Производная

Производная 10 класс алгебра: теория, таблица и тренажёр

Производная 10 класс алгебра: теория, таблица формул, тренажёры и варианты самостоятельных работ для подготовки к контрольной, ОГЭ и ЕГЭ (задание 8).

14 мин чтения
#Производная#производная 10 класс алгебра#производная 10 класс алгебра тренажер#производная 10 класс алгебра самостоятельная работа#таблица производных алгебра 10 класс

Производная функции 10 класс: теория и объяснение простыми словами

Представьте машину, едущую по трассе. Навигатор фиксирует координату \(s(t)\) в каждый момент. Но как быстро машина движется прямо сейчас, а не в среднем за час? Это мгновенная скорость — и именно её вычисляет производная.

Формальное определение:

\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

Это предел отношения приращения функции к приращению аргумента — теория производной функции 10 класс строится именно на нём.

Физический смысл. Если \(s(t)\) — координата тела, то \(s'(t) = v(t)\) — мгновенная скорость, а \(v'(t) = s''(t)\) — ускорение:

\[ v(t) = s'(t), \quad a(t) = v'(t) = s''(t) \]

Геометрический смысл. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке:

\[ f'(x_0) = k = \operatorname{tg}\,\alpha \]

Касательная идёт вверх слева направо — \(f'(x_0) > 0\). Горизонтальная — \(f'(x_0) = 0\). Идёт вниз — \(f'(x_0) < 0\). Это прямая связь между формулой и тем, что видно на графике.

Критическая точка — точка, где \(f'(x) = 0\) или производная не существует. Экстремум функции возможен только в критической точке — нигде больше.

Коротко

  • Производная описывает мгновенную скорость изменения функции
  • Физический смысл: \(s'(t)=v(t),\;\; v'(t)=a(t)\)
  • Геометрический смысл: \(f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\,\alpha\) — наклон касательной
  • \(f'>0\) — функция возрастает; \(f'<0\) — убывает
  • Критическая точка: \(f'(x)=0\) или \(f'\) не существует

---

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Таблица производных алгебра 10 класс: все формулы в одном месте

Формулы производной 10 класс алгебра — ниже в двух блоках: стандартные функции и правила дифференцирования.

Основные функции

Константа
\[(C)'=0\]
Степенная
\[(x^n)'=n\,x^{n-1}\]
Корень
\[(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\]
Экспонента
\[(e^x)'=e^x\]
Показательная
\[(a^x)'=a^x\ln a\]
Натуральный логарифм
\[(\ln x)'=\dfrac{1}{x}\]
Логарифм по основанию a
\[(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}\]
Синус
\[(\sin x)'=\cos x\]
Косинус
\[(\cos x)'=-\sin x\]
Тангенс
\[(\operatorname{tg}\,x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}\]
Котангенс
\[(\operatorname{ctg}\,x)'=-\dfrac{1}{\sin^2 x}\]

Корень — частный случай степенной при \(n = \tfrac{1}{2}\): \((\sqrt{x})' = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}\). Степенная формула работает и для дробных, и для отрицательных показателей.

Правила дифференцирования

Вынос константы
\[(C\cdot f)'=C\cdot f'\]
Сумма
\[(u+v)'=u'+v'\]
Произведение
\[(uv)'=u'v+uv'\]
Частное
\[\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]
Сложная функция
\[\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\cdot g'(x)\]
Линейный аргумент
\[\bigl(f(kx+b)\bigr)'=k\cdot f'(kx+b)\]

Правило линейного аргумента — рабочая заготовка для большинства задач:

\[ (e^{3x+1})' = 3e^{3x+1}, \quad (\sin(2x-\pi))' = 2\cos(2x-\pi), \quad (\ln(5x))' = \frac{5}{5x} = \frac{1}{x} \]

---

Производная 10 класс алгебра — примеры с решением

Примеры идут по нарастающей сложности: от простого дифференцирования до наибольшего значения на отрезке.

