг 5. Подставьте известные длины и решите уравнение относительно неизвестного отрезка.

  1. Касательная + радиус: прямой угол
  2. Шаг 1. Проведите радиус в точку касания — получите прямой угол между радиусом и касательной.
  3. Шаг 2. Выделите прямоугольный треугольник (радиус, отрезок касательной, линия к центру).
  4. Шаг 3. Примените теорему Пифагора или тригонометрию к этому треугольнику.
  5. Шаг 4. Если касательных две — используйте равенство отрезков и симметрию относительно линии центров.

  1. Радиус описанной окружности
  2. Шаг 1. Найдите сторону a и противолежащий ей угол A.
  3. Шаг 2. Примените теорему синусов: R = a/(2·sin A).
  4. Шаг 3. Если известны все три стороны, используйте R = abc/(4S), где S — по формуле Герона.
  5. Шаг 4. Для прямоугольного треугольника сразу: R = половина гипотенузы.

  1. Вписанные и описанные четырёхугольники
  2. Шаг 1. Определите тип: вписан в окружность или описан около неё.
  3. Шаг 2. Вписанный: суммы противоположных углов = 180° — выразите нужный угол.
  4. Шаг 3. Описанный: суммы противоположных сторон равны — составьте уравнение на сторону.
  5. Шаг 4. Дополнительно используйте вписанные углы и касательные, если они есть.
  6. Шаг 5. Проверьте, не является ли четырёхугольник частным видом (трапеция, ромб).

  1. Площадь сектора и сегмента
  2. Шаг 1. Найдите центральный угол α, соответствующий дуге, и радиус R.
  3. Шаг 2. Площадь сектора: S = πR²·α/360° (α в градусах).
  4. Шаг 3. Для сегмента вычтите площадь треугольника: \(S_сегм =\) \(S_сект\) − ½R²·sin α.
  5. Шаг 4. Аккуратно определите, берётся меньший или больший сегмент/сектор.
  6. Шаг 5. Если фигура составная — разбейте её на секторы и треугольники.

  1. Дополнительные построения в задании 17
  2. Шаг 1. Проведите радиусы в точки касания и к концам ключевых хорд.
  3. Шаг 2. Соедините центр с вершинами, ищите равнобедренные треугольники (два радиуса равны).
  4. Шаг 3. Отметьте все прямые и равные углы (касательная-радиус, вписанные на одну дугу).
  5. Шаг 4. Докажите требуемое подобие/равенство, затем перейдите к числовому вычислению.
  6. Шаг 5. Ответ обязательно проверьте на согласованность с данными (положительность, неравенство треугольника).

  1. Углы окружности через дуги
  2. Шаг 1. Определите положение вершины угла: в центре, на окружности, внутри круга или вне его.
  3. Шаг 2. Центральный угол равен дуге; вписанный и угол между касательной и хордой — половине дуги.
  4. Шаг 3. Вершина внутри круга (пересекающиеся хорды): угол равен полусумме двух дуг.
  5. Шаг 4. Вершина вне круга (секущие/касательные): угол равен полуразности дальней и ближней дуг.
  6. Шаг 5. Сложите или вычтите дуги и переведите результат обратно в искомый угол.

Оформление решения 17 задания: требования экспертов и частые ошибки

Оформление 17 задания егэ математика профиль — это отдельный навык. Эксперт ищет: чёткий чертеж с подписями, ссылки на теоремы («по теореме о вписанном угле», «по свойству касательной»), логические переходы «следовательно», «отсюда». Каждое числовое равенство должно иметь словесное обоснование. Ответ выделяется в конце. Частые ошибки стоят баллов — ниже сравнение неверного и верного подхода.

❌ ошибкаВписанный угол приравнивают к дуге, на которую он опирается.
✅ верноВписанный угол равен половине дуги (и половине центрального угла на ту же дугу).
Путают центральный и вписанный углы; центральный равен дуге, а вписанный — вдвое меньше.
❌ ошибкаВ формуле степени внешней точки берут только ближние отрезки секущих.
✅ верноДля секущих из внешней точки перемножают полные расстояния до дальних точек: MA·MB = MC·MD.
Степень точки использует произведение расстояний до обеих точек пересечения, а не отрезок между ними.
❌ ошибкаПлощадь сегмента считают как площадь сектора.
✅ верноИз сектора вычитают площадь треугольника: \(S_сегм =\) πR²α/360° − ½R²·sin α.
Сегмент отсекается хордой, поэтому из кругового сектора нужно убрать треугольник с вершиной в центре.
❌ ошибкаСчитают, что около любого четырёхугольника можно описать окружность.
✅ верноТолько если суммы противоположных углов равны 180° (для вписанного) или суммы противоположных сторон равны (для описанного).
Условия вписанности и описанности — критерии, а не свойство любого четырёхугольника; их надо проверять.
❌ ошибкаВ теореме синусов пишут R вместо 2R: a/sin A = R.
✅ верноВерно a/sin A = 2R, поэтому R = a/(2·sin A).
Забывают множитель 2 — отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру, а не радиусу.
❌ ошибкаДлину дуги считают по формуле площади сектора и наоборот.
✅ верноДлина дуги l = πRα/180°, а площадь сектора S = πR²α/360°.
Дуга линейна по R, площадь квадратична; путаница в степени R и в знаменателе (180 против 360).
❌ ошибкаУгол между секущими из внешней точки считают как полусумму дуг
✅ верноВнутри круга (пересечение хорд) — полусумма дуг, вне круга (секущие/касательные) — полуразность дуг
Знак определяется положением вершины: внутренние конфигурации дуги складывают, внешние — вычитают.

Задания 17, 18, 19: связь тем и стратегия второй части

17 18 19 задания егэ математика профиль формируют ядро второй части. Планиметрия 17-го даёт базу для стереометрии 18-го: теорема синусов, свойства вписанных углов, степень точки работают и в пространстве (сечения, углы между прямыми и плоскостями). Задача 19 с параметром часто требует геометрической интерпретации (окружности, расстояния, касательные), поэтому навыки 17-го напрямую переносятся. Стратегия набора баллов: стартовать с 17-го (самый предсказуемый, 2 балла за 10–15 минут), переходить к 18-му (требует объёмного мышления, 3 балла), оставлять 19-й на конец (4 балла, но высокий риск). Общие приёмы — дополнительные построения, переход к координатам или векторам, использование симметрии — универсальны для всех трёх номеров.

Частые вопросы

17 задание егэ математика профиль сколько баллов? Максимум 2 первичных балла. 1 балл даётся за верное вычисление с неполным обоснованием или за правильный ход решения с арифметической ошибкой в конце.

17 задание егэ математика профиль сколько? В тесте один такой номер. Он стоит 2 первичных балла, что примерно соответствует 3–4 тестовым баллам шкалирования.

Как оценивается 17 задание егэ математика профиль? По критериям К1–К3 ФИПИ. К1 (1 балл) — верный ответ или верное уравнение без завершения. К2 (2 балла) — полное верное решение с обоснованием всех шагов и правильным ответом.

Как решать 17 задание егэ математика профиль? Алгоритм: точный чертеж → анализ конфигурации → выбор теоремы (вписанный угол, степень точки, теорема синусов, свойства четырёхугольников) → запись равенств со ссылками на теоремы → вычисления → проверка ответа на реалистичность.

По этой теме есть отдельный разбор: теоремы и свойства треугольников.

По этой теме есть отдельный разбор: примеры планиметрических задач ЕГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: как переводятся баллы ЕГЭ по математике.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Что такое логарифм простыми словами: свойства, формулы и примеры2026-07-16Что такое производная функции простыми словами: объяснение2026-07-14Экономическая задача ЕГЭ математика профиль: решение задания 162026-07-14Как решать квадратные уравнения через дискриминант2026-07-16