Стереометрия

Стереометрия ЕГЭ профиль 3 задание: теория и формулы

Разбираем стереометрию в задании 3 ЕГЭ профиль по математике (стереометрия егэ профиль 3 задание 2026). Готовимся к экзамену: учим теорию, формулы, методы решения.

6 мин чтения
#Стереометрия#стереометрия егэ профиль 3 задание#стереометрия егэ профиль#задание 3 егэ математика профиль#стереометрия егэ профиль формулы

Обзор стереометрия егэ профиль 3 задание 2026: в этом материале рассмотрены задачи, которые будут актуальны на экзамене 2026 года.

Что такое стереометрия на ЕГЭ профиль: определения и понятия

Стереометрия егэ теория изучает свойства трёхмерных фигур, что необходимо для успешного решения задач. На задании 3 ЕГЭ профиль часто требуется работать с простыми телами: призмами, пирамидами, телами вращения и правильным тетраэдром.

Призма — многогранник с двумя равными основаниями, лежащими в параллельных плоскостях, и боковыми гранями-параллелограммами. Если боковые рёбра перпендикулярны основаниям — прямая призма. Если основание правильный многоугольник, говорим о правильной призме.

Пирамида — фигура с полигональным основанием и треугольными боковыми гранями, сходящимися в одной вершине. Правильная пирамида имеет правильный многоугольник в основании и высоту, проведённую в центр основания.

Апофема правильной пирамиды — это высота боковой грани, проведённая из вершины к стороне основания. Она часто нужна для нахождения площади боковой поверхности.

Тела вращения образуются при вращении плоской фигуры вокруг оси. Прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар.

Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, все рёбра которой равны. Все грани — равносторонние треугольники.

В первой части (стереометрия егэ профиль 1 часть) экзамена часто встречаются базовые определения и формулы.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Формулы стереометрии для задания 3 ЕГЭ (задание 3 егэ математика профиль формулы): объём и поверхность

Ключевые формулы стереометрии необходимо помнить точно, так как ошибки в них часто приводят к полному баллу.

Объём призмы
\[V=S_{\text{осн}}\cdot h\]
Объём пирамиды
\[V=\dfrac{1}{3}\,S_{\text{осн}}\cdot h\]
Объём цилиндра
\[V=\pi R^{2}h\]
Объём конуса
\[V=\dfrac{1}{3}\pi R^{2}h\]
Объём шара
\[V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\]
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
\[S_{\text{бок}}=\dfrac{1}{2}\,P_{\text{осн}}\cdot l\]
Площадь правильного треугольника
\[S_{\triangle}=\dfrac{\sqrt3}{4}\,a^{2}\]
Площадь правильного шестиугольника
\[S_{6}=\dfrac{3\sqrt3}{2}\,a^{2}\]
Боковая поверхность прямой призмы
\[S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h\]
Полная поверхность куба
\[S_{\text{полн}}=6a^{2}\]
Объём куба
\[V=a^{3}\]
Площадь поверхности шара
\[S=4\pi R^{2}\]
Диагональ куба
\[d=a\sqrt3\]

Важно различать объём и площадь поверхности. Шар часто путают: площадь \(4\pi R^{2}\), объём \(\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\).

Для правильных фигур симметрия позволяет выразить все параметры через одну величину — длину ребра \(a\).

Методы решения задач стереометрии в первой части ЕГЭ профиль

Существует несколько проверенных подходов к решению задач стереометрии.

  1. Координатный метод (углы и расстояния в задании 14)
  2. Шаг 1 Выбрать начало координат в удобной вершине, направить оси вдоль рёбер
  3. Шаг 2 Записать координаты всех нужных точек
  4. Шаг 3 Найти направляющие векторы для прямых
  5. Шаг 4 Применить формулы для углов и расстояний
  6. Шаг 5 Записать точный ответ

Координатный метод удобен для симметричных фигур: кубов, прямоугольных параллелепипедов, правильных призм.

Другой популярный способ — метод объёмов. Он применяется, когда нужно найти высоту тетраэдра или расстояние от точки до плоскости.

  1. Метод объёмов (расстояние от точки до плоскости)
  2. Шаг 1 Выделить тетраэдр, одна грань которого — целевая плоскость
  3. Шаг 2 Найти объём тетраэдра удобным способом
  4. Шаг 3 Вычислить площадь целевой грани
  5. Шаг 4 Из формулы V=1/3·S·h выразить h=3V/S
  6. Шаг 5 Записать ответ

Классический синтетический метод основан на построениях и теоремах. Полезен, когда требуется чёткое обоснование.

