Производная

Таблица производных для ЕГЭ: шпаргалка элементарных функций

Полная таблица производных для ЕГЭ профиль: элементарные и тригонометрические функции, сравнение с первообразными, разбор заданий 7, 8 и 11.

10 мин чтения
#Производная#таблица производных для егэ#таблица производных элементарных функций 11 класс#таблица производных и первообразных#таблица основных производных

Готово. Вот полный файл с добавленным разделом FAQ:

--- title: Таблица производных для ЕГЭ: шпаргалка элементарных функций description: Полная таблица производных для ЕГЭ профиль: элементарные и тригонометрические функции, сравнение с первообразными, разбор заданий 7, 8 и 11. slug: tablica-proizvodnyh-dlya-ege keywords: [таблица производных для егэ, таблица производных элементарных функций 11 класс, таблица производных и первообразных, таблица основных производных, таблица производных функций 11 класс, таблица производных для егэ профиль математика] author: Алмаз date: 2026-08-06 cluster: proizvodnaya ---

Задания №7, №8 и №11 профильного ЕГЭ по математике объединяет одно: без производных их не решить. Таблица производных элементарных функций — это фундамент, с которого начинается любая задача на касательную, экстремум или монотонность. В статье — полная таблица основных производных, сводная таблица с первообразными для сравнения и разбор семи типичных ошибок, которые стоят реальных баллов.

Что такое производная: определение для 11 класса

Производная функции в точке \( x_0 \) — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

Если предел существует, функция называется дифференцируемой в этой точке.

Геометрический смысл. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке: \( f'(x_0) = k = \operatorname{tg}\,\alpha \). Именно это используется в задании №8 — там спрашивают наклон касательной или просят составить её уравнение.

Физический смысл. Если \( s(t) \) — координата тела, то \( s'(t) = v(t) \) — мгновенная скорость, а \( s''(t) = a(t) \) — ускорение. Задачи на физический смысл встречаются в №8: найти скорость в момент времени \( t_0 \) или определить, когда тело остановилось.

Критическая точка — это точка, где производная равна нулю или не существует:

\[ f'(x) = 0 \quad \text{или} \quad f'(x) \text{ не существует} \]

Экстремум функции возможен только в критической точке, поэтому их поиск — всегда первый шаг в задачах на максимум и минимум.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Таблица основных производных: полная версия

Ниже — таблица производных функций 11 класса в полном составе. Знаки и коэффициенты заучиваются именно в таком виде, без домысливания.

Константа
\[(C)' = 0\]
Степенная
\[(x^{n})' = n\,x^{n-1}\]
Корень
\[(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\]
Экспонента
\[(e^{x})' = e^{x}\]
Показательная
\[(a^{x})' = a^{x}\ln a\]
Натуральный логарифм
\[(\ln x)' = \dfrac{1}{x}\]
Логарифм по основанию a
\[(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}\]
Синус
\[(\sin x)' = \cos x\]
Косинус
\[(\cos x)' = -\sin x\]
Тангенс
\[(\operatorname{tg}\,x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\]
Котангенс
\[(\operatorname{ctg}\,x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}\]

Несколько пояснений, которые помогают запомнить:

Степенная формула \( (x^n)' = nx^{n-1} \) работает при любом \( n \), включая дробные и отрицательные значения: \( (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \tfrac{1}{2\sqrt{x}} \).

Экспонента \( e^x \) — единственная функция, тождественно равная своей производной.

У косинуса и котангенса производная со знаком минус. Это главный источник ошибок в тригонометрических задачах — минус нужно знать наизусть.

Таблица производных и первообразных: в чём разница

Дифференцирование и интегрирование — обратные операции. Если \( F'(x) = f(x) \), то \( F \) называется первообразной функции \( f \). Таблица производных и первообразных позволяет видеть обе операции рядом и не путать их.

| \( f(x) \) | Производная \( f'(x) \) | Первообразная \( F(x) \) | |:---|:---|:---| | \( C \) | \( 0 \) | \( Cx \) | | \( x^n \) | \( nx^{n-1} \) | \( \dfrac{x^{n+1}}{n+1},\quad n \neq -1 \) | | \( \sqrt{x} \) | \( \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) | \( \dfrac{2}{3}x^{3/2} \) | | \( e^x \) | \( e^x \) | \( e^x \) | | \( \ln x \) | \( \dfrac{1}{x} \) | \( x\ln x - x \) | | \( \sin x \) | \( \cos x \) | \( -\cos x \) | | \( \cos x \) | \( -\sin x \) | \( \sin x \) |

Особое внимание — строки с синусом и косинусом. При дифференцировании \( \sin \to \cos \) (без минуса), а первообразная синуса — \( -\cos x \) (с минусом). С косинусом наоборот: производная \( -\sin x \), а первообразная \( \sin x \) без минуса. Если перепутать столбцы, ответ будет неверным даже при правильной технике счёта.

