Производная ЕГЭ база: задания 7–8, формулы и графики

Производная простыми словами: что это такое и зачем она в базовом ЕГЭ

Производная — это скорость изменения функции в каждой точке. Если функция описывает путь автомобиля, её производная — это показание спидометра в данный момент. Растёт функция быстро — производная большая и положительная. Функция убывает — производная отрицательна.

Формальное определение через предел: \[f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\] для базового ЕГЭ знать наизусть не требуется. Нужно понимать смысл и уметь считать по таблице.

Есть ли производная в ЕГЭ база — один из самых частых вопросов перед экзаменом. Ответ: да, она встречается в заданиях №7 и №8. Хорошая новость: оба задания решаются по чёткому алгоритму, формул немного, а сами задачи укладываются в несколько стандартных схем. Паниковать незачем.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Производная в ЕГЭ база 2026: какие задания и что проверяют

В базовом ЕГЭ по математике производная охватывает ровно два задания первой части.

Задание №7 — это работа с производной функции в чистом виде. Нужно найти экстремум или наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке. Типовые формулировки 2025–2026:

- «Найдите наибольшее значение функции \(f(x)\) на отрезке \([a;\,b]\)»
- «Найдите точку минимума функции \(f(x)\)»
- «Найдите значение функции в точке максимума»

Проверяется: умение дифференцировать, находить критические точки и правильно их анализировать.

Задание №8 — графики производной, касательная и физический смысл. Типовые формулировки:

- «На рисунке изображён график \(f'(x)\). В какой из отмеченных точек \(f\) имеет максимум?»
- «Найдите угловой коэффициент касательной к графику \(f(x)\) в точке \(x_0\)»
- «При каком значении \(t\) скорость тела равна нулю, если \(s(t)=\ldots\)»

Коротко

Производная егэ база — это задания №7 и №8, всего 2 балла из 20
Задание №7: найти экстремум или наибольшее/наименьшее значение на отрезке
Задание №8: чтение графика f'(x), касательная, физический смысл
Задания решаются по алгоритму — «творческих» вопросов без чёткой схемы нет

Формулы производных: таблица для ЕГЭ по математике

Таблица не выдаётся на экзамене — её нужно знать. Для базового ЕГЭ достаточно следующего набора.

Константа

\[(C)' = 0\]

Степенная

\[(x^n)' = n\,x^{n-1}\]

Корень

\[(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\]

Экспонента

\[(e^x)' = e^x\]

Показательная

\[(a^x)' = a^x \ln a\]

Натуральный логарифм

\[(\ln x)' = \dfrac{1}{x}\]

Синус

\[(\sin x)' = \cos x\]

Косинус

\[(\cos x)' = -\sin x\]

Тангенс

\[(\operatorname{tg}\,x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\]

Котангенс

\[(\operatorname{ctg}\,x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}\]

Логарифм по основанию a

\[(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}\]

Правила, которые применяются при любых вычислениях:

Вынос константы

\[(C \cdot f)' = C \cdot f'\]

Сумма

\[(u + v)' = u' + v'\]

Произведение

\[(uv)' = u'v + uv'\]

Частное

\[\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\]

Сложная функция

\[\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

Линейный аргумент

\[\bigl(f(kx+b)\bigr)' = k\,f'(kx+b)\]

Самые частые в базовом ЕГЭ — степенная, синус, косинус, экспонента. Производная корня — частный случай степенной при \(n = \tfrac{1}{2}\). Производная формула для показательной функции выходит за рамки базового варианта, но знать её полезно.

Как решать производную функции: пошаговый алгоритм для задания №7

Производная как решать — вопрос, который закрывается одним алгоритмом.

Наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке
Шаг 1. Найти производную f'(x) по таблице формул и правилам дифференцирования.
Шаг 2. Приравнять f'(x) = 0, решить уравнение — получить критические точки.
Шаг 3. Оставить только те критические точки, которые лежат внутри отрезка [a; b].
Шаг 4. Вычислить значения f(x) в критических точках и в обоих концах отрезка — a и b.
Шаг 5. Сравнить все найденные значения: наибольшее из них — ответ.

Пример. Найти наибольшее значение \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\) на отрезке \([-1;\,5]\).

