Уравнение касательной к графику функции — это прямая, которая в одной точке имеет общее направление с графиком функции. Её удобно получать через производную, потому что производная в точке даёт угловой коэффициент касательной.
Что такое уравнение касательной к графику функции?
Касательная к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x_0\) — это прямая, touching the graph in this point and having the same slope as the graph there. По определению производной, \[ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}, \] это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, и именно это значение равно тангенсу угла наклона касательной. Следовательно, \[ f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\alpha, \] где \(k\) — угловой коэффициент касательной, \(\alpha\) — угол между касательной и положительным направлением оси \(Ox\).
Связь между производной и касательной выражается формулой \[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0), \] которая часто называют уравнение касательной через производную. Эта запись позволяет быстро получить нужную прямую, если известны значение функции и её производная в интересующей точке.
Коротко
- \(f'(x_0) = k = \tg\alpha\) — наклон касательной
- f'>0 → функция возрастает, f'<0 → убывает
- Максимум: f' меняет знак с + на –, минимум: – на +
- На отрезке всегда проверяй значения в концах
- Производная константы равна нулю
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Как составить уравнение касательной в точке?
Построение касательной сводится к трёхэтапному алгоритму, который удобно запомнить как составить уравнение касательной к графику функции в точке.
- Уравнение касательной
- Шаг 1: Найти значение функции в точке \(x_0\): \(y_0 = f(x_0)\)
- Шаг 2: Вычислить производную функции и подставить точку: \(m = f'(x_0)\)
- Шаг 3: Подставить в уравнение прямой через точку с наклоном \(m\): \(y - y_0 = m(x - x_0)\)
Например, для функции \(f(x)=x^2\) в точке \(x_0=2\): \(y_0 = f(2)=4\), \(f'(x)=2x\Rightarrow f'(2)=4\), тогда уравнение касательной: \[ y-4 = 4(x-2)\;\;\Longrightarrow\;\; y = 4x-4. \]
Часто ученики путают правило для произведения и считают \((uv)' = u'v'\). Это приводит к ошибке при нахождении производной, а значит и наклона касательной.
Нормаль к касательной: разница и связь
Нормаль к графику функции в точке \(x_0\) — прямая, проходящая через точку \((x_0,f(x_0))\) и перпендикулярная касательной в этой же точке. Если наклон касательной равен \(k = f'(x_0)\), то наклон нормали равен \(-\frac{1}{k}\) (при условии \(k\neq0\)). Поэтому уравнение нормали выглядит так: \[ y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0). \]
Если производная равна нулю, касательная параллельна оси \(Ox\), а нормаль — вертикальная прямая \(x = x_0\).
- Нормаль к касательной
- Шаг 1: Найти точку касания \((x_0,f(x_0))\)
- Шаг 2: Вычислить производную \(f'(x_0)\)
- Шаг 3: Если \(f'(x_0)\neq0\), взять наклон нормали \(-\frac{1}{f'(x_0)}\); иначе нормаль — вертикальная линия
- Шаг 4: Составить уравнение прямой через найденную точку с полученным наклоном
Частые вопросы
Как найти уравнение касательной к графику функции? Нужно вычислить значение функции и её производную в заданной точке, затем подставить их в формулу \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\).
Чем отличается касательная от нормали? Касательная имеет направление, совпадающее с направлением графика функции в точке, а нормаль перпендикулярна касательной. Их наклоны связаны соотношением \(k_{\text{нормали}} = -\frac{1}{k_{\text{касательной}}}\) (при ненулевом наклоне касательной).
Как составить уравнение касательной в точке? Следуйте алгоритму: найдите \(f(x_0)\), найдите \(f'(x_0)\), подставьте в \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\).
Что такое производная касательной? Производная касательной — это её угловой коэффициент, который равен второй производной исходной функции только в случае, когда рассматривается изменение наклона касательной вдоль графика. В большинстве школьных задач достаточно знать, что наклон касательной равен первой производной \(f'(x_0)\).
Как использовать график функции для нахождения касательной? На графике проведите прямую, которая в точке интереса лишь касается кривой, не пересекая её. Выберите две удобные точки на этой прямой, найдите их координаты и вычислите наклон как \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Этот наклон и будет \(f'(x_0)\), а дальше стройте уравнение через точку касания.
По этой теме есть отдельный разбор: тригонометрия в ЕГЭ: формулы и решения.
По этой теме есть отдельный разбор: быстрые лайфхаки по решению тригонометрических уравнений на ЕГЭ.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.