Логарифмы

Логарифмы ЕГЭ профиль задания: теория и как готовиться

Логарифмы ЕГЭ профиль задания встречаются в номерах 6, 7 и 13. Разбор с нуля: свойства и формулы, методы решения уравнений и неравенств, типичные ошибки.

12 мин чтения
#Логарифмы#логарифмы ЕГЭ профиль задания#задание 7 егэ математика профиль логарифмы#13 задание егэ профиль логарифмы#логарифмические уравнения и неравенства ЕГЭ профиль

Исправляю только :::formulas — убираю \( и \) из каждой строки блока. Всё остальное без изменений.

---

`markdown --- title: Логарифмы ЕГЭ профиль задания: теория и как готовиться description: Логарифмы ЕГЭ профиль задания встречаются в номерах 6, 7 и 13. Разбор с нуля: свойства и формулы, методы решения уравнений и неравенств, типичные ошибки. slug: logarifmy-ege-profil-zadaniya keywords: [логарифмы ЕГЭ профиль задания, задание 7 егэ математика профиль логарифмы, 13 задание егэ профиль логарифмы, логарифмические уравнения и неравенства ЕГЭ профиль, как решать логарифмы ЕГЭ профиль, формулы логарифмы для ЕГЭ профиль, логарифмы ЕГЭ профиль 2026] author: Алмаз date: 2026-08-16 cluster: logarifmy ---

Логарифмы встречаются в нескольких заданиях профильного ЕГЭ — от базовых вычислений до сложных неравенств второй части. Статья показывает, где именно и что нужно знать, чтобы не терять баллы. Разбор ведётся по заданиям: теория → метод → типичная ошибка.

В каких заданиях ЕГЭ профиль 2026 встречаются логарифмы

Логарифмы в ЕГЭ профиль 2026 охватывают несколько номеров КИМа — и первую, и вторую части. Ниже сводная таблица по материалам ФИПИ.

| Задание | Что проверяется | Часть | Первичные баллы | |---------|----------------|-------|-----------------| | 4 | Логарифм как опорное вычисление в прикладной или геометрической задаче | 1 | 1 | | 6 | Вычисление числового логарифмического выражения | 1 | 1 | | 7 | Упрощение выражения, часто с формулой перехода к новому основанию | 1 | 1 | | 9 | Логарифмическая функция: область определения, монотонность | 1 | 1 | | 11 | Производная функции с \(\ln x\), точки экстремума | 1 | 1 | | 12 | График логарифмической функции: соответствие формуле | 1 | 1 | | 13 | Логарифмическое уравнение | 2 | 2 | | 15 | Логарифмическое неравенство | 2 | 3 |

Задание 4 иногда требует вычислить \(\log_2 8\) или \(\lg 0{,}01\) в рамках более широкой прикладной задачи — логарифм здесь не главное, но знание опорных значений экономит время.

Задания 6 и 7 — первая часть, по одному баллу, однако их часто теряют из-за формул. Задание 13 и задание 15 — вторая часть; именно они дают наибольшую прибавку к итоговому результату.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Задания 6 и 7 ЕГЭ профиль: вычисление логарифмических выражений

В заданиях первой части на логарифмы нужно получить конкретное число. Никаких ответов «в виде логарифма» — только числовое значение.

  1. Вычисление логарифмического выражения
  2. Шаг 1. Выбрать «базовое основание» — то, которое встречается чаще всего, или к которому проще привести остальные.
  3. Шаг 2. Привести все логарифмы к этому основанию с помощью формулы перехода или правила \(\log_{a^k} b = \tfrac{1}{k}\log_a b\).
  4. Шаг 3. Применить свойства: произведение → сумма, частное → разность, степень → множитель.
  5. Шаг 4. Выделить опорные значения: \(\log_a 1 = 0\), \(\log_a a = 1\), \(\log_a a^k = k\).
  6. Шаг 5. Если в показателе степени стоит логарифм, применить основное тождество \(a^{\log_a b} = b\).
  7. Шаг 6. Сократить и записать числовой ответ.

Типовой пример 1. Вычислить \(\log_4 32\).

Приводим к основанию 2: \[ \log_4 32 = \log_{2^2} 2^5 = \frac{5}{2} \] Работает правило \(\log_{a^k} b^m = \tfrac{m}{k}\log_a b\) при \(\log_2 2 = 1\).

Типовой пример 2. Вычислить \(\log_7 9 \cdot \log_3 7\).

Узнаём цепное свойство: аргумент первого логарифма (\(9 = 3^2\)) и основание второго (3) образуют «цепочку»: \[ \log_7 9 \cdot \log_3 7 = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \] Или через перестановку аргументов: \[ \log_7 9 \cdot \log_3 7 = \log_7 7 \cdot \log_3 9 = 1 \cdot 2 = 2 \]

Типовой пример 3. Вычислить \(2^{\log_2 5 + \log_2 3}\).

\[ 2^{\log_2 5 + \log_2 3} = 2^{\log_2(5 \cdot 3)} = 2^{\log_2 15} = 15 \]

На последнем шаге — основное тождество \(a^{\log_a b} = b\).

