Формулы двойного угла — один из базовых инструментов тригонометрии в 10 классе и на ЕГЭ. В статье разберём вывод формул из формул сложения, дадим сводную таблицу и покажем решение типовых задач шаг за шагом.
Что такое двойной угол и зачем нужны эти формулы
Двойной угол — это угол \(2\alpha\), то есть угол вдвое больший данного \(\alpha\). Тригонометрические формулы двойного угла выражают \(\sin 2\alpha\), \(\cos 2\alpha\) и \(\tg 2\alpha\) через значения функций от исходного угла \(\alpha\).
На первый взгляд кажется логичным: \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\) — просто умножить на два. Это главное заблуждение при изучении темы. Двойка стоит при аргументе, а не при значении функции, и к умножению на два это не сводится. Как именно связаны \(\sin 2\alpha\) и функции от \(\alpha\) — объясняет формула сложения.
Три типичных сценария применения:
- - произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\) в выражении заменяется на \(\tfrac{1}{2}\sin 2\alpha\) и запись становится компактнее;
- - уравнение вида \(2\sin x\cos x = a\) сворачивается в \(\sin 2x = a\) и решается стандартно;
- - квадраты \(\sin^2 x\) и \(\cos^2 x\) понижаются по степени до линейных комбинаций через \(\cos 2x\).
Именно эти три применения делают формулы двойного угла в тригонометрии незаменимыми с первых недель 10 класса.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Вывод тригонометрических формул двойного угла из формул сложения
Двойной угол — частный случай суммы: \(2\alpha = \alpha + \alpha\). Тригонометрические формулы двойного угла выводятся из формул сложения, если в них положить \(\beta = \alpha\).
Синус двойного угла
Формула синуса суммы: \[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta.\]
Полагаем \(\beta = \alpha\): \[\sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.\]
Итог: \[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.\]
Косинус двойного угла
Формула косинуса суммы: \[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta.\]
Полагаем \(\beta = \alpha\): \[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.\]
Это первый вид. Из основного тригонометрического тождества \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) выводят ещё два.
Второй вид — заменяем \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\): \[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1.\]
Третий вид — заменяем \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\): \[\cos 2\alpha = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha.\]
Все три вида — одна и та же формула в разных «упаковках». Выбор зависит от того, что уже стоит в задаче.
Тангенс двойного угла
Формула тангенса суммы: \[\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\,\tg\beta}.\]
Полагаем \(\beta = \alpha\): \[\tg 2\alpha = \frac{\tg\alpha + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\alpha} = \frac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}.\]
Формула определена при \(\cos\alpha \neq 0\) и при \(\tg\alpha \neq \pm 1\) — при этих значениях знаменатель обнуляется, то есть \(\cos 2\alpha = 0\).
Таблица формул двойного угла: sin 2α, cos 2α, tg 2α
Формулы понижения степени — это перевёрнутые формулы второго и третьего видов \(\cos 2\alpha\): из них выразили \(\sin^2\alpha\) и \(\cos^2\alpha\) через \(\cos 2\alpha\). Котангенс двойного угла встречается реже, но выводится аналогично: \(\ctg 2\alpha = \dfrac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\).
По этой теме есть отдельный разбор: таблице значений sin, cos и tg.
Примеры с решениями — применяем формулы двойного угла
Ниже разобраны четыре задачи, которые охватывают основные типы применения. Именно такие формулы двойного угла примеры с решениями встречаются в учебниках 10 класса и на репетиционных вариантах.
Задача 1. Упрощение выражения
Упростить: \(\dfrac{\sin 2\alpha}{2\cos\alpha}\).
Раскрываем числитель: \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\).
\[\frac{\sin 2\alpha}{2\cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos\alpha} = \sin\alpha \quad (\cos\alpha \neq 0).\]
Задача 2. Уравнение с sin 2x
Решить: \(\sin 2x = \sqrt{3}\cos x\).
Шаг 1. Раскрываем левую часть по формуле двойного угла: \(2\sin x\cos x = \sqrt{3}\cos x\).
Шаг 2. Переносим всё в одну сторону: \(2\sin x\cos x - \sqrt{3}\cos x = 0\).
Шаг 3. Выносим общий множитель: \(\cos x\,(2\sin x - \sqrt{3}) = 0\).
Шаг 4. Произведение равно нулю:
\[\cos x = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.\]
\[2\sin x - \sqrt{3} = 0 \;\Rightarrow\; \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \;\Rightarrow\; x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \;\text{ или }\; x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.\]
Ответ: \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n;\quad x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\quad x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad n, k \in \mathbb{Z}.\)
Задача 3. Уравнение через cos 2x — замена переменной
Решить: \(\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0\).
Шаг 1. В уравнении стоит \(\cos x\) — берём второй вид: \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\).
\[2\cos^2 x - 1 - 3\cos x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0.\]
Шаг 2. Замена \(t = \cos x\), \(t \in [-1;\,1]\):
\[2t^2 - 3t + 1 = 0, \quad D = 9 - 8 = 1, \quad t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{1}{2}.\]
Оба значения лежат в \([-1;\,1]\), оба допустимы.
