Теорема о трёх перпендикулярах связывает перпендикулярность прямой и плоскости с перпендикулярностью её проекции и прямой в этой плоскости. Она часто встречается в задачах на призмы и пирамиды, где нужно найти угол или расстояние, опираясь на построение перпендикуляров. Эта тема изучается в 10 классе геометрии, где рассматриваются теорема о трех перпендикулярах 10 класс, а также теорема о трех перпендикулярах решение задач на примерах призм и пирамид.
Формулировка теоремы о трёх перпендикулярах простыми словами
Если прямая \(AH\) перпендикулярна плоскости \(\pi\), то её проекция \(AH_{\pi}=H\) лежит в \(\pi\). Для любой прямой \(l\), проходящей через точку \(H\) и лежащей в \(\pi\), выполняется условие: \(AH\perp l\) тогда и только тогда, когда проекция \(A\) на \(\pi\) (точка \(H\)) соединена с \(H\) перпендикулярно \(l\). Иными словами, наклонная перпендикулярна прямой в плоскости именно тогда, когда её проекция перпендикулярна этой прямой. Это утверждение удобно применять в правильных призмах и пирамидах, где высота является перпендикуляром к основанию, а боковые рёбра — наклонными.
Коротко
- - В призме высота — перпендикуляр между основаниями.
- - В правильной пирамиде высота проецируется в центр основания.
- - Апофема — высота боковой грани, проведённая из вершины к стороне основания.
По этой теме есть отдельный разбор: Планиметрия ЕГЭ профиль: теория и задания.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Доказательство теоремы о трёх перпендикулярах
Дано: прямая \(AH\perp\pi\), точка \(H\in\pi\), прямая \(l\subset\pi\) проходит через \(H\). Нужно показать: \(AH\perp l\Rightarrow AB\perp l\), где \(B\) — произвольная точка на \(l\).
- 1. Поскольку \(AH\perp\pi\), она перпендикулярна любой прямой в \(\pi\), проходящей через \(H\). В частности, \(AH\perp HH\) тривиально, но нам нужен другой подход.
- 2. Проведём через точку \(A\) плоскость \(\alpha\), перпендикулярную прямой \(l\). Так как \(l\subset\pi\), пересечение \(\alpha\) с \(\pi\) — прямая, перпендикулярная \(l\) и проходящая через \(H\). Обозначим её через \(m\).
- 3. По построению \(AH\subset\alpha\) (так как \(AH\perp\pi\) и \(\alpha\perp l\Rightarrow AH\perp l\)). Следовательно, \(AH\perp m\).
- 4. В плоскости \(\alpha\) прямая \(AB\) лежит, так как \(A\in\alpha\) и \(B\in l\subset\pi\), а пересечение \(\alpha\) с \(\pi\) — именно \(m\). Поэтому \(AB\) — пересечение \(\alpha\) с плоскостью, проведённой через \(A\) и \(B\).
- 5. Поскольку в \(\alpha\) прямая \(AH\) перпендикулярна \(m\), а \(AB\) содержит точку \(A\) и пересекает \(m\) в точке \(H\), то \(AB\perp m\). А так как \(m\perp l\) и обе лежат в \(\pi\), то из теоремы о трёх перпендикулярах в обратном направлении получаем \(AB\perp l\).
Таким образом, перпендикулярность наклонной и прямой в плоскости эквивалентна перпендикулярности её проекции и той же прямой.
- Синтетическое доказательство
- 1. Зафиксировать плоскость \(\pi\) и точку \(H\) в ней.
- 2. Через \(A\) построить плоскость \(\alpha\perp l\).
- 3. Пересечение \(\alpha\) с \(\pi\) даёт прямую \(m\perp l\), проходящую через \(H\).
- 4. Показать, что \(AH\subset\alpha\) и \(AH\perp m\).
- 5. Сделать вывод, что \(AB\perp m\), а следовательно \(AB\perp l\).
По этой теме есть отдельный разбор: Треугольники в ЕГЭ: теоремы косинусов и синусов.
Обратная теорема о трёх перпендикулярах и её применение
Обратное утверждение гласит: если прямая \(AB\) перпендикулярна прямой \(l\), лежащей в плоскости \(\pi\), и точка \(H\) — проекция точки \(A\) на \(\pi\) лежит на \(l\), то \(AH\perp\pi\). То есть, чтобы доказать перпендикулярность наклонной и плоскости, достаточно показать, что её проекция перпендикулярна некоторой прямой в этой плоскости.
Это свойство активно используется при нахождении угла между линией и плоскостью: достаточно построить перпендикуляр к данной линии в плоскости через проекцию точки и проверить перпендикулярность исходной линии и этой конструкции.
Коротко
- - Обратная теорема позволяет переходить от линейного угла двугранного к углу между наклонной и плоскостью.
- - В задачах на призмы часто достаточно проверить перпендикулярность бокового ребра и диагонали основания.
Задачи на теорему о трёх перпендикулярах (ЕГЭ, типовые, задача 3)
Задача 1
В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) сторона основания равна \(6\), высота призмы — \(8\). Найдите угол между диагональю боковой грани \(A_1B\) и плоскостью основания \(ABC\).
Решение. Диагональ \(A_1B\) — наклонная, её проекция на основание — отрезок \(AB\) (сторона основания). По теореме о трёх перпендикулярах достаточно найти угол между \(A_1B\) и \(AB\). В прямоугольном треугольне \(A_1AB\) катет \(AA_1=8\) (высота), катет \(AB=6\). Тогда \(\tan\varphi=\dfrac{AA_1}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\), следовательно \(\varphi=\arctan\dfrac{4}{3}\).
Задача 2
В правильной квадратной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(a=4\), боковое ребро \(SA=5\). Докажите, что высота пирамиды перпендикулярна плоскости \(SBC\).
Решение. Проекция вершины \(S\) на основание — центр \(O\) квадрата \(ABCD\). Отрезок \(SO\) — высота. Плоскость \(SBC\) пересекает основание по прямой \(BC\). Поскольку \(O\) лежит на средней перпендикулярной к \(BC\) (диагонали квадрата), то \(SO\perp BC\). По теореме о трёх перпендикулярах, если \(SO\perp BC\) и \(BC\subset(SBC)\), то \(SO\perp(SBC)\). Следовательно, высота пирамиды перпендикулярна плоскости \(SBC\).
- Решение задачи на угол между наклонной и плоскостью
- 1. Найти проекцию наклонной на плоскость.
- 2. Построить треугольник, образованный наклонной, её проекцией и высотой.
- 3. Применить теорему Пифагора или тригонометрические отношения.
- 4. Вычислить искомый угол.
Частые вопросы
Вопрос? Отсутствуют часто задаваемые вопросы для данной темы.
По этой теме есть отдельный разбор: Стереометрия ЕГЭ профиль 3 задание.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.