Шаг 1: \[f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\]

Шаг 2: \[3x^2 - 6x - 9 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 2x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; (x-3)(x+1) = 0\] Критические точки: \(x = -1\) и \(x = 3\).

Шаг 3. Обе точки принадлежат \([-1;\,5]\).

Шаг 4. Считаем значения: \[f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10\] \[f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22\] \[f(5) = 125 - 75 - 45 + 5 = 10\]

Шаг 5. Наибольшее значение равно 10.

Для нахождения только точки минимума или максимума (без отрезка) достаточно шагов 1–3 и проверки смены знака \(f'\): «\(+\)» → «\(-\)» — максимум; «\(-\)» → «\(+\)» — минимум.

График производной в ЕГЭ база: как читать и считать (задание №8)

В задании №8 нередко дают готовый график \(f'(x)\) и задают вопросы про поведение самой функции \(f\). Правила чтения:

Коротко

f'(x) > 0 (график выше оси Ox) → функция f возрастает на этом промежутке
f'(x) < 0 (график ниже оси Ox) → функция f убывает на этом промежутке
f'(x) = 0 со сменой знака → точка экстремума f
Число точек экстремума = число пересечений графика f' с осью Ox со сменой знака
Смена «+» на «−» → максимум; «−» на «+» → минимум

Как считать конкретное значение производной в точке. Если на рисунке уже нарисована касательная к \(f\) в точке \(x_0\), нужно взять две удобные точки на этой прямой и посчитать наклон: \[f'(x_0) = k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\] со знаком: касательная идёт вниз — значение отрицательно.

Длина наибольшего промежутка монотонности. Промежутки, где \(f' > 0\), образуют участки возрастания \(f\). Длину каждого промежутка считают прямо по оси \(Ox\) — это разность правой и левой границы.

Чтение графика f'(x)
Шаг 1. Найти все нули f' на графике — точки, где кривая пересекает ось Ox.
Шаг 2. Для каждого нуля проверить смену знака: пересечение оси (знак меняется) или касание оси (знак не меняется).
Шаг 3. Участки выше оси — возрастание f; участки ниже — убывание f.
Шаг 4. При необходимости посчитать длину нужного промежутка по оси Ox.

Если дан график самой \(f\), а не \(f'\). В таких задачах смотрят на наклон самого графика в отмеченных точках: идёт вверх — функция возрастает, вниз — убывает. График \(f'\) здесь не нужен.

Касательная к графику функции: подтипы задания №8 ЕГЭ база

Уравнение касательной к графику \(f(x)\) в точке \(x = a\): \[y = f(a) + f'(a)\,(x - a)\]

Здесь \(f(a)\) — значение функции, \(f'(a)\) — угловой коэффициент касательной (геометрический смысл производной: \(f'(x_0) = k = \operatorname{tg}\alpha\)).

В задании №8 встречаются три подтипа.

Подтип 1. Найти угловой коэффициент касательной.

Нужно найти \(f'(x_0)\). Если дана функция — берут производную и подставляют \(x_0\). Если дан график — считают наклон по клеткам.

Пример: \(f(x) = x^2 + 3x\), точка \(x_0 = 2\). \(f'(x) = 2x + 3\), \(f'(2) = 7\). Угловой коэффициент равен 7.

Подтип 2. Найти точку (или число точек), где касательная параллельна заданной прямой.

Касательная, параллельная прямой y = kx + b
Шаг 1. Определить наклон k данной прямой (коэффициент при x).
Шаг 2. Составить уравнение f'(x) = k.
Шаг 3. Решить уравнение, найти точки x0.
Шаг 4. Если спрашивают количество точек — посчитать корни уравнения.

Если прямая горизонтальна (\(y = \mathrm{const}\) или ось \(Ox\)), то \(k = 0\), и задача сводится к поиску точек экстремума.

Подтип 3. Физический смысл — мгновенная скорость.

Если \(s(t)\) — координата тела в момент времени \(t\), то мгновенная скорость равна \(v(t) = s'(t)\), ускорение — \(a(t) = s''(t)\).

Физический смысл производной
Шаг 1. Взять производную s'(t), чтобы получить формулу скорости v(t).
Шаг 2. Составить уравнение s'(t) = v0 (v0 — нужное значение скорости, чаще 0).
Шаг 3. Решить уравнение, отобрать корень при t ≥ 0.
Шаг 4. Если просят значение s или v в этот момент — подставить найденное t.

