Как решать логарифмические неравенства с переменным основанием

Исправляю: в обоих блоках :::formulas убираю обёртки \( \) вокруг TeX-формул. Остальное не трогаю.

--- title: Как решать логарифмические неравенства с переменным основанием description: Как решать логарифмические неравенства с переменным основанием: метод рационализации, ОДЗ, модуль и разные основания. Разбор для 10 класса и ЕГЭ-профиля. slug: kak-reshat-logarifmicheskie-neravenstva-s-peremennym keywords: [как решать логарифмические неравенства с переменным основанием, как решать логарифмические неравенства 10 класс, как решать логарифмические неравенства егэ профиль, как решать логарифмические неравенства с модулем, как решать логарифмические неравенства с разными основаниями] author: Алмаз date: 2026-07-30 cluster: racionalizaciya ---

Статья для учеников 10 класса и абитуриентов, готовящихся к ЕГЭ-профилю: три сложных случая — переменное основание, модуль и разные основания. Центральный инструмент — метод рационализации: он заменяет логарифмическое сравнение произведением множителей, знак которого легко отследить. Разберём, когда метод применим, как не потерять ОДЗ и какие ловушки расставляет экзаменатор.

Метод рационализации: идея и условие применимости

Стандартный «переход» при решении логарифмических неравенств требует знать знак основания относительно единицы. При переменном основании это превращается в разбор случаев. Метод рационализации обходит эту проблему за счёт одной идеи: знак произведения определяется знаками множителей.

Каждый «сложный» множитель — логарифм, корень, степень, модуль — заменяют знако-эквивалентным многочленом. Обоснование: домножение на положительное сопряжённое (для корней и модулей) или монотонность функции (для степеней и логарифмов). Замена сохраняет знак, но не значение.

Отсюда вытекает главное условие применимости:

Неравенство должно быть приведено к виду «выражение \(\lessgtr 0\)». Пока справа стоит ненулевое число, рационализация не работает.

Сначала всё переносят в левую часть и приводят к дроби или произведению — затем заменяют.

Рабочие формулы для логарифмов:

Знак \(\sim\) означает «совпадает по знаку». Этих двух формул достаточно для большинства задач — разбирать случаи \(a > 1\) и \(0 < a < 1\) отдельно не нужно: множитель \((a-1)\) учитывает оба автоматически.

Как решать логарифмические неравенства с переменным основанием

Переменное основание — частый источник ошибок, потому что стандартный «переход» ломается: нельзя расписать знак без знания того, больше ли основание единицы. Метод рационализации снимает эту проблему: формула \(\log_a f \sim (a-1)(f-1)\) учитывает оба случая через знак множителя \((a-1)\).

Пример. Решить \(\log_{x^2-3}(2x-1) > 0\).

Обозначим основание \(a = x^2 - 3\), аргумент \(f = 2x - 1\).

ОДЗ:

\[ \begin{cases} x^2 - 3 > 0 \\ x^2 - 3 \neq 1 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |x| > \sqrt{3} \\ x^2 \neq 4 \\ x > \tfrac{1}{2} \end{cases} \]

На ОДЗ остаётся область \(x > \sqrt{3},\; x \neq 2\).

Рационализация. Неравенство \(\log_a f > 0\) — это \(\log_a f - \log_a 1 > 0\). По формуле разности логарифмов:

\[ \log_{x^2-3}(2x-1) > 0 \;\;\xrightarrow{\sim}\;\; \underbrace{(x^2 - 3 - 1)}_{\text{основание}-1}\cdot\underbrace{(2x - 1 - 1)}_{\text{аргумент}-1} > 0 \]

\[ (x^2 - 4)(2x - 2) > 0 \;\Rightarrow\; 2(x-2)(x+2)(x-1) > 0 \]

Делим на \(2 > 0\) — знак не меняется: \((x-2)(x+2)(x-1) > 0\).

Методом интервалов: решение \(-2 < x < 1\) или \(x > 2\).