Пример 1. Найти производную многочлена

\[ f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7 \]

Дифференцируем каждое слагаемое по правилу суммы и степенной формуле:

\[ f'(x) = 3\cdot 4x^3 - 2\cdot 2x + 5 - 0 = 12x^3 - 4x + 5 \]

---

Пример 2. Уравнение касательной к параболе

Найти уравнение касательной к \(y = x^2 - 3x + 1\) в точке \(x_0 = 2\).

  1. Уравнение касательной в точке x₀
  2. Шаг 1: вычислить f(x₀) = 4 − 6 + 1 = −1, точка касания (2; −1)
  3. Шаг 2: найти f'(x) = 2x − 3, затем f'(2) = 4 − 3 = 1
  4. Шаг 3: подставить в формулу y = f(x₀) + f'(x₀)·(x − x₀)
  5. Результат: y = −1 + 1·(x − 2) = x − 3

---

Пример 3. Монотонность функции

Найти промежутки возрастания и убывания \(f(x) = x^3 - 3x\).

  1. Исследование монотонности
  2. Шаг 1: f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)
  3. Шаг 2: f'(x) > 0 при x < −1 и x > 1 → функция возрастает
  4. Шаг 3: f'(x) < 0 при −1 < x < 1 → функция убывает
  5. Результат: возрастает на (−∞;−1) и (1;+∞), убывает на (−1;1)

---

Пример 4. Экстремумы

Для той же функции \(f(x) = x^3 - 3x\): критические точки \(x = -1\) и \(x = 1\).

При \(x = -1\): знак \(f'\) меняется с «+» на «−» → максимум; \(f(-1) = 2\). При \(x = 1\): знак меняется с «−» на «+» → минимум; \(f(1) = -2\).

---

Пример 5. Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Найти наибольшее и наименьшее значение \(f(x) = x^3 - 3x\) на \([-2;\,3]\).

  1. Наибольшее и наименьшее на отрезке
  2. Шаг 1: найти критические точки внутри [−2; 3]: x = −1 и x = 1
  3. Шаг 2: вычислить f в критических точках: f(−1) = 2, f(1) = −2
  4. Шаг 3: вычислить f на концах: f(−2) = −8 + 6 = −2, f(3) = 27 − 9 = 18
  5. Шаг 4: выбрать наибольшее и наименьшее из \({2; −2; −2; 18}\)
  6. Результат: наибольшее = 18 при x = 3; наименьшее = −2 при x = 1 и x = −2

---

Тренажёр по производным — 10 класс алгебра

Производная 10 класс алгебра тренажёр: задачи трёх уровней с ответами. Рекомендуется сначала решить самостоятельно, потом сверить.

Уровень 1 — базовый

Таблица производных и правило суммы.

  1. 1. \(f(x) = x^6\)
  2. 2. \(g(x) = \sqrt{x}\)
  3. 3. \(h(x) = \ln x\)
  4. 4. \(p(x) = \sin x + \cos x\)
  5. 5. \(q(x) = 4x^3 - 7x + 2\)
  6. 6. \(r(x) = e^x - x^4\)

<details> <summary>Ответы — уровень 1</summary>

  1. 1. \(6x^5\)
  2. 2. \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
  3. 3. \(\dfrac{1}{x}\)
  4. 4. \(\cos x - \sin x\)
  5. 5. \(12x^2 - 7\)
  6. 6. \(e^x - 4x^3\)

</details>

Уровень 2 — средний

Произведение, частное, линейный аргумент.

  1. 1. \(f(x) = x^2 \sin x\)
  2. 2. \(g(x) = \dfrac{x^3}{e^x}\)
  3. 3. \(h(x) = \sin(3x+1)\)
  4. 4. \(p(x) = \ln(4x)\)
  5. 5. \(q(x) = e^{5x}\)
  6. 6. \(r(x) = \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

<details> <summary>Ответы — уровень 2</summary>

  1. 1. \(2x\sin x + x^2\cos x\)
  2. 2. \(\dfrac{x^2(3-x)}{e^x}\)
  3. 3. \(3\cos(3x+1)\)
  4. 4. \(\dfrac{1}{x}\)
  5. 5. \(5e^{5x}\)
  6. 6. \(-\dfrac{1}{2}\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

</details>

Уровень 3 — повышенный

Сложные функции, касательная, экстремумы.

