Планиметрия

Задание 1 ЕГЭ математика профиль: планиметрия и прототипы

Разбор всех типов планиметрии в задании 1 ЕГЭ математика профиль. Изучите прототипы 2026 года от ФИПИ и используйте тренажер для подготовки к экзамену.

8 мин чтения
#Планиметрия#задание 1 егэ математика профиль#планиметрия егэ профиль 1 задание#прототипы 1 задания егэ математика профиль 2026#все типы задания 1 егэ математика профиль

Теория: что нужно знать для решения 1 задания ЕГЭ математика профиль

Задание 1 ЕГЭ математика профиль относится к планиметрии — разделу, где требуется находить неизвестные элементы геометрических фигур по заданным данных. Основные понятия, которые необходимо освоить:

Прямоугольный треугольник ABC с высотой CH, проведённой из прямого угла к гипотенузе
Прямоугольный треугольник ABC с высотой CH, проведённой из прямого угла к гипотенузе

Основные элементы треугольника

Треугольник — это многоугольник из трёх сторон и трёх углов. Сумма внутренних углов всегда равна \(180^\circ\).

Медиана — отрезок от вершины до середины противоположной стороны. Все три медианы пересекаются в центроиде, который делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины.

Биссектриса — это отрезок, который делит угол треугольника пополам. Она имеет свойство: делит противоположную сторону в пропорции к прилежащим сторонам.

Высота — перпендикуляр, проведённый из вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Три высоты пересекаются в ортоцентре.

Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника. Она параллна третьей стороне и равна ей вдвое меньше.

Типы треугольников

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. При этом углы при основании равны, а медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают.

Равносторонний треугольник — все стороны равны, все углы по \(60^\circ\). Здесь любые замечательные линии совпадают.

Ключевые формулы

Площадь треугольника
\[S = \frac{1}{2} a h_a\]
Площадь через два угла
\[S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma\]
Теорема Пифагора
\[c^2 = a^2 + b^2\]
Теорема косинусов
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\]
Теорема синусов
\[\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R\]
Формула Герона
\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
Радиус вписанной окружности
\[r = \frac{S}{p}\]
Радиус описанной окружности
\[R = \frac{abc}{4S}\]
Длина медианы
\[m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}\]
Длина биссектрисы
\[l_a^2 = bc - \frac{a^2bc}{(b+c)^2}\]
Высота к гипотенузе
\[h_c = \frac{ab}{c}\]
Катет как среднее геометрическое
\[a^2 = c \cdot c_a\]
Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника
\[r = \frac{a + b - c}{2}\]
PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Разбор 1 задания ЕГЭ математика профиль 2026: методы решения

Задачи из первой части ЕГЭ по математике требуют системного подхода. Основные методы решения:

Метод теоремы косинусов

Применяется, когда известны две стороны и угол между ними, или три стороны и нужно найти угол.

  1. Решение через теорему косинусов
  2. Шаг 1. Обозначить стороны a, b, c и углы α, β, γ так, чтобы искомая величина легла за вычисление.
  3. Шаг 2. Подставить данные в формулу \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\).
  4. Шаг 3. Найти неизвестный угол или сторону.
  5. Шаг 4. Проверить: против большего угла должна быть большая сторона.

Метод теоремы синусов

Удобен при наличии стороны и двух углов, либо двух сторон и угла против одной из них.

  1. Решение через теорему синусов
  2. Шаг 1. Найти третий угол по сумме 180°.
  3. Шаг 2. Записать пропорцию \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}\).
  4. Шаг 3. Выразить искомую величину.
  5. Шаг 4. Учесть два решения при тупом угле.

Метод площадей

Позволяет связать разные элементы через единую величину — площадь.

  1. Метод площадей
  2. Шаг 1. Вычислить S двумя способами.
  3. Шаг 2. Приравнять выражения.
  4. Шаг 3. Выразить искомый отрезок.
  5. Шаг 4. Проверить согласованность.

Использование вписанной и описанной окружностей

Полезно, когда в условии упоминаются r, R или точки касания.