По этой теме есть отдельный разбор: таблица первообразных функций.

Какие производные реально нужны на ЕГЭ профиль математика

Не весь список одинаково важен. Из практики реальных вариантов, для таблицы производных для ЕГЭ профиль математика достаточно восьми строк — они закрывают около 90% встречающихся формул:

Коротко

  • Степенная \((x^n)' = nx^{n-1}\) — основа задач №7 и №11, встречается в большинстве вариантов
  • Корень \((\sqrt{x})' = 1/(2\sqrt{x}\)) — встречается как отдельно, так и в составных выражениях
  • Синус \((\sin\) x)' = \(\cos x\) — тригонометрические задачи в №7 и №11
  • Косинус \((\cos\) x)' = \(-\sin x\) — знак минус обязателен, потеря его меняет ответ
  • Экспонента \((e^x)' = e^x\) — показательные функции в №11 и №12
  • Показательная \((a^x)' = a^x \ln a\) — нужна в составных показательных задачах
  • Натуральный логарифм \((\ln\) x)' = 1/x — задачи с логарифмической функцией
  • Логарифм по основанию a: \((\log_a\) x)' = 1/(x \(\ln a\)) — встречается в №12

Задание №7 — как правило, вычислить производную функции или найти её значение в точке. Задание №8 работает с графиком: наклон касательной, число точек экстремума, физический смысл. Задание №11 — нахождение экстремумов и промежутков монотонности по формуле. Таблица производных функций для ЕГЭ закрывает все три задания.

Что важно знать отдельно для задания №8:

Коротко

  • Число точек экстремума = число пересечений графика f' с осью Ox со сменой знака
  • Касательная параллельна оси Ox тогда и только тогда, когда f'(x) = 0
  • Скорость v(t) = s'(t); чтобы найти нужный момент, решают уравнение s'(t) = \(v_0\)

Правила дифференцирования: как применять таблицу

Знание таблицы — необходимое, но не достаточное условие. К ней прилагаются правила, без которых производную составной функции не найти.

Вынос константы
\[(C \cdot f)' = C \cdot f'\]
Сумма
\[(u + v)' = u' + v'\]
Произведение (Лейбниц)
\[(uv)' = u'v + uv'\]
Частное
\[\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\]
Сложная функция (цепное правило)
\[\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
Линейный аргумент
\[\bigl(f(kx+b)\bigr)' = k \cdot f'(kx+b)\]

Цепное правило — самое важное и самое частая ошибка на ЕГЭ: если функция «вложена» в другую, результат умножается на производную внутренней функции. Примеры:

\[ (e^{3x+1})' = 3\,e^{3x+1},\qquad (\sin 2x)' = 2\cos 2x,\qquad (\ln 5x)' = \frac{5}{5x} = \frac{1}{x} \]

Правило с линейным аргументом — частный случай цепного: внутренняя функция \( kx + b \) имеет производную \( k \), которая и выносится множителем. Это рабочая заготовка для большинства задач с показательными и логарифмическими функциями.

Пример — уравнение касательной к графику \( f(x) = x^3 - 2x \) в точке \( x_0 = 1 \):

  1. Уравнение касательной
  2. Шаг 1. Вычислить \(f(x_0): f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 = -1\)
  3. Шаг 2. Найти f'(x) = \(3x^2 - 2\), затем f'(1) = 3 \(\cdot 1 - 2 = 1\)
  4. Шаг 3. Подставить в y = \(f(x_0) +\) \(f'(x_0)(x - x_0): y = -1 + 1 \cdot (x - 1\)) = x - 2

Топ-7 ошибок при работе с производными на ЕГЭ

Прежде всего — об ошибке, которая чаще всего встречается в задании №8: путают график самой функции \( f \) и график её производной \( f' \). По графику \( f' \) смотрят знак относительно оси \( Ox \), а не значения \( f \). Экстремум ищут там, где \( f' \) меняет знак при пересечении оси, а не там, где у графика \( f' \) пик или впадина.