  1. 1. Написать уравнение касательной к \(y = x^2 + 2x\) в точке \(x_0 = 1\).
  2. 2. Найти точки экстремума \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).
  3. 3. Найти наибольшее значение \(f(x) = -x^2 + 4x\) на \([0;\,5]\).
  4. 4. При каких \(x\) функция \(f(x) = x^4 - 8x^2\) убывает?

<details> <summary>Ответы — уровень 3</summary>

  1. 1. \(f(1)=3,\; f'(x)=2x+2,\; f'(1)=4\) → \(y = 4x - 1\)
  2. 2. \(f'(x) = 3x^2-12x+9 = 3(x-1)(x-3)\); \(x=1\) — максимум (\(f=5\)), \(x=3\) — минимум (\(f=1\))
  3. 3. Крит. точка \(x=2\): \(f(2)=4\); концы: \(f(0)=0\), \(f(5)=-5\). Наибольшее = 4.
  4. 4. \(f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=0\) → \(x=0,\,\pm2\). Убывает на \((-\infty;-2)\) и \((0;\,2)\)

</details>

---

Самостоятельная работа по производной 10 класс — варианты с ответами

Два варианта самостоятельной работы по производной 10 класс алгебра по шесть заданий каждый. Структура одинакова: задания 1–3 — нахождение производной, задание 4 — касательная, задание 5 — монотонность и экстремумы, задание 6 — наибольшее/наименьшее на отрезке.

Вариант 1

  1. 1. Найти \(f'(x)\), если \(f(x) = 4x^3 - 5x + 2\).
  2. 2. Найти \(g'(x)\), если \(g(x) = \sqrt{x} + \sin x\).
  3. 3. Найти \(h'(x)\), если \(h(x) = \cos(2x) - 3e^x\).
  4. 4. Написать уравнение касательной к \(y = x^2 - 4x + 3\) в точке \(x_0 = 3\).
  5. 5. Найти промежутки убывания \(f(x) = x^3 - 3x^2\).
  6. 6. Найти наибольшее значение \(f(x) = x^3 - 3x^2\) на \([-1;\,4]\).

Ответы к варианту 1

  1. 1. \(12x^2 - 5\)
  2. 2. \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \cos x\)
  3. 3. \(-2\sin(2x) - 3e^x\)
  4. 4. \(f(3)=0,\; f'(3)=2\) → \(y = 2x - 6\)
  5. 5. \(f'=3x(x-2)=0\) → крит. точки \(x=0\), \(x=2\); убывает на \((0;\,2)\)
  6. 6. Значения: \(f(-1)=-4\), \(f(0)=0\), \(f(2)=-4\), \(f(4)=16\). Наибольшее = 16

---

Вариант 2

  1. 1. Найти \(f'(x)\), если \(f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 1\).
  2. 2. Найти \(g'(x)\), если \(g(x) = \cos x - \ln x\).
  3. 3. Найти \(h'(x)\), если \(h(x) = \sin(3x) + e^{2x}\).
  4. 4. Написать уравнение касательной к \(y = -x^2 + 6x\) в точке \(x_0 = 2\).
  5. 5. Найти точки минимума \(f(x) = x^4 - 4x^3\).
  6. 6. Найти наименьшее значение \(f(x) = x^3 - 6x\) на \([-3;\,3]\).

Ответы к варианту 2

  1. 1. \(8x^3 - 6x\)
  2. 2. \(-\sin x - \dfrac{1}{x}\)
  3. 3. \(3\cos(3x) + 2e^{2x}\)
  4. 4. \(f(2)=8,\; f'(2)=2\) → \(y = 2x + 4\)
  5. 5. \(f'=4x^2(x-3)=0\): при \(x=0\) знак не меняется (не экстремум!); при \(x=3\) знак «−» → «+» — минимум, \(f(3)=-27\)
  6. 6. Крит. точки: \(f'=3x^2-6=0\) → \(x=\pm\sqrt{2}\); \(f(\sqrt{2})=-4\sqrt{2}\approx{-5{,}7}\), \(f(-\sqrt{2})=4\sqrt{2}\); концы: \(f(-3)=-9\), \(f(3)=9\). Наименьшее = \(-4\sqrt{2}\)