Пересекаем с ОДЗ (\(x > \sqrt{3},\; x \neq 2\)): первый интервал выпадает целиком.

Ответ: \(x > 2\).

Именно такой алгоритм позволяет решать логарифмические неравенства с переменным основанием в одну цепочку, без разбора случаев.

Как решать логарифмические неравенства с разными основаниями

Два логарифма с разными переменными основаниями — и сразу встаёт вопрос о сведении к единому виду. Есть два равноценных пути.

Путь 1 — смена основания. Использовать формулу \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\), привести всё к одному основанию, затем рационализировать.

Путь 2 — рационализировать каждый логарифм отдельно по формуле \(\log_a f \sim (a-1)(f-1)\), а затем объединить множители. Этот путь короче, когда оба основания содержат переменную.

Пример. Решить \(\log_{x+1}(x+3) > \log_{x-1}(x+3)\).

ОДЗ:

\[ \begin{cases} x + 1 > 0,\; x+1 \neq 1 \\ x - 1 > 0,\; x-1 \neq 1 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow\; x > 1,\; x \neq 2 \]

Перенос влево:

\[ \log_{x+1}(x+3) - \log_{x-1}(x+3) > 0 \]

Рационализируем каждый логарифм по формуле \(\log_a f \sim (a-1)(f-1)\):

\[ \log_{x+1}(x+3) \sim \bigl((x+1)-1\bigr)\bigl((x+3)-1\bigr) = x(x+2) \]

\[ \log_{x-1}(x+3) \sim \bigl((x-1)-1\bigr)\bigl((x+3)-1\bigr) = (x-2)(x+2) \]

Подставляем:

\[ x(x+2) - (x-2)(x+2) > 0 \;\Rightarrow\; (x+2)\bigl[x-(x-2)\bigr] > 0 \;\Rightarrow\; 2(x+2) > 0 \]

Отсюда \(x > -2\). Пересекаем с ОДЗ (\(x > 1,\; x \neq 2\)):

Ответ: \(x \in (1;\,2)\cup(2;\,+\infty)\).

Решая логарифмические неравенства с разными основаниями, рационализация каждого слагаемого отдельно, как правило, оказывается быстрее смены основания.

Как решать логарифмические неравенства с модулем

Модуль внутри логарифма добавляет ещё один уровень: сначала раскрыть или рационализировать модуль, затем решать логарифмическое неравенство.

Способ 1 — раскрытие по случаям. Если аргумент содержит \(|x|\), делят на ветки \(x \geq 0\) и \(x < 0\). На каждой ветке модуль раскрывается аналитически, после чего применяется рационализация. Результаты объединяют с учётом ОДЗ каждой ветки.

Способ 2 — прямая рационализация модуля. Для разности или произведения модулей применяют формулу:

Это позволяет обойтись без разбора случаев в несложных ситуациях.

Пример. Решить \(\log_2(|x| - 1) > 0\).

ОДЗ: \(|x| - 1 > 0 \;\Rightarrow\; |x| > 1 \;\Rightarrow\; x \in (-\infty;\,-1)\cup(1;\,+\infty)\).

Поскольку основание \(2 > 1\), логарифм возрастает, и неравенство \(\log_2(|x|-1) > 0 = \log_2 1\) равносильно:

\[ |x| - 1 > 1 \;\Rightarrow\; |x| > 2 \;\Rightarrow\; x < -2 \text{ или } x > 2 \]

Пересекаем с ОДЗ (совпадает): ответ \(x \in (-\infty;\,-2)\cup(2;\,+\infty)\).

Вложенные модули. При выражениях вида \(\bigl||f| - c\bigr|\) раскрывают последовательно — снаружи внутрь. На каждом шаге применяют подходящую строку таблицы рационализации.

Смешанные множители — когда в одном выражении присутствуют логарифм, корень и модуль одновременно:

Решая логарифмические неравенства с модулем, ОДЗ выписывают до любых замен — иначе теряется область, на которой переход законен.

