Описанная окружность треугольника: свойства и радиус

Описанная окружность треугольника: определение и центр

Описанная окружность треугольника — это единственная окружность, проходящая через все три вершины данного треугольника. Её центр называют центром описанной окружности, а радиус — радиусом описанной окружности треугольника. Эта фигура тесно связана с теоремой синусов и свойствами средних перпендикуляров сторон.

Что такое описанная окружность и где находится её центр

Центр описанной окружности треугольника находится в точке пересечения средних перпендикуляров, проведённых к сторонам треугольника. Каждый средний перпендикуляр делит соответствующую сторону пополам и перпендикулярен ей. Поскольку все три средних перпендикуляра пересекаются в одной точке, эта точка равноудалённа от всех вершин, то есть является центром окружности, проходящей через них.

Если обозначить стороны треугольника через \(a,b,c\), а противолежащие им углы — через \(A,B,C\), то радиус описанной окружности можно выразить через любую сторону и её противолежащий угол:

\[ R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}. \]

Эта формула непосредственно следует из теоремы синусов, которая утверждает, что отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности: \(\dfrac{a}{\sin A}=2R\).

Ещё один удобный вид формулы использует площадь \(S\) треугольника и длины всех сторон:

\[ R = \frac{abc}{4S}. \]

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.

Как найти центр описанной окружности

Чтобы построить центр описанной окружности, достаточно выполнить следующие действия:

1. 1. Выбрать любую сторону треугольника и построить её средний перпендикуляр.
2. 2. Повторить то же самое для второй стороны.
3. 3. Точка пересечения полученных двух прямых и есть искомый центр.

(Третий средний перпендикуляр пройдёт через эту же точку, что служит проверкой.)

Как найти радиус описанной окружности

Если известны длина стороны и величина противолежащего угла, радиус находится по шагам:

1. 1. Измеряем сторону \(a\) и угол \(A\), противолежащий ей.
2. 2. Вычисляем \(\sin A\).
3. 3. Подставляем в формулу \(R = \dfrac{a}{2\sin A}\).

При известных всех трёх сторонах удобно воспользоваться формулой через площадь: сначала находим \(S\) (например, по формуле Герона), затем вычисляем \(R = \dfrac{abc}{4S}\).

Типичные ошибки и их исправление

Ключевые факты о описанной окружности треугольника

Описанная окружность около четырехугольника

Описанная окружность около четырехугольника (или окружность, описанная вокруг четырехугольника) существует тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов четырехугольника равна \(180^\circ\). Такие четырехугольники называются циклическими. Если известны длины сторон \(a,b,c,d\) и одна из диагоналей \(e\), радиус описанной окружности можно найти по формуле, аналогичной формуле для треугольника, но использующей полупериметр \(p=\frac{a+b+c+d}{2}\) и площадь \(S\) четырехугольника (например, по формуле Брахмагупты):

\[ R = \frac{\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}{4S}. \]

В задачах часто встречается запрос «найдите треугольник описанный около окружности» — это означает, что по заданной окружности нужно построить треугольник, стороны которого касаются этой окружности (вписанный треугольник). Для такого треугольника центр вписанной окружности совпадает с центром заданной окружности, а стороны можно найти, используя углы при вершинах и радиус \(R\) известной окружности: сторона \(a = 2R \sin \alpha\), где \(\alpha\) — угол, противолежащий этой стороне.

Как найти сторону треугольника описанного около окружности

Когда речь идёт о треугольнике, описанном около окружности (то есть окружность является вписанной в треугольник), сторона треугольника связана с радиусом \(r\) вписанной окружности и углами при вершинах. Формула для стороны выглядит так:

\[ a = \frac{2r}{\sin \frac{\alpha}{2}}, \]

где \(\alpha\) — угол при вершине, противолежащей стороне \(a\). Если известны два угла и радиус вписанной окружности, можно последовательно вычислить все три стороны.

В частности, если сторона треугольника равна радиусу описанной окружности (\(a = R\)), то из соотношения \(R = \frac{a}{2\sin A}\) следует, что \(\sin A = \frac12\), то есть угол \(A = 30^\circ\) или \(150^\circ\) (в пределах треугольника — \(30^\circ\)). Это условие часто используется в олимпиадных задачах, где требуется «найти сторону треугольника описанного около окружности равна» или «углы треугольника описанного около окружности».

Для практического расчёта удобно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. 1. Измеряем радиус \(r\) вписанной окружности (или известный радиус \(R\) описанной, если задача дана в таком виде).
2. 2. Определяем угол при вершине, противолежащей искомой стороне.
3. 3. Подставляем значения в формулу \(a = \dfrac{2r}{\sin \frac{\alpha}{2}}\) (или \(a = 2R \sin A\) для описанной окружности).
4. 4. Получаем длину стороны.

Этот подход позволяет решить запросы типа «найти сторону треугольника описанного окружностью» и «найти сторону треугольника описанного около окружности», а также проверить равенство «сторона треугольника описанного около окружности равна» радиусу описанной окружности.

FAQ

Вопрос 1: Что такое описанная окружность треугольника? Ответ: Это окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Её центр — пересечение средних перпендикуляров сторон.

Вопрос 2: Как найти радиус описанной окружности, если известны две стороны и угол между ними? Ответ: Сначала найдите третью сторону по теореме косинусов, затем используйте формулу \(R = \frac{abc}{4S}\), где площадь \(S\) можно вычислить по формуле \(\frac12ab\sin C\).

Вопрос 3: Можно ли описать окружность вокруг любого четырехугольника? Ответ: Нет, только вокруг циклического четырехугольника, у которого сумма противоположных углов равна \(180^\circ\).

Вопрос 4: Как связаны стороны треугольника и радиусы описанной и вписанной окружностей? Ответ: Для описанной окружности \(R = \frac{abc}{4S}\); для вписанной окружности \(r = \frac{S}{p}\), где \(p\) — полупериметр. Из этих соотношений можно выразить сторону через радиусы и углы.

Вопрос 5: Где можно найти готовые примеры расчётов для ЕГЭ? Ответ: В разделе «Ключевые факты» и в linked материалах по планиметрии ЕГЭ профиль и теоремам о треугольниках.

Таким образом, описанная окружность треугольника — важный геометрический объект, чей центр находится в пересечении средних перпендикуляров, а радиус легко вычисляется через сторону и противолежащий угол или через стороны и площадь треугольника. Эти соотношения позволяют решать широкий круг задач, связанных с треугольниками и окружностями, а также расширяются на случаи с четырехугольниками и вписанными окружностями.

По этой теме есть отдельный разбор: планиметрия ЕГЭ профиль: теория и формулы.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы площадей фигур: треугольник, круг и другие.

По этой теме есть отдельный разбор: теоремы о треугольниках: синусы, косинусы и площадь.