---

Как читать график производной — наглядный разбор (вместо презентации)

Задание №11 ЕГЭ и многие школьные контрольные дают график \(f'(x)\) и требуют сделать выводы о самой функции \(f\). Для алгебры производных 10–11 класс — это один из самых важных практических навыков. Если вам нужна производная 10 класс презентация для объяснения темы на уроке, схемы ниже можно использовать как готовые слайды: каждый блок — отдельный смысловой фрагмент.

Три базовые ситуации

Коротко

  • График f' выше оси Ox (f' > 0) → f возрастает
  • График f' ниже оси Ox (f' < 0) → f убывает
  • График f' пересекает ось Ox со сменой знака → в этой точке у f экстремум
  • Касание оси без пересечения (знак не меняется) → экстремума нет

Как считать точки экстремума по графику f'

  1. Счёт точек экстремума по графику f'
  2. Шаг 1: выделить все точки, где график f' пересекает ось Ox
  3. Шаг 2: в каждой точке проверить смену знака (с «+» на «−» или с «−» на «+»)
  4. Шаг 3: если знак не меняется (касание оси без пересечения) — экстремума нет
  5. Результат: число точек со сменой знака = число точек экстремума f

Обратная задача: от графика f к поведению f'

Если дан график самой функции \(f\), а не производной:

  1. Чтение монотонности по графику f
  2. Шаг 1: там, где f идёт вверх слева направо → f' > 0
  3. Шаг 2: там, где f идёт вниз → f' < 0
  4. Шаг 3: в точках экстремума f касательная горизонтальна → f' = 0

Наклон касательной по координатной сетке

  1. Вычислить f'(x₀) по нарисованной касательной
  2. Шаг 1: взять две точки на касательной с удобными целыми координатами
  3. Шаг 2: вычислить Δy и Δx между ними
  4. Шаг 3: f'(x₀) = Δy / Δx — обязательно с учётом знака
  5. Замечание: если касательная идёт вниз, Δy < 0, значит f'(x₀) < 0

---

Задание №8 ЕГЭ на производную: разбор типовых задач

Задание №8 ЕГЭ — первый большой блок по производным; алгебра производных 10–11 класс охватывает все четыре подтипа. Для каждого — шаблон действий и разобранный пример.

Подтип 1. Значение производной по графику

Дан график \(f'(x)\); найти значение \(f'(x_0)\) в конкретной точке.

  1. f'(x₀) по графику производной
  2. Шаг 1: найти точку x₀ на оси Ox
  3. Шаг 2: провести вертикаль до графика f'
  4. Шаг 3: считать y-координату точки пересечения — это f'(x₀)

---

Подтип 2. Касательная, параллельная данной прямой

Сколько точек, где касательная к \(f\) параллельна прямой \(y = kx + b\)?

  1. Касательная, параллельная прямой y = kx + b
  2. Шаг 1: параллельность означает равенство наклонов: f'(x) = k
  3. Шаг 2: для оси Ox или прямой y = const: k = 0, ищем f'(x) = 0
  4. Шаг 3: по графику f' найти, сколько раз f' принимает значение k

Если \(k = 2\): «наложить» горизонталь \(y = 2\) на график \(f'\) и пересчитать точки пересечения.

---

Подтип 3. Физический смысл в задаче

Дан закон движения \(s(t)\); найти скорость в момент \(t_0\) или момент, когда скорость равна \(v_0\).

  1. Производная в кинематической задаче
  2. Шаг 1: найти v(t) = s'(t) — продифференцировать закон движения
  3. Шаг 2: если нужна скорость в момент t₀ — подставить t₀ в v(t)
  4. Шаг 3: если нужен момент с заданной скоростью v₀ — решить s'(t) = v₀, выбрать корень при t ≥ 0

Пример. \(s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\). Скорость: \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\). Момент, когда скорость равна нулю: \(3t^2 - 12t + 9 = 0\) → \(t = 1\) с и \(t = 3\) с.