Типичные ошибки на ЕГЭ профиль: четыре ловушки экзаменатора

Экзаменационные задачи устроены так, чтобы стандартные оплошности давали неверный ответ. Разберём четыре наиболее частые.

Ловушка 1 — потеря ОДЗ. Неравенство \(\log_{x}(x-2) > 0\). После рационализации: \((x-1)(x-3) > 0\), то есть \(x < 1\) или \(x > 3\). Без ОДЗ кажется, что подходит и \(x < 1\). Но ОДЗ: \(x > 0\), \(x \neq 1\), \(x > 2\). Пересечение оставляет только \(x > 3\).

Ловушка 2 — правая часть не ноль. Неравенство \(\log_a f > 2\). Нельзя сразу заменять \(\log_a f \sim (a-1)(f-1)\) и сравнивать с \(2\). Правильно: перенести — \(\log_a f - 2 > 0\), записать \(2 = \log_a a^2\), получить \(\log_a(f/a^2) > 0\) — и только затем рационализировать.

Ловушка 3 — отброшенный множитель \((a-1)\). Некоторые рассуждают: «основание меньше единицы — значит, переворачиваем знак» — и убирают \((a-1)\) из произведения вручную. Это ломает метод интервалов: именно этот множитель должен стоять в произведении, чтобы знаки считались верно.

Ловушка 4 — сокращение кратных множителей. Если в произведении появляется \((x-2)^2\), его нельзя сокращать с отдельным \((x-2)\): точка \(x = 2\) является выколотой или граничной, и сокращение скрывает её.

Частые вопросы

Как решать логарифмические неравенства с переменным основанием?

Записать ОДЗ: основание \(a > 0\), \(a \neq 1\), аргумент \(f > 0\). Перенести всё в левую часть. Применить формулу \(\log_a f \sim (a-1)(f-1)\) или для разности \(\log_a f - \log_a g \sim (a-1)(f-g)\). Решить методом интервалов и пересечь с ОДЗ. Разбор случаев \(a > 1\) и \(0 < a < 1\) не нужен — множитель \((a-1)\) учитывает оба автоматически.

Как решать логарифмические неравенства с модулем?

Если модуль стоит в аргументе, часто применяют формулу \(|a| - |b| \sim a^2 - b^2\) напрямую. При вложенных модулях — раскрывают последовательно, снаружи внутрь, с рационализацией на каждом шаге. ОДЗ выписывается до любых замен; забыть его в задачах с модулем особенно опасно.

Как решать логарифмические неравенства с разными основаниями?

Два пути: свести к одному основанию через \(\log_a b = \log_c b / \log_c a\) и рационализировать; либо рационализировать каждый логарифм по формуле \(\log_a f \sim (a-1)(f-1)\) отдельно и объединить множители в одном произведении. Второй путь короче, когда оба основания содержат переменную.

Как решать логарифмические неравенства на профильном ЕГЭ?

Универсальный алгоритм: привести к сравнению с нулём, выписать ОДЗ, рационализировать каждый множитель, решить методом интервалов, пересечь с ОДЗ. Особая осторожность нужна с переменным основанием и вложенными модулями — там потеря ОДЗ наиболее вероятна, и именно за это теряют баллы.

Как решать логарифмические неравенства в 10 классе?

В школьном курсе достаточно двух формул: \(\log_a b \sim (a-1)(b-1)\) и \(\log_a f - \log_a g \sim (a-1)(f-g)\). Алгоритм единый для всех типов: всё в левую часть, ОДЗ в систему, рационализация, метод интервалов, пересечение с ОДЗ. Разбора случаев по знаку основания не требуется — он «зашит» в множителе \((a-1)\).

По этой теме есть отдельный разбор: свойства и определение логарифма.

По этой теме есть отдельный разбор: монотонность логарифмической функции.

По этой теме есть отдельный разбор: метод интервалов.

По этой теме есть отдельный разбор: неравенства с модулем.

---

Единственное изменение: в двух блоках :::formulas убраны обёртки \( и \) вокруг формул — теперь TeX стоит голым, без делимитеров.