Остальные семь ошибок — в формате «неверно / верно / почему»:

❌ ошибка(uv)' = u'v'
✅ верно(uv)' = u'v + uv'
Произведение дифференцируется по правилу Лейбница. Пример: (x \(\cdot\) \(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x\)), а не x \(\cdot e^x\)
❌ ошибкаЗабыли умножить на производную внутренней функции
✅ верно(f(g))' = f'(g) \(\cdot\) g'
Цепное правило: внешняя функция умножается на производную внутренней. \((\sin\) 3x)' = \(3\cos 3x\), а не \(\cos 3x\)
❌ ошибка\((\cos\) x)' = \(\sin x\)
✅ верно\((\cos\) x)' = \(-\sin x\)
У косинуса производная со знаком минус — это базовая строка таблицы, которую нужно знать без рассуждений
❌ ошибкаНаибольшее на отрезке ищут только среди критических точек
✅ верноСравнивают значения в критических точках И на концах отрезка
Максимум может достигаться на границе; если не проверить концы, ответ ошибочен
❌ ошибка«Точка минимума» и «минимум функции» — одно и то же
✅ верноТочка экстремума — это абсцисса \(x_0\); экстремальное значение — это \(f(x_0\))
Спрашивают \(x_0\), а пишут \(f(x_0\)), или наоборот — ответ берут из «не того столбца»
❌ ошибкаЛюбая точка, где f'=0, является точкой экстремума
✅ верноЭкстремум только там, где f' меняет знак
У y = \(x^3\) производная \(3x^2 = 0\) при x = 0, но знак f' не меняется — экстремума нет
❌ ошибкаНаклон убывающей касательной положителен
✅ верноЕсли касательная идёт вниз, \(f'(x_0) < 0\); по клеткам берут \(\Delta y / \Delta x\) со знаком
Тангенс тупого угла отрицателен; брать только длины катетов без знака — ошибка

FAQ: частые вопросы о таблице производных для ЕГЭ

Нужно ли учить всю таблицу производных наизусть?

Для профильного ЕГЭ достаточно восьми формул: степенная, корень, синус, косинус, экспонента, показательная, натуральный логарифм, логарифм по основанию \( a \). Они закрывают около 90% задач в вариантах. Тангенс и котангенс встречаются редко — их можно вывести из синуса и косинуса через правило частного.

Можно ли пользоваться таблицей производных на ЕГЭ?

Нет. Никакие справочные материалы на профильном ЕГЭ по математике не выдаются. Таблица производных, формулы и правила дифференцирования должны быть в памяти.

В каких заданиях ЕГЭ нужна таблица производных?

Напрямую — в №7 (вычислить производную или её значение в точке), №8 (работа с графиком \( f' \): касательная, экстремумы, физический смысл) и №11 (нахождение экстремумов и промежутков монотонности). Косвенно производные используются и в №12, где встречаются логарифмические и показательные функции.

Чем производная отличается от первообразной?

Производная — результат дифференцирования: \( f \to f' \). Первообразная — результат интегрирования: \( F' = f \). Это обратные операции. В таблице они стоят в разных столбцах, и путать их нельзя: например, производная \( \sin x \) равна \( \cos x \), а первообразная \( \sin x \) — это \( -\cos x \) со знаком минус.

Почему у косинуса производная со знаком минус, а у синуса нет?

Это фундаментальное свойство тригонометрических функций, которое выводится из определения производной через предел. Запоминают как правило: «синус даёт косинус без минуса, косинус даёт синус с минусом». Аналогично у котангенса минус, у тангенса — нет.

Как быстро проверить производную на ЕГЭ, если не уверен в знаке?

Подставьте конкретное число. Например, для \( (\cos x)' \): вычислите \( \frac{\cos(0{,}01) - \cos(0)}{0{,}01} \approx \frac{0{,}99995 - 1}{0{,}01} \approx -0{,}005 \). Результат отрицательный — значит, производная косинуса в нуле отрицательна, что соответствует \( -\sin(0{,}01) \approx -0{,}01 \), то есть знак минус подтверждается. Этот приём работает как грубая проверка за 30 секунд.

Если вы искали «производные предлоги» для ЕГЭ по русскому

Таблица производных предлогов для ЕГЭ — это тема ЕГЭ по русскому языку, не математики. Производные предлоги («в течение», «вследствие», «наподобие», «несмотря на» и т. д.) образованы от других частей речи и относятся к разделу морфологии. Правописание производных предлогов, таблица для ЕГЭ 2026 и 2025 по русскому языку — всё это в материалах по соответствующему предмету.

Эта статья о производных функций — разделе математического анализа, который изучается в 11 классе. Если нужна информация о производных предлогах, перейдите в раздел подготовки к ЕГЭ по русскому языку.

По этой теме есть отдельный разбор: что такое производная функции.

По этой теме есть отдельный разбор: производную сложной функции.

По этой теме есть отдельный разбор: задачи на производную в ЕГЭ.

---

Добавлен раздел ## FAQ с шестью вопросами перед блоком про производные предлоги. Всё остальное не тронуто.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Что такое экстремум функции на графике: максимум и минимум2026-07-29Что такое производная функции простыми словами: объяснение2026-07-14Как найти производную сложной функции: правило цепочки2026-07-29Как решать задачи на производную в ЕГЭ: шаг за шагом с примерами2026-07-07