Исправляю :::formulas — убираю \( \) вокруг формул в обоих блоках.
--- title: Теорема о биссектрисе параллелограмма: доказательство description: Теорема о биссектрисе параллелограмма: какой треугольник она отсекает и почему. Формулировка, пошаговое доказательство и разбор задач ЕГЭ/ОГЭ. slug: teorema-o-bissektrise-parallelogramma keywords: [теорема о биссектрисе параллелограмма, теорема о биссектрисе в параллелограмме, теорема о биссектрисе угла параллелограмма, биссектриса угла параллелограмма, биссектриса параллелограмма треугольник, доказательство теоремы о биссектрисе параллелограмма] author: Алмаз date: 2026-07-30 cluster: ege ---
Что отсекает биссектриса: ответ и интуиция
Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник. Это главный факт, который нужно запомнить, прежде чем разбираться с доказательством.
Почему так получается? Биссектриса делит угол пополам, а противолежащие стороны параллелограмма параллельны. Когда прямая пересекает две параллельные прямые, возникают накрест лежащие углы, которые равны между собой. Именно это равенство углов и «делает» треугольник равнобедренным — два его угла при основании оказываются одинаковыми.
Коротко
- Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник
- Равные стороны треугольника — сторона параллелограмма и отрезок на противолежащей стороне
- Свойство работает для любого параллелограмма: ромба, прямоугольника, обычного параллелограмма
---
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Теорема о биссектрисе в параллелограмме: формулировка
Теорема о биссектрисе угла параллелограмма. Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, в котором два равных катета — боковая сторона параллелограмма и отрезок на противолежащей стороне.
Точнее: пусть \(ABCD\) — параллелограмм, \(AE\) — биссектриса угла \(A\), где \(E\) лежит на стороне \(BC\). Тогда треугольник \(ABE\) равнобедренный и \(AB = BE\).
---
Доказательство теоремы о биссектрисе угла параллелограмма
Дано: параллелограмм \(ABCD\), \(AE\) — биссектриса угла \(\angle DAB\), точка \(E\) лежит на стороне \(BC\).
Доказать: \(\triangle ABE\) — равнобедренный, \(AB = BE\).
- Доказательство через накрест лежащие углы
- Шаг 1. \(AE\) — биссектриса \(\angle DAB\), поэтому \(\angle DAE = \angle BAE\)
- Шаг 2. \(AD \parallel BC\) как противолежащие стороны параллелограмма
- Шаг 3. \(AE\) — секущая к параллельным прямым \(AD\) и \(BC\), значит \(\angle DAE = \angle AEB\) как накрест лежащие углы
- Шаг 4. Из шагов 1 и 3: \(\angle BAE = \angle AEB\)
- Шаг 5. В треугольнике \(ABE\) два угла равны — \(\angle BAE = \angle AEB\), следовательно, треугольник равнобедренный
- Шаг 6. Равные углы лежат напротив равных сторон: напротив \(\angle AEB\) лежит \(AB\), напротив \(\angle BAE\) лежит \(BE\) — значит, \(AB = BE\)
Схема рассуждений:
\[ \angle DAE = \angle BAE \quad (\text{биссектриса}) \] \[ AD \parallel BC \;\Rightarrow\; \angle DAE = \angle AEB \quad (\text{накрест лежащие}) \] \[ \Rightarrow\; \angle BAE = \angle AEB \;\Rightarrow\; AB = BE \]
Доказательство завершено.
---
По этой теме есть отдельный разбор: биссектриса треугольника.
Свойства отсечённого треугольника
Треугольник \(ABE\), отсечённый биссектрисой угла \(A\):
Коротко
- Равнобедренный: AB = BE
- Основание треугольника — отрезок AE (биссектриса)
- Угол при вершине: \(\angle ABE = 180° - 2\angle BAE\)
- Угол \(\angle BAE = \frac{1}{2}\angle DAB\) — половина угла параллелограмма
- Углы при основании: \(\angle BAE = \angle AEB = \frac{1}{2}\angle DAB\)
Если угол параллелограмма при вершине \(A\) равен \(\alpha\), то углы треугольника:
\[ \angle BAE = \angle AEB = \frac{\alpha}{2}, \qquad \angle ABE = 180° - \alpha \]
Заметьте: \(\angle ABE\) совпадает с внешним углом параллелограмма при вершине \(B\), что тоже не случайно — он смежный с \(\angle ABC = 180° - \alpha\).