Типичные ошибки на производную в ЕГЭ база: как не потерять баллы

❌ ошибкаНа графике f'(x) читают «высоту» кривой как значения f

✅ верноПо графику f' нужно смотреть ЗНАК (выше или ниже оси Ox), а не абсолютную высоту

f' описывает поведение f, а не саму f — самая частая потеря в задании №8

❌ ошибка(uv)' = u' · v'

✅ верно(uv)' = u'v + uv'

Произведение дифференцируется по правилу Лейбница, не почленно

❌ ошибка(sin(3x))' = cos(3x)

✅ верно(sin(3x))' = 3·cos(3x)

Цепное правило: внешняя функция умножается на производную внутренней (здесь — на 3)

❌ ошибка(cos x)' = sin x

✅ верно(cos x)' = −sin x

У косинуса производная со знаком минус — наиболее частый потерянный знак

❌ ошибкаНаибольшее на отрезке ищут только среди критических точек

✅ верноНужно сравнивать значения в критических точках И на концах отрезка

Наибольшее значение может достигаться на границе, а не внутри

❌ ошибкаПишут f(x0) в ответ на «найдите точку максимума»

✅ верноТочка максимума — это абсцисса x0; значение в точке максимума — это f(x0)

Задание спрашивает координату по оси Ox, не значение функции

❌ ошибкаЛюбая точка с f'(x) = 0 считается точкой экстремума

✅ верноЭкстремум — только там, где f' меняет знак

У y = x³ производная 3x² = 0 при x = 0, но знак не меняется — экстремума нет

❌ ошибкаНаклон убывающей касательной берут по модулю, без минуса

✅ верноЕсли касательная идёт вниз, то k < 0; Δy/Δx берётся со знаком

Тангенс тупого угла отрицателен; потеря знака меняет ответ на противоположный

Путаница между графиком \(f\) и графиком \(f'\) — источник наибольшего числа ошибок в задании №8. Если на рисунке нарисован \(f'(x)\), читать с него значения самой функции нельзя: по нему судят только о знаке производной — выше или ниже оси.

Частые вопросы

Есть ли производная в ЕГЭ по математике (база)?

Да. Производная встречается в заданиях №7 и №8 базового ЕГЭ. Уровень сложности существенно ниже профильного: не требуется знание сложных правил дифференцирования, достаточно базовой таблицы формул и понимания алгоритма.

Производная: как решать задания в ЕГЭ база?

В задании №7 берут производную, приравнивают к нулю, находят критические точки, вычисляют значения функции в этих точках и на концах отрезка, затем сравнивают — наибольшее или наименьшее в зависимости от вопроса. В задании №8 либо читают готовый график \(f'\), либо составляют уравнение касательной — зависит от конкретной формулировки.

Производная функции: как решать пошагово?

Найти \(f'(x)\) по таблице; приравнять \(f'(x) = 0\) и найти критические точки; расставить знаки \(f'\) на числовой прямой; сделать вывод: максимум — там, где знак меняется с «\(+\)» на «\(-\)», минимум — с «\(-\)» на «\(+\)»; для задачи на наибольшее значение дополнительно посчитать \(f\) на концах отрезка и выбрать наибольшее из всех значений.

Как читать график производной в задании №8 ЕГЭ база?

Если график \(f'\) выше оси \(Ox\) — функция \(f\) на этом участке возрастает. Если ниже — убывает. Там, где \(f'\) пересекает ось со сменой знака — точка экстремума \(f\). Число таких пересечений равно числу точек экстремума.

Какие формулы производных нужно знать для базового ЕГЭ?

Обязательно: \((x^n)' = nx^{n-1}\), \((\sin x)' = \cos x\), \((\cos x)' = -\sin x\), \((e^x)' = e^x\), \((\ln x)' = \tfrac{1}{x}\). Из правил: сумма, вынос константы, сложная функция (цепное правило). Таблица на экзамене не выдаётся — нужно знать наизусть.

По этой теме есть отдельный разбор: что такое производная функции простыми словами.

По этой теме есть отдельный разбор: таблица производных для ЕГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: разбор задания 7 ЕГЭ математика база.

По этой теме есть отдельный разбор: геометрический смысл производной и касательная в задании 8.

PDF бесплатно