  1. Использование окружностей
  2. Шаг 1. Найти S (по Герону или другим способам).
  3. Шаг 2. Вычислить p = \(\frac{P}{2}\).
  4. Шаг 3. Найти r = \(\frac{S}{p}, R = \frac{abc}{4S}\).
  5. Шаг 4. Использовать свойства касательных.

Подобие треугольников

Ключевой метод при наличии параллельных прямых или равных углов.

  1. Метод подобия
  2. Шаг 1. Найти пару равных углов.
  3. Шаг 2. Установить подобие.
  4. Шаг 3. Составить пропорцию сторон.
  5. Шаг 4. Найти искомое.

Свойство биссектрисы

Позволяет находить отрезки на противоположной стороне.

  1. Свойство биссектрисы
  2. Шаг 1. Записать \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\).
  3. Шаг 2. Использовать BD + DC = a.
  4. Шаг 3. Найти длину биссектрисы по формуле.
  5. Шаг 4. Проверить знаки.

Координатный метод

Применяется при сложных конструкциях с перпендикулярами.

  1. Координатный метод
  2. Шаг 1. Ввести удобную систему координат.
  3. Шаг 2. Найти координаты вершин и нужных точек.
  4. Шаг 3. Вычислить расстояния и углы.
  5. Шаг 4. Проверить результат.

Достраивание и дополнительные построения

Позволяет превратить сложную фигуру в простые треугольники.

  1. Достраивание
  2. Шаг 1. Определить проблему.
  3. Шаг 2. Провести высоту или продлить отрезок.
  4. Шаг 3. Получить прямоугольный треугольник.
  5. Шаг 4. Применить Пифагор или подобие.

Типовые прототипы 1 задания ЕГЭ математика профиль 2026

Ниже представлены типовые варианты, часто встречающиеся в банке ФИПИ.

Вписанный угол α и центральный угол 2α, опирающиеся на одну дугу AB
Вписанный угол α и центральный угол 2α, опирающиеся на одну дугу AB

Прототип 1: Найти высоту по двум сторонам и углу

Дан треугольник ABC с AB = 5, AC = 7, угол A = 60°. Найти высоту из вершины B.

Решение: Сначала найти BC по теореме косинусов, затем использовать S = \(\frac{1}{2} ab \sin \gamma\) и S = \(\frac{1}{2} a h_a\).

Прототип 2: Биссектриса делит сторону

В треугольнике ABC биссектриса делит сторону AC на 4 и 6. Найти отношение AB : BC.

Решение: По свойству биссектрисы \(\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Прототип 3: Равнобедренный треугольник

Основание равнобедренного треугольника 8, боковая сторона 5. Найти высоту и площадь.

Решение: h = \(\sqrt{5^2 - 4^2} = 3, S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\) = 12.

Прототип 4: Прямоугольный треугольник

Гипотенуза 10, катет 6. Найти второй катет и высоту к гипотенузе.

Решение: b = \(\sqrt{10^2 - 6^2} = 8, h = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8\).

Прототип 5: Использование средней линии

В треугольнике ABC проведена средняя линия MN. Если BC = 12, найти MN.

Решение: MN = \(\frac{1}{2} BC = 6\).

Тренажер: решение 1 задания ЕГЭ математика профиль 2026

Практика помогает закрепить теорию. Решите следующие задачи:

Задача 1

В треугольнике ABC стороны AB = 13, BC = 14, CA = 15. Найти радиус описанной окружности.

Подсказка: Используйте формулу R = \(\frac{abc}{4S}\) и формулу Герона для площади.

Задача 2

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C) высота, проведённая из C к гипотенузе, равна 6. Найти произведение проекций катетов на гипотенузу.

Подсказка: h = \(\sqrt{c_a \cdot c_b}\), значит \(c_a \cdot c_b = 36\).

Задача 3

В треугольнике ABC биссектриса из A делит сторону BC на отрезки 3 и 7. Если AB = 5, найти AC.

Подсказка: По свойству биссектрисы \(\frac{AB}{AC} = \frac{3}{7}\).