---
Частный случай: биссектриса угла прямоугольника
В прямоугольнике каждый угол равен \(90°\). Биссектриса делит его пополам: \(\angle BAE = 45°\). Тогда из доказательства выше:
\[ \angle BAE = \angle AEB = 45°, \qquad \angle ABE = 180° - 2 \cdot 45° = 90° \]
Отсечённый треугольник оказывается прямоугольным равнобедренным с углами \(45°\)–\(45°\)–\(90°\).
Это удобное частное следствие часто встречается в задачах: стоит увидеть прямоугольник с проведённой биссектрисой угла — треугольник будет именно такого вида, без дополнительных вычислений.
---
Задачи на теорему о биссектрисе параллелограмма (разбор)
Задача 1 (ОГЭ-уровень). Найти длину отрезка
Условие. В параллелограмме \(ABCD\) сторона \(AB = 8\) см. Биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(E\). Найти \(BE\).
Решение.
По теореме о биссектрисе в параллелограмме треугольник \(ABE\) равнобедренный и \(AB = BE\).
\[ BE = AB = 8 \text{ см} \]
Ответ: 8 см.
---
Задача 2 (ОГЭ-уровень). Периметр отсечённого треугольника
Условие. В параллелограмме \(ABCD\): \(AB = 6\) см, \(\angle DAB = 60°\). Биссектриса угла \(A\) пересекает \(BC\) в точке \(E\). Найти периметр треугольника \(ABE\).
Решение.
По теореме: \(AB = BE = 6\) см.
Угол \(\angle BAE = 30°\) (половина \(60°\)). Найдём \(AE\) по теореме синусов в треугольнике \(ABE\):
\[ \frac{AE}{\sin \angle ABE} = \frac{AB}{\sin \angle AEB} \]
\(\angle AEB = 30°\), \(\angle ABE = 180° - 60° = 120°\), поэтому:
\[ AE = \frac{AB \cdot \sin 120°}{\sin 30°} = \frac{6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]
\[ P = AB + BE + AE = 6 + 6 + 6\sqrt{3} = 12 + 6\sqrt{3} \approx 22{,}4 \text{ см} \]
Ответ: \(12 + 6\sqrt{3}\) см.
---
Задача 3 (базовый ЕГЭ). Применение в составной фигуре
Условие. В параллелограмме \(ABCD\) биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(F\) внутри фигуры. Известно, что \(AB = 5\) см, \(\angle DAB = 70°\). Найти \(\angle AFB\).
Решение.
В треугольнике \(ABF\):
\[ \angle FAB = \frac{70°}{2} = 35°, \qquad \angle FBA = \frac{110°}{2} = 55° \]
(угол \(\angle ABC = 180° - 70° = 110°\) как смежный).
\[ \angle AFB = 180° - 35° - 55° = 90° \]
Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда перпендикулярны — результат согласуется с общим свойством.
Ответ: \(90°\).
---
Частые вопросы
Какой треугольник отсекает биссектриса угла параллелограмма?
Равнобедренный. Его равные стороны — сторона параллелограмма \(AB\) и отрезок \(BE\) на противолежащей стороне, причём \(AB = BE\).
Как доказать теорему о биссектрисе угла параллелограмма?
Через накрест лежащие углы: биссектриса \(AE\) делит \(\angle A\) пополам, а параллельность \(AD \parallel BC\) даёт \(\angle DAE = \angle AEB\). Следовательно, \(\angle BAE = \angle AEB\), и треугольник \(ABE\) равнобедренный.
Чему равны углы треугольника, отсечённого биссектрисой параллелограмма?
Если угол параллелограмма при данной вершине равен \(\alpha\), то два угла при основании треугольника равны \(\dfrac{\alpha}{2}\), а угол при вершине — \(180° - \alpha\).
Верно ли, что биссектриса прямоугольника отсекает прямоугольный треугольник?
Да. В прямоугольнике \(\alpha = 90°\), поэтому оба угла при основании равны \(45°\), а угол при стороне прямоугольника — \(90°\). Получается прямоугольный равнобедренный треугольник.
Чему равна сторона отсечённого треугольника в параллелограмме?
Отрезок \(BE\) на противолежащей стороне равен стороне параллелограмма \(AB\). Это прямое следствие равнобедренности треугольника \(ABE\).
По этой теме есть отдельный разбор: свойства и признаки параллелограмма.
По этой теме есть отдельный разбор: теорема о биссектрисе угла треугольника.
По этой теме есть отдельный разбор: биссектриса равнобедренного треугольника.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.