Частая ошибка именно в задании 6: пытаются разложить \(\log_a(x + y)\) как сумму двух логарифмов. Свойство суммы работает только для произведения аргументов — об этом подробнее в разделе про ошибки.

Теория и формулы логарифмов для ЕГЭ профиль

Определение. \[ \log_a b = c \iff a^c = b, \quad a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0 \] Логарифм существует только для строго положительного аргумента. Это первая вещь, которую проверяют в любой задаче.

Частные случаи: \(\lg b = \log_{10} b\) (десятичный), \(\ln b = \log_e b\) (натуральный, \(e \approx 2{,}718\)).

Область допустимых значений (ОДЗ): \[ \log_{a(x)} f(x)\ \text{определён} \iff f(x) > 0,\quad a(x) > 0,\quad a(x) \neq 1 \]

Логарифмическая функция \(y = \log_a x\) определена при \(x > 0\). При \(a > 1\) возрастает, при \(0 < a < 1\) убывает. Это свойство напрямую управляет знаком неравенства в задании 15.

---

Основное тождество
\[a^{\log_a b} = b\]
Логарифм произведения
\[\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\quad(x>0,\,y>0)\]
Логарифм частного
\[\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\quad(x>0,\,y>0)\]
Логарифм степени
\[\log_a x^p = p\log_a x\quad(x>0)\]
Переход к новому основанию
\[\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\quad(c>0,\,c\neq1)\]
Степень в основании
\[\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k}\log_a b\]
Степень в основании и аргументе
\[\log_{a^n} b^n = \log_a b\]
Взаимно обратные логарифмы
\[\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\]
Опорные значения
\[\log_a 1 = 0;\quad \log_a a = 1;\quad \log_a a^k = k\]
Чётная степень (модуль)
\[\log_a x^2 = 2\log_a |x|\]
Обратное основное тождество
\[b^{\log_a c} = c^{\log_a b}\]
Цепное свойство (свёртка)
\[\log_a c \cdot \log_c b = \log_a b\]
Перестановка аргументов
\[\log_a b \cdot \log_c d = \log_a d \cdot \log_c b\]

Опорные значения — знать наизусть:

Коротко

  • \(\log_2 4 = 2\)
  • \(\log_2 8 = 3\)
  • \(\log_2 \tfrac{1}{2} = -1\)
  • \(\log_3 9 = 2\)
  • \(\log_3 27 = 3\)
  • \(\log_5 25 = 2\)
  • \(\log_5 0{,}04 = \log_5 \tfrac{1}{25} = -2\)
  • \(\lg 100 = 2\)
  • \(\lg 0{,}1 = -1\)
  • \(\lg 0{,}01 = -2\)
  • \(\ln e = 1\)

Задание 13 ЕГЭ профиль: логарифмические уравнения

Задание 13 — второй части, два первичных балла. Логарифмические уравнения встречаются трёх уровней сложности.

Уровень 1: простейшее уравнение

Вид: \(\log_a f(x) = c\).

  1. Простейшее логарифмическое уравнение
  2. Шаг 1. Записать ОДЗ: \(f(x) > 0\).
  3. Шаг 2. По определению перейти к показательной форме: \(f(x) = a^c\).
  4. Шаг 3. Решить полученное алгебраическое уравнение.
  5. Шаг 4. Отобрать корни по ОДЗ и записать ответ.

Пример. \(\log_3(2x - 1) = 2\).

ОДЗ: \(2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{1}{2}\).

Переход: \(2x - 1 = 9 \Rightarrow x = 5\). Проверка: \(5 > \tfrac{1}{2}\) — подходит.

Уровень 2: приведение к одному основанию

Вид: \(\log_2 x + \log_4 x = 3\).

  1. Приведение к одному основанию
  2. Шаг 1. Выбрать базовое основание (здесь — 2).
  3. Шаг 2. Выразить все логарифмы через него: \(\log_4 x = \log_{2^2} x = \tfrac{1}{2}\log_2 x\).
  4. Шаг 3. Ввести замену \(t = \log_2 x\) и решить алгебраическое уравнение.
  5. Шаг 4. Вернуться к \(x = 2^t\) и проверить ОДЗ.

Для примера: \(t + \tfrac{1}{2}t = 3 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow x = 4\). ОДЗ \(x > 0\) выполнено.

Уровень 3: замена переменной

Вид: \((\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0\).

