Деление многочленов в столбик и уголком: алгоритм и примеры

Деление многочленов в столбик — это алгоритм, позволяющий разделить один многочлен на другой шаг за шагом, не прибегая к угадыванию или подбору коэффициентов. Метод устроен по тому же принципу, что деление натуральных чисел: делаем одно действие за раз, записываем промежуточные результаты и идём дальше. В школьной программе тема появляется в 10 классе и остаётся актуальной для профильного ЕГЭ — особенно когда нужно разложить многочлен третьей степени на множители или упростить алгебраическую дробь.

Что такое деление многочленов в столбик

Когда делят 845 на 5 в столбик, берут первую цифру, находят подходящее частное, вычитают произведение и переходят к следующей цифре. При делении многочленов столбиком схема та же — только вместо цифр рассматривают члены по убывающим степеням.

Введём основные термины. Делимое — многочлен, который нужно разделить. Делитель — многочлен, на который делят. Частное — результат деления. Остаток — то, что остаётся после всех шагов.

Основное тождество:

\[\text{делимое} = \text{делитель} \times \text{частное} + \text{остаток}\]

По этой теме есть отдельный разбор: формулы сокращённого умножения.

Деление многочленов уголком: пошаговый алгоритм

Запись выглядит так: делимое размещают слева, делитель — справа за вертикальной чертой, частное — под делителем, вычитания ведут построчно вниз. Именно такая форма записи дала методу название — деление многочленов уголком.

Разбор примера: деление без остатка

Разберём \((x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \div (x - 1)\) подробно.

Оба многочлена расставлены по убывающим степеням, пропущенных членов нет.

Первая итерация.

Делим старший член делимого на старший член делителя: \[\frac{x^3}{x} = x^2\] Первый член частного — \(x^2\). Умножаем делитель на \(x^2\): \[x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2\] Вычитаем: \[(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) - (x^3 - x^2) = -5x^2 + 11x - 6\]

Вторая итерация. \[\frac{-5x^2}{x} = -5x \quad \Rightarrow \quad -5x \cdot (x-1) = -5x^2 + 5x\] \[(-5x^2 + 11x - 6) - (-5x^2 + 5x) = 6x - 6\]

Третья итерация. \[\frac{6x}{x} = 6 \quad \Rightarrow \quad 6 \cdot (x-1) = 6x - 6\] \[(6x - 6) - (6x - 6) = 0\]

Остаток равен нулю. Частное: \(x^2 - 5x + 6\).

Проверка: умножаем частное на делитель: \[(x^2 - 5x + 6)(x - 1) = x^3 - x^2 - 5x^2 + 5x + 6x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\]

Совпадает с делимым. Попутно замечаем, что \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\), поэтому полное разложение: \[x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)\]

Ещё один пример: \((2x^3 - 3x^2 - 11x + 6) \div (x - 3)\).

\[\frac{2x^3}{x} = 2x^2 \;\Rightarrow\; 2x^2(x-3)=2x^3-6x^2\] \[(2x^3-3x^2-11x+6)-(2x^3-6x^2) = 3x^2-11x+6\] \[\frac{3x^2}{x}=3x \;\Rightarrow\; 3x(x-3)=3x^2-9x\] \[(3x^2-11x+6)-(3x^2-9x)=-2x+6\] \[\frac{-2x}{x}=-2 \;\Rightarrow\; -2(x-3)=-2x+6\] \[(-2x+6)-(-2x+6)=0\]

Ответ: \(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = (x-3)(2x^2 + 3x - 2)\).

Деление многочленов с остатком

Не всегда деление выполняется нацело. Рассмотрим \((x^2 + 3x + 5) \div (x + 1)\).

\[\frac{x^2}{x}=x \;\Rightarrow\; x(x+1)=x^2+x\] \[(x^2+3x+5)-(x^2+x)=2x+5\] \[\frac{2x}{x}=2 \;\Rightarrow\; 2(x+1)=2x+2\] \[(2x+5)-(2x+2)=3\]

Степень остатка \(3\) (нулевая) меньше степени делителя \((x+1)\) (первая) — деление завершено.

Результат записывают так:

\[\frac{x^2+3x+5}{x+1} = x+2+\frac{3}{x+1}\]

или в форме тождества:

\[x^2+3x+5 = (x+1)(x+2)+3\]

Краткое упоминание теоремы Безу. При делении многочлена \(P(x)\) на \((x - a)\) остаток равен \(P(a)\). Здесь делитель \((x+1) = (x-(-1))\), значит остаток — это \(P(-1) = 1 - 3 + 5 = 3\). Совпадает, и теорема позволяет проверять остаток без полного деления многочленов с остатком.

По этой теме есть отдельный разбор: теорему Безу и схему Горнера.

Деление многочленов в 10 классе: где применяется

В программе 10 класса деление многочленов появляется в нескольких контекстах.

Упрощение алгебраических дробей. Если числитель делится на знаменатель нацело, дробь сводится к целому выражению:

\[\frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x - 2} = x^2 - 4x + 3\]

Разложение на множители. Когда один корень уравнения \(P(x)=0\) подобран перебором делителей свободного члена, делят многочлен на линейный множитель \((x-r)\) и разбирают оставшийся трёхчлен стандартными методами.

Решение уравнений третьей степени. Типовой алгоритм: найти целый корень, выполнить деление уголком, решить квадратное уравнение.

Типичные ошибки при делении столбиком

Частые вопросы

Как делить многочлен на многочлен в столбик?

Записать оба многочлена по убывающим степеням, вставив нулевые члены вместо пропущенных. Разделить старший член делимого на старший член делителя — получить первый член частного. Умножить делитель на этот член, вычесть произведение из делимого. Повторять, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.

Что делать, если при делении многочленов есть остаток?

Остаток записывают в виде дроби: результат = частное + остаток / делитель. Например, \((x^2+3x+5)\div(x+1) = x+2+\frac{3}{x+1}\). Если нужно быстро проверить остаток при делении на \((x-a)\), вычислить \(P(a)\) по теореме Безу — это быстрее полного деления.

Чем отличается деление уголком от деления столбиком?

Ничем — это два названия одного алгоритма. «Уголок» подчёркивает форму записи: делитель ставится справа от вертикальной черты, образуя характерный угол. В учебниках чаще пишут «столбик», в речи учеников прижилось «уголок».

Нужно ли знать деление многочленов для ЕГЭ?

На профильном ЕГЭ умение пригождается при решении уравнений третьей степени и при упрощении выражений, где многочлен стоит в числителе и знаменателе. На базовом уровне задачи с делением многочленов встречаются редко, но метод ускоряет разложение на множители в любом варианте.

Как проверить результат деления многочленов?

Умножить частное на делитель и прибавить остаток. Если получилось исходное делимое — деление верное:

\[\text{делитель} \times \text{частное} + \text{остаток} = \text{делимое}\]

По этой теме есть отдельный разбор: разложить квадратный трёхчлен на множители.