Развёртка боковой поверхности применяется к задачам о кратчайших путях по поверхности или длине нити.

Сечения и подобие позволяют находить объёмы усечённых тел. При рассечении параллельно основанию объём малой части вычисляется как \(k^3\) от общего, где \(k\) — коэффициент подобия.

Вписанные и описанные тела вращения рассматриваются через осевое сечение. Шар вписанный в конус касается его обеих сторон осевого треугольника.

Типичные ошибки на задании 3 ЕГЭ по стереометрии

Ошибки в стереометрии часто снижают баллы до нуля. Ниже — самые распространённые.

❌ ошибка\(V=S_{\text{осн}}\cdot h\) для пирамиды
✅ верно\(V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h\)
Множитель 1/3 отличает пирамиду от призмы
❌ ошибкаВ качестве h у наклонной призмы берут боковое ребро
✅ верноh — перпендикуляр между основаниями, у наклонной h<ребра
Высота всегда меньше бокового ребра
❌ ошибкаУгол между скрещивающимися прямыми считают тупым (cos<0)
✅ верно\(cos=\dfrac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a||\vec b|}\) — берут модуль
Угол между прямыми не превосходит 90°
❌ ошибкаОбразующую конуса приравнивают к высоте: l=h
✅ верно\(l=\sqrt{R^{2}+h^{2}}\)
Образующая — гипотенуза осевого треугольника
❌ ошибкаПлощадь поверхности шара считают как \(\pi R^{2}\) или \(\dfrac{4}{3}\pi R^{2}\)
✅ верно\(S=4\pi R^{2}, V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\)
Площадь в 4 раза больше площади большого круга
❌ ошибкаДиагональ куба принимают равной \(a\sqrt2\)
✅ верно\(d=a\sqrt3\)
\(a\sqrt2\) — диагональ грани, \(a\sqrt3\) — диагональ тела
❌ ошибкаПлощадь правильного шестиугольника считают как \(\dfrac{\sqrt3}{4}a^{2}\)
✅ верно\(S_{6}=\dfrac{3\sqrt3}{2}a^{2}\)
Шестиугольник = 6 равносторонних треугольников

Особенно важно не путать диагонали: диагональ грани \(a\sqrt{2}\), диагональ куба \(a\sqrt{3}\).

При расчёте объёма пирамиды или конуса нельзя забывать множитель \(\dfrac{1}{3}\). Его пропуск делает ответ втрое больше правильного.

Расстояния и углы в пространстве: как решить задачу за 5 минут

На задании 14 часто требуется найти угол между прямыми, прямой и плоскостью или расстояние от точки до плоскости.

Расстояние между точками в пространстве
\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}\]
Угол между прямыми через векторы
\[\cos\varphi=\dfrac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a||\vec b|}\]
Угол между прямой и плоскостью
\[\sin\varphi=\dfrac{|\vec a\cdot\vec n|}{|\vec a||\vec n|}\]
Угол между плоскостями
\[\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}\]
Расстояние от точки до плоскости
\[\rho=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\]

Для угла между прямой и плоскостью нужно найти угол между направляющим вектором прямой и нормалью плоскости.

Угол между плоскостями определяется по нормалям. Берут модуль, чтобы получить острый угол.

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле с модулем. Это же высота тетраэдра, если точка — вершина, а плоскость — основание.

Частые вопросы

Какие тела вращения часто встречаются в задании 3 ЕГЭ профиль?

Наиболее частые — цилиндр, конус и шар. Также могут появляться объёмы, полученные вращением треугольника или прочих фигур.

Как не запутаться с высотой и боковым ребром при расчёте объёма пирамиды?

Высота — это перпендикуляр от вершины к основанию. У наклонной пирамиды высота меньше бокового ребра. На рисунке высота всегда прямая стрелка.

Как быстро вычислить площадь боковой поверхности призмы?

Для прямой призмы: \(S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h\). Если основание — правильный многоугольник, периметр легко найти через сторону.

По этой теме есть отдельный разбор: Формулы объёмов фигур.

По этой теме есть отдельный разбор: Площади поверхности и оснований.

По этой теме есть отдельный разбор: Теоремы синусов и косинусов.

По этой теме есть отдельный разбор: Планиметрия и прототипы фигур.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Что такое производная функции простыми словами: объяснение2026-07-14Экономическая задача ЕГЭ математика профиль: решение задания 162026-07-14Как решать тригонометрические уравнения с помощью окружности2026-07-13Как решать задачи на производную в ЕГЭ: шаг за шагом с примерами2026-07-07