  1. Метод замены переменной
  2. Шаг 1. Ввести \(t = \log_2 x\), указать: \(x > 0\).
  3. Шаг 2. Переписать уравнение: \(t^2 - 3t + 2 = 0\).
  4. Шаг 3. Решить: \(t_1 = 1,\quad t_2 = 2\).
  5. Шаг 4. Вернуться к переменной: \(\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2\); \(\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4\).
  6. Шаг 5. Проверить ОДЗ: оба значения положительны — оба подходят.

Проверка ОДЗ при переменном основании. В уравнении \(\log_x(2x - 1) = 1\) к обычному ОДЗ добавляются условия на основание: \(x > 0\), \(x \neq 1\), \(2x - 1 > 0\). После этого переходят к \(2x - 1 = x \Rightarrow x = 1\), но \(x = 1\) нарушает \(x \neq 1\) — уравнение не имеет корней.

Задание 15 ЕГЭ профиль: логарифмические неравенства

Задание 15 — самое «дорогое» среди логарифмных: три первичных балла. Главная ловушка — знак неравенства при переходе к аргументам.

Неравенство с числовым основанием

  1. Логарифмическое неравенство (числовое основание)
  2. Шаг 1. Записать ОДЗ: \(f(x) > 0\) (и \(g(x) > 0\), если присутствует в правой части).
  3. Шаг 2. Определить тип основания: \(a > 1\) или \(0 < a < 1\).
  4. Шаг 3. При \(a > 1\) сохранить знак неравенства; при \(0 < a < 1\) — поменять знак на противоположный.
  5. Шаг 4. Решить полученное рациональное неравенство.
  6. Шаг 5. Пересечь решение с ОДЗ — это и есть ответ.

Пример 1 (основание > 1). \(\log_2 x > 3\).

ОДЗ: \(x > 0\). Переход (знак сохраняется): \(x > 2^3 = 8\). С учётом ОДЗ: \(x > 8\).

Пример 2 (основание < 1). \(\log_{0{,}5}(x - 1) > -2\).

ОДЗ: \(x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\). Основание \(0{,}5 < 1\) — знак меняется: \[ x - 1 < (0{,}5)^{-2} = 4 \Rightarrow x < 5 \] Пересечение с ОДЗ: \(1 < x < 5\).

Неравенство с переменным основанием: метод рационализации

Когда основание зависит от \(x\), разбор на два случая (a > 1 и 0 < a < 1) даёт громоздкие выкладки. Метод рационализации позволяет свести задачу к одному рациональному неравенству.

  1. Метод рационализации
  2. Шаг 1. Записать ОДЗ: \(a(x) > 0\), \(a(x) \neq 1\), \(f(x) > 0\), \(g(x) > 0\).
  3. Шаг 2. Привести неравенство к виду \(\log_{a(x)} f(x) - \log_{a(x)} g(x) \gtrless 0\), то есть \(\log_{a(x)} \tfrac{f(x)}{g(x)} \gtrless 0\).
  4. Шаг 3. Использовать факт: знак \(\log_{a(x)} \tfrac{f}{g}\) совпадает со знаком \(\bigl(a(x)-1\bigr)\cdot\!\left(\tfrac{f(x)}{g(x)}-1\right)\).
  5. Шаг 4. Решить полученное рациональное неравенство методом интервалов.
  6. Шаг 5. Пересечь с ОДЗ и записать ответ.

Типичные ошибки с логарифмами на ЕГЭ профиль

Шесть конкретных ошибок — стоит проверить, какая из них «своя».

❌ ошибкаРешают \(\log_3(2x-1)=2\), сразу пишут \(x=5\) без ОДЗ
✅ верноСначала ОДЗ: \(2x-1>0\), затем решение, затем проверка корня по ОДЗ
Без ОДЗ посторонние корни проходят незамеченными — теряется балл
❌ ошибкаИз \(\log_{0{,}5} f > \log_{0{,}5} g\) делают \(f > g\)
✅ верноПри основании \(<1\) знак меняется: \(0 < f < g\)
Функция с основанием из \((0{,}1)\) убывает — больший логарифм соответствует меньшему аргументу
❌ ошибкаПишут \(\log_a x^2 = 2\log_a x\) без оговорок
✅ верноВерно \(\log_a x^2 = 2\log_a |x|\) — чётная степень даёт модуль
При \(x < 0\) правая часть без модуля не определена, а левая — определена
❌ ошибкаРаскрывают \(\log_a(x+y) = \log_a x + \log_a y\)
✅ верноСвойство суммы работает только для произведения: \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\)
Логарифм суммы не раскладывается ни по какой формуле
❌ ошибкаВ уравнении \(\log_x(2x-1)=1\) не пишут условие на основание
✅ верноНужно \(x>0\), \(x\neq 1\), \(2x-1>0\) — и только потом решать
Без \(x\neq1\) посторонний корень \(x=1\) попадёт в ответ
❌ ошибкаПосле замены \(t=\log_2 x\) находят \(t\) и пишут его как ответ
✅ верноОбязательно вернуться: \(x=2^t\), и затем проверить ОДЗ
\(t\) — промежуточная переменная; в ответе — исходная \(x\)

Как готовиться к логарифмам в ЕГЭ профиль: план и ресурсы

Четыре этапа — вместо хаотичного «порешаю подряд».