Шаг 3. Решаем простейшие уравнения:
\[\cos x = 1 \;\Rightarrow\; x = 2\pi n;\] \[\cos x = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.\]
Ответ: \(x = 2\pi n\) и \(x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.\)
Задача 4. Однородное уравнение
Решить: \(\sin^2 x - \sin x\cos x = 0\).
Шаг 1. Проверяем, является ли \(\cos x = 0\) корнем. При \(\cos x = 0\): \(\sin^2 x = 1\), уравнение даёт \(1 - 0 = 1 \neq 0\). Не является — делить на \(\cos^2 x\) можно.
Шаг 2. Делим обе части на \(\cos^2 x\):
\[\tg^2 x - \tg x = 0.\]
Шаг 3. Выносим общий множитель:
\[\tg x\,(\tg x - 1) = 0.\]
Шаг 4. Каждый множитель — нулю:
\[\tg x = 0 \;\Rightarrow\; x = \pi n;\] \[\tg x = 1 \;\Rightarrow\; x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.\]
Ответ: \(x = \pi n\) и \(x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.\)
Формулы двойного угла на ЕГЭ: как применять в задачах
Формулы двойного угла на ЕГЭ встречаются прежде всего в задании 13 (решить тригонометрическое уравнение) и задании 18 (то же уравнение плюс отбор корней на заданном промежутке).
Какой вид cos 2α выбрать
Это решение принимается по тому, что уже стоит в уравнении:
- - рядом \(\cos x\) или \(\cos^2 x\) — берём \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\), чтобы выразить всё через косинус;
- - рядом \(\sin x\) или \(\sin^2 x\) — берём \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\);
- - нужно разложить на множители — берём \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)\).
Неправильный выбор вида не делает задачу нерешаемой, но создаёт лишние преобразования — потери времени на ЕГЭ этого не нужно.
Отбор корней на промежутке
- Отбор корней на отрезке
- Шаг 1. Записать каждую серию корней в виде \(x = f(n)\), \(n\in\mathbb{Z}\), не смешивая серии.
- Шаг 2. Для каждой серии составить неравенство \(a \le f(n) \le b\), где \([a;\,b]\) — заданный промежуток.
- Шаг 3. Решить неравенство относительно \(n\) и найти все целые \(n\) в полученном диапазоне.
- Шаг 4. Подставить целые \(n\), вычислить конкретные значения и записать только те, что лежат в \([a;\,b]\).
Подбор «на глаз» ненадёжен: корни у самих границ промежутка легко пропустить или захватить лишний.
Учёт ОДЗ
Если в процессе преобразования появился тангенс — фиксируют ОДЗ до записи ответа: \(\cos x \neq 0\). Корни, попадающие в запрещённые точки, отбрасывают ещё до отбора на промежутке. Это особенно важно при использовании формулы \(\tg 2\alpha = \dfrac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}\), где добавляются ограничения \(\tg\alpha \neq \pm 1\).
Типичные ошибки с формулами двойного угла
Коротко
- \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) — два множителя, не просто «синус с двойкой».
- Три вида \(\cos 2\alpha\) — выбирать тот, что убирает лишнюю функцию из уравнения.
- \(\tg 2\alpha = \dfrac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}\) — не определён при \(\tg\alpha = \pm 1\).
- Формулы понижения степени — обратная запись второго и третьего видов \(\cos 2\alpha\).
- Перед делением на \(\cos x\) проверить, является ли \(\cos x = 0\) корнем уравнения.
- Отбор корней на промежутке делать через неравенство относительно \(n\), не на глаз.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Сколько формул для cos 2α и какую выбрать?
Три равносильных вида: \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\), \(2\cos^2\alpha - 1\) и \(1 - 2\sin^2\alpha\). Выбирают по тому, какая функция уже стоит в задаче: есть \(\cos x\) — берут второй вид, есть \(\sin x\) — третий, нужно разложить на множители — первый.
Почему sin 2α ≠ 2 sin α?
Тригонометрические функции нелинейны. Двойка стоит при аргументе, а не при значении. Проверка: \(\sin(2 \cdot \tfrac{\pi}{6}) = \sin\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\), тогда как \(2\sin\tfrac{\pi}{6} = 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1\). Числа разные, поэтому равенство неверно.
Как вывести формулы двойного угла?
Из формул сложения: подставить \(\beta = \alpha\). Синус суммы даёт \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), косинус суммы — \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\), тангенс суммы — \(\tg 2\alpha = \dfrac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}\).
В каких заданиях ЕГЭ встречаются формулы двойного угла?
Прежде всего в задании 13 (тригонометрическое уравнение) и задании 18 (уравнение с отбором корней на промежутке). Формулы понижения степени также применяются при интегрировании в профильном варианте.
Что такое формулы понижения степени и как они связаны с cos 2α?
Это перевёрнутые формулы второго и третьего видов косинуса двойного угла: \(\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}\) и \(\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}\). Применяются, когда нужно избавиться от квадратов тригонометрических функций в интеграле или уравнении.
По этой теме есть отдельный разбор: формулы приведения в тригонометрии.
По этой теме есть отдельный разбор: тригонометрических уравнений в задании 6 ЕГЭ.
По этой теме есть отдельный разбор: всем разделам тригонометрии на ЕГЭ.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.