---

Подтип 4. Монотонность по графику самой функции f

Дан график \(f(x)\), отмечены точки; в скольких из них функция возрастает?

  1. Монотонность по графику f (не по производной)
  2. Шаг 1: смотреть на форму графика f, а не на отдельный график f'
  3. Шаг 2: возрастает — где кривая идёт вверх слева направо
  4. Шаг 3: для каждой отмеченной точки определить, в каком промежутке она находится
  5. Шаг 4: посчитать точки в нужном промежутке

---

Типичные ошибки по производным в 10 классе — и как их избежать

Производные 10 класс алгебра объяснение было бы неполным без разбора ловушек, которые встречаются на контрольных из года в год.

❌ ошибка(uv)' = u'v'
✅ верно(uv)' = u'v + uv'
производная произведения берётся по правилу Лейбница, почленно не работает
❌ ошибка(cos x)' = sin x
✅ верно(cos x)' = −sin x
у косинуса производная со знаком минус — минус теряется при беглом воспроизведении таблицы
❌ ошибка(f(g(x)))' = f'(g(x)) — забыли g'(x)
✅ верно(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)
цепное правило требует домножить на производную внутренней функции
❌ ошибканаибольшее на [a;b] — смотрим только критические точки
✅ верносравниваем значения в критических точках И на концах a и b
максимум может достигаться на границе, а не внутри
❌ ошибкаx₀ — «минимум функции»
✅ верноx₀ — точка минимума; минимум функции — это f(x₀)
это разные вещи; задача спрашивает одно, а пишут другое
❌ ошибкаf'(0) = 0 у y = x³ → 0 является точкой экстремума
✅ вернознак f' не меняется → экстремума нет
нулевая производная необходима, но не достаточна
❌ ошибканаклон убывающей касательной считают положительным
✅ верноесли касательная идёт вниз, f'(x₀) < 0
тангенс тупого угла отрицателен; знак теряется, если брать только длины катетов
❌ ошибкаf возрастает там, где значения f' большие
✅ верноf возрастает там, где f' > 0 (выше нуля)
ключ — знак производной, а не её абсолютная величина

---

Частые вопросы

Зачем при поиске наибольшего значения на отрезке проверять концы?

На закрытом отрезке наибольшее и наименьшее значение функции может быть достигнуто как в критической точке внутри отрезка, так и на его концах. Если ограничиться только критическими точками, можно пропустить реальный максимум или минимум.

Чем точка экстремума отличается от значения функции в этой точке?

Точка экстремума — это абсцисса \(x_0\) (число по оси \(Ox\)). Значение функции в точке экстремума — это \(f(x_0)\). В формулировках задач эти понятия не взаимозаменяемы, и ответ «не из того столбца» считается ошибкой.

Всегда ли нуль производной означает экстремум?

Нет. У функции \(y = x^3\) производная \(3x^2 = 0\) при \(x = 0\), но знак не меняется: функция возрастает и слева, и справа от нуля. Экстремума нет. Нулевая производная — необходимое, но не достаточное условие.

Как по графику \(f'\) определить, в каких точках у \(f\) экстремум?

Нужно найти нули графика \(f'\) (точки пересечения с осью \(Ox\)) со сменой знака. Если знак не меняется (касание оси без пересечения) — экстремума нет. Число таких точек со сменой знака и есть число точек экстремума функции \(f\).

По этой теме есть отдельный разбор: что такое производная функции.

По этой теме есть отдельный разбор: таблица производных для ЕГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: производная сложной функции.

По этой теме есть отдельный разбор: задание 8 ЕГЭ по производной.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Как найти производную сложной функции: правило цепочки2026-07-29Как решать задачи на производную в ЕГЭ: шаг за шагом с примерами2026-07-07Производная в ЕГЭ: задание 8 — геометрический смысл и касательная2026-07-02Таблица производных для ЕГЭ: шпаргалка элементарных функций2026-08-06