Этап 1 — теория (1–2 дня). Выучить определение, ОДЗ и все формулы из раздела выше. Проверочный тест: назвать \(\log_2 8\), \(\log_5 0{,}04\), \(\lg 0{,}01\) без подсказки. Пока не получается — возвращаться к опорным значениям.

Этап 2 — задания 6 и 7 (2–3 дня). Открыть банк заданий ФИПИ, тема «Логарифмы», раздел «Вычисления». Решать до тех пор, пока формула перехода и цепное свойство не перестанут вызывать затруднения. Параллельно полезна тематическая подборка на РешуЕГЭ по теме логарифмических вычислений.

Этап 3 — уравнения, задание 13 (3–4 дня). Три уровня последовательно: простейшие → приведение к одному основанию → замена переменной. После каждого уровня — разбор ОДЗ. Банк ФИПИ, категория «Логарифмические уравнения».

Этап 4 — неравенства, задание 15 (3–4 дня). Начать с числовых оснований — закрепить правило смены знака. Затем неравенства с переменным основанием и метод рационализации. На РешуЕГЭ есть варианты с разбором по шагам — они помогают отследить, где именно теряется знак.

Тайм-менеджмент на экзамене. Задания 6 и 7 — не более 2 минут на каждое. Задание 13 — до 10 минут. Задание 15 — до 15 минут; если решение не идёт, лучше перейти к следующей задаче и вернуться позже.

Коротко

  • Открытый банк ФИПИ: fipi.ru → «Открытый банк заданий ЕГЭ» → Математика (профиль)
  • РешуЕГЭ: тематический фильтр «Логарифмические выражения» для заданий 6–7
  • РешуЕГЭ: фильтры «Логарифмические уравнения» и «Логарифмические неравенства» для заданий 13 и 15

Частые вопросы

Как решать логарифмы на ЕГЭ профиль?

Последовательность единая для всех типов задач: сначала ОДЗ, затем применение формул (привести к одному основанию, использовать свойства), потом решение алгебраической задачи и проверка корней. Пропуск ОДЗ — гарантированная потеря балла.

В каких заданиях ЕГЭ профиль встречаются логарифмы?

Логарифмы охватывают до шести номеров первой части (4, 6, 7, 9, 11, 12) и две задачи второй части (13 и 15). Суммарно это около восьми первичных баллов — существенная доля итогового результата.

Какие формулы логарифмов нужно знать для ЕГЭ?

Обязательные: логарифм произведения, частного, степени, формула перехода к новому основанию, основное тождество. Отдельно стоит знать цепное свойство, взаимно обратные логарифмы и правило \(\log_{a^n} b^n = \log_a b\). Полный список — в разделе теории выше.

Как решить задание 13 с логарифмическим уравнением?

Три шага: ОДЗ → переход к алгебраической форме (через определение или через равенство аргументов) → проверка корней. При переменном основании условия \(a > 0\), \(a \neq 1\) входят в ОДЗ. После замены переменной — обязательно возвращаться к исходной переменной.

Как решать логарифмические неравенства в задании 15?

Алгоритм: ОДЗ → тип основания → переход к аргументам с учётом знака (при \(a > 1\) знак сохраняется, при \(0 < a < 1\) меняется) → рациональное неравенство → пересечение с ОДЗ. При переменном основании удобнее метод рационализации, а не разбор на два случая вручную.

Нужно ли проверять ОДЗ при решении логарифмических уравнений?

Обязательно. Логарифм определён только для строго положительного аргумента, поэтому корень, при котором аргумент обращается в ноль или становится отрицательным, посторонний и подлежит отбрасыванию. Именно пропуск ОДЗ — одна из самых частых причин потери баллов в задании 13.

По этой теме есть отдельный разбор: определению и свойствам логарифма.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства и график логарифмической функции.

По этой теме есть отдельный разбор: задании 7 ЕГЭ профиль.

По этой теме есть отдельный разбор: логарифмические неравенства с переменным основанием. `

Что исправлено: в блоке :::formulas удалены обёртки \( и \) из каждой строки — формулы теперь идут как голый TeX без inline-разделителей, что соответствует требованию формата компонента.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Таблица Брадиса: логарифмы и тригонометрия — как читать2026-08-07Что такое логарифм простыми словами: свойства, формулы и примеры2026-07-16Логарифмическая функция ее свойства и график: определения и примеры2026-07-23Логарифмические задачи ЕГЭ: как не запутаться в сложных примерах2026-07-07