Полный разбор задания №2 ЕГЭ по профильной математике: все определения, формулы и методы решения задач на векторы и координаты. Материал структурирован для быстрой подготовки и закрепления на типовых примерах. Это полезно для тех, кто готовится к заданию 2 егэ математика профиль и хочет изучить теорию по векторам егэ профиль математика.
Основная теория: определения и свойства векторов для ЕГЭ
Вектор — это направленный отрезок, у которого выделены начало и конец. Задаётся длиной (модулем) и направлением; при переносе без поворота и изменения длины остаётся тем же вектором. Записывается \(\vec{a}\) или \(\overrightarrow{AB}\), где \(A\) — начало, \(B\) — конец. Нулевой вектор \(\vec{0}\) имеет начало и конец в одной точке, его длина равна нулю, направление не определено. Два вектора равны, если их координаты совпадают (одинаковая длина и направление). Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых; один получается из другого умножением на число \(k\). При \(k>0\) векторы сонаправлены, при \(k<0\) — противоположно направлены. Признак коллинеарности через координаты: \(\dfrac{a_x}{b_x}=\dfrac{a_y}{b_y}\) (в пространстве добавляется отношение \(z\)-координат). Геометрически это означает, что векторы параллельны. Линейные операции — сумма, разность и умножение на число — определяются покоординатно и сохраняют свойства векторного пространства.
Коротко
- Вектор задаётся парой координат (конец минус начало).
- Коллинеарность — пропорциональность координат.
- Операции с векторами выполняются покоординатно.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Координатный метод: координаты вектора, длина и операции
Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала: \(\overrightarrow{AB}=\{x_B-x_A;\; y_B-y_A\}\) — «конец минус начало». Длина (модуль) вектора вычисляется по теореме Пифагора: \(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}}\). Сумма и разность векторов — покоординатное сложение/вычитание. Умножение вектора на число меняет длину в \(|k|\) раз и, при отрицательном \(k\), направление на противоположное. Координаты середины отрезка \(AB\): