Все четыре :::formulas блока исправлены. Вот полный файл:
--- title: Что такое арктангенс угла и арккотангенс: объяснение description: Что такое арктангенс угла — обратная тригонометрическая функция: по tg восстанавливают угол. Разбор для ЕГЭ/ОГЭ простыми словами, таблица и примеры. slug: chto-takoe-arktangens-ugla keywords: [что такое арктангенс угла, что такое арктангенс простыми словами, что такое арктангенс и арккотангенс, что такое арктангенс угла в прямоугольном треугольнике, что такое arctg] author: Алмаз date: 2026-07-30 cluster: trigonometriya ---
Тригонометрия не ограничивается синусом и косинусом. Арктангенс и арккотангенс — обратные тригонометрические функции: они решают обратную задачу и по значению тангенса (или котангенса) восстанавливают угол. На ЕГЭ и ОГЭ эти функции встречаются в уравнениях, задачах на нахождение углов геометрических фигур и в записи общего решения. Ниже — строгие определения, сравнительная таблица и разобранные примеры.
Что такое арктангенс простыми словами (arctg)
Тангенс принимает угол и возвращает число. Арктангенс делает ровно обратное: принимает число и возвращает угол.
Простая иллюстрация:
\[ \tg 45° = 1 \quad\Rightarrow\quad \arctg 1 = 45°. \]
Если \(\tg \alpha = x\), то \(\arctg x = \alpha\). Это и есть смысл функции — «раскрутить» тангенс назад к углу.
Ещё два примера из таблицы:
\[ \tg 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \;\Rightarrow\; \arctg\frac{1}{\sqrt{3}} = 30°; \qquad \tg 60° = \sqrt{3} \;\Rightarrow\; \arctg\sqrt{3} = 60°. \]
Обозначают функцию двумя способами: \(\arctg\) — в русскоязычных учебниках и на ЕГЭ, \(\arctan\) — в международной литературе и программировании. Смысл одинаков.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Точное определение: что такое арктангенс угла
Чтобы функция была однозначной, область её значений ограничивают.
Определение. Арктангенсом числа \(a\) называют такое число \(\alpha\) из промежутка \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)\), тангенс которого равен \(a\):
\[ \arctg a = \alpha \;\iff\; \tg \alpha = a, \quad \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right). \]
Ключевые свойства, которые вытекают из определения:
- - Область определения — все вещественные числа \(\mathbb{R}\): тангенс принимает любые значения, значит \(\arctg a\) существует при любом \(a\).
- - Область значений — открытый промежуток \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)\); крайние точки не достигаются.
- - Функция строго возрастает: чем больше \(a\), тем больше \(\arctg a\).
- - Функция нечётна: \(\arctg(-a) = -\arctg a\).
Для сравнения: арккосинус \(\arccos a\) определён только при \(a \in [-1;\,1]\) и принимает значения из \([0;\,\pi]\). Арктангенс удобнее — у него нет ограничений на аргумент.
Арктангенс угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему:
\[ \tg \alpha = \frac{a}{b}, \]
где \(a\) — противолежащий катет, \(b\) — прилежащий, \(c\) — гипотенуза.
Отсюда сразу следует геометрический смысл: арктангенс угла в прямоугольном треугольнике — это острый угол \(\alpha\), у которого противолежащий катет равен \(a\), а прилежащий — \(b\):
\[ \alpha = \arctg \frac{a}{b}. \]
` /| / | c / | a / | / α | \(/_____|\) b `
Пример. Катеты треугольника равны 3 и 4. Найти острый угол при прилежащем катете \(b = 4\):
\[ \alpha = \arctg \frac{3}{4} \approx 36{,}87°. \]
Такой ответ — в виде \(\arctg\) — встречается в геометрии и физике, когда нет табличного значения. Это точная запись, которую принимают на экзамене.
Что такое арккотангенс и чем он отличается от арктангенса
Арккотангенс — обратная функция к котангенсу.
Определение. Арккотангенсом числа \(a\) называют такое число \(\alpha\) из промежутка \((0;\,\pi)\), котангенс которого равен \(a\):
\[ \arcctg a = \alpha \;\iff\; \ctg \alpha = a, \quad \alpha \in (0;\,\pi). \]
Сравнительная таблица двух функций:
| Свойство | \(\arctg a\) | \(\arcctg a\) | |---|---|---| | Область определения | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | | Область значений | \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)\) | \((0;\,\pi)\) | | Монотонность | возрастает | убывает | | Значение при \(a = 0\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
Главное тождество, связывающее обе функции:
\[ \arctg a + \arcctg a = \frac{\pi}{2} \quad \text{для любого } a \in \mathbb{R}. \]
Это прямой аналог тождества \(\arcsin a + \arccos a = \dfrac{\pi}{2}\), которое верно при \(a \in [-1;\,1]\).
Таблица значений арктангенса и арккотангенса
Табличные значения нужно знать наизусть — они позволяют записать ответ точно, без калькулятора.
| \(a\) | \(\arctg a\) (рад) | \(\arctg a\) (град) | \(\arcctg a\) (рад) | \(\arcctg a\) (град) | |---|---|---|---|---| | \(0\) | \(0\) | \(0°\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(90°\) | | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(30°\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(60°\) | | \(1\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(45°\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(45°\) | | \(\sqrt{3}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(60°\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(30°\) |
Как читать таблицу на экзамене:
- 1. Если под знаком арктангенса стоит \(0,\;\tfrac{1}{\sqrt{3}},\;1\) или \(\sqrt{3}\) — значение берётся из таблицы напрямую.
- 2. Если значение нетабличное — ответ оставляют в виде \(\arctg(\ldots)\). На ЕГЭ это полноценная точная запись.
- 3. Столбец \(\arcctg\) можно не запоминать отдельно: достаточно вычесть \(\arctg a\) из \(\dfrac{\pi}{2}\) по тождеству.
Коротко
- \(\arctg 0 = 0\), \(\arcctg 0 = \dfrac{\pi}{2}\)
- \(\arctg 1 = \dfrac{\pi}{4}\), \(\arcctg 1 = \dfrac{\pi}{4}\)
- \(\arctg \sqrt{3} = \dfrac{\pi}{3}\), \(\arcctg \sqrt{3} = \dfrac{\pi}{6}\)
- Нетабличный ответ оставляют в виде \(\arctg(\ldots)\) — это точная запись
По этой теме есть отдельный разбор: таблицу значений тригонометрических функций.
Как найти арктангенс: решение уравнений
Арктангенс появляется как только уравнение приводится к виду \(\tg x = a\).
Формула общего решения:
\[ \tg x = a \;\Rightarrow\; x = \arctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. \]
Период тангенса равен \(\pi\), а не \(2\pi\) — это самая частая ошибка на ЕГЭ. Тангенс повторяется каждые полоборота, поэтому серия идёт с шагом \(\pi n\).
Пример. Решить уравнение \(\tg x = \sqrt{3}\).
- Решение уравнения tg x = √3
- Шаг 1. Фиксировать ОДЗ: \(\cos x \neq 0\), то есть \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n\).
- Шаг 2. Проверить, табличное ли значение: \(\tg \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\). Да.
- Шаг 3. Записать общее решение: \(x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\).
- Шаг 4. Убедиться, что корни не попадают в запрещённые точки: \(\dfrac{\pi}{3} + \pi n \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n\) — ОДЗ выполнена.
Нетабличный пример — \(\tg x = 5\):
\[ x = \arctg 5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. \]
Для отбора корней на отрезке подставляют конкретные значения \(n\) и решают неравенство — надёжнее, чем прикидка на глаз.
Частые ошибки при работе с арктангенсом
Три ошибки встречаются в решениях особенно часто.
Правило запоминания диапазонов. Арктангенс ведёт себя как арксинус: область значений симметрична, проходит через ноль. Арккотангенс ведёт себя как арккосинус: область значений строго положительная, \((0;\,\pi)\).
Коротко
- Период тангенса и котангенса — \(\pi\): пишем \(+\pi n\), не \(+2\pi n\)
- ОДЗ тангенса: \(\cos x \neq 0\) — фиксировать до решения, проверять после
- Область значений: \(\arctg x \in \left(-\tfrac{\pi}{2};\,\tfrac{\pi}{2}\right)\), \(\arcctg x \in (0;\,\pi)\)
- Нечётность: \(\arctg(-a) = -\arctg a\) — минус выносится наружу
Частые вопросы
Что такое арктангенс простыми словами?
Арктангенс — это угол, тангенс которого равен данному числу. Если \(\tg \alpha = x\), то \(\arctg x = \alpha\). Функция переводит число обратно в угол, причём результат всегда лежит в промежутке \(\left(-90°;\,90°\right)\).
Что такое арктангенс угла?
Арктангенс угла — значение \(\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)\), тангенс которого равен заданному числу \(a\). Область определения — все вещественные числа: в отличие от арксинуса и арккосинуса, ограничений на аргумент нет.
Что такое арктангенс и арккотангенс и чем они отличаются?
Обе функции обратны к тангенсу и котангенсу соответственно. Разница — в области значений: арктангенс принимает значения из \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)\), арккотангенс — из \((0;\,\pi)\). Монотонность тоже разная: арктангенс возрастает, арккотангенс убывает. Связь между ними: \(\arctg a + \arcctg a = \dfrac{\pi}{2}\).
Что такое арктангенс угла в прямоугольном треугольнике?
В прямоугольном треугольнике \(\arctg\dfrac{a}{b}\) — острый угол, у которого противолежащий катет равен \(a\), а прилежащий — \(b\). Используется, когда нужно найти угол по длинам катетов, а ответ не совпадает с табличным значением.
Что такое arctg?
\(\arctan\) (международное) и \(\arctg\) (русское) — два обозначения одной функции: арктангенса. Возвращает угол в радианах из промежутка \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)\). В языках программирования та же функция обычно называется atan или arctan.
По этой теме есть отдельный разбор: арксинус и арккосинус.
По этой теме есть отдельный разбор: синус и косинус.
По этой теме есть отдельный разбор: тригонометрической окружности.
---
Что исправлено: во всех четырёх блоках :::formulas удалены обёртки \( \) из значений формул — TeX теперь подаётся «голым», без делимитеров.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.