Задача 4

Медиана треугольника равна 10, прилежащие стороны 8 и 6. Найти третью сторону.

Подсказка: Используйте формулу длины медианы \(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}\).

Задача 5

В равносторонном треугольнике высота равна 9. Найти радиус описанной окружности.

Подсказка: h = \(\frac{a\sqrt{3}}{2}, R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\), следовательно R = \(\frac{2}{3} h\).

Типичные ошибки в 1 задании ЕГЭ математика профиль

Даже опытные абитуриенты допускают типичные ошибки. Избегайте их:

❌ ошибкаВ теореме косинусов пишут \(c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \gamma\)
✅ верноПравильно \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\)
При γ = 90° должна получиться теорема Пифагора, а знак минус учитывает рост стороны при тупом угле.
❌ ошибкаЦентроид делит медиану пополам, AG = \(\frac{1}{2} m_a\)
✅ верноЦентроид делит медиану в отношении 2:1 от вершины, AG = \(\frac{2}{3} m_a\)
Большая часть отводится вершине, иначе неверные расчёты длин и площадей.
❌ ошибкаПлощади подобих треугольников относятся как коэффициент подобия k
✅ верноПлощади относятся как \(k^2\)
Площадь — двумерная величина, масштабируется во второй степени.
❌ ошибкаСинус находят по формуле \(\sin \alpha =\) \(\frac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}\)
✅ верно\(\sin \alpha =\) \(\frac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}\)
Синус связан с противолежащим катетом, косинус — с прилежащим.
❌ ошибкаДля любого треугольника считают R = \(\frac{c}{2}\)
✅ верноR = \(\frac{c}{2}\) верно только для прямоугольного треугольника
В обычном треугольнике используется R = \(\frac{a}{2 \sin \alpha}\).
❌ ошибкаСчитают, что треугольник со сторонами 2, 3, 6 существует
✅ верноТакого треугольника нет: 2 + 3 = 5 < 6
Неравенство треугольника требует, чтобы сумма двух сторон была больше третьей.
❌ ошибкаСчитают, что биссектриса внешнего угла делит противоположную сторону внутри в отношении прилежащих
✅ верноБиссектриса внешнего угла пересекает продолжение стороны и делит её внешним образом
Отношение \(\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}\), но точка K лежит вне отрезка BC.

Коротко

  • Сумма углов треугольника: \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).
  • Медианы делятся в точке пересечения как 2:1 от вершины.
  • Площадь через угол: S = \(\frac{1}{2} ab \sin \gamma\).
  • Формула Герона: S = \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).
  • Вписанная окружность: r = \(\frac{S}{p}\); описанная: R = \(\frac{abc}{4S}\).
  • В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине.
  • Неравенство треугольника: |b-c| < a < b+c.
  • У подобих фигур площади относятся как \(k^2\), периметры — как k.
  • Биссектриса делит сторону пропорционально прилежащим сторонам.
  • Против большей стороны лежит больший угол.

Частые вопросы

Как решать 1 задание егэ математика профиль?

Основной алгоритм: выделить известные данные, определить, какой метод применить (теорема косинусов, синусов, подобие, биссектриса), выполнить вычисления по формулам, проверить ответ на корректность.

Какие формулы нужны для 1 задания егэ математика профиль?

Необходимо знать формулы для площади, теоремы Пифагора, косинусов и синусов, формулы для медианы и биссектрисы, а также свойства вписанной и описанной окружностей.

Где найти прототипы 1 задания егэ математика профиль 2026?

Прототипы собраны в предыдущем разделе статьи. Также рекомендуется использовать официальные материалы ФИПИ и проверенные тренировочные варианты на ресурсах, специализирующихся на подготовке к ЕГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: теоремы косинусов, синусов и площади треугольников.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы тригонометрии.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности2026-07-13Как решать задачи на производную в ЕГЭ: шаг за шагом с примерами2026-07-07Логарифмические задачи ЕГЭ: как не запутаться в сложных примерах2026-07-07Логарифмы в ЕГЭ: свойства, уравнения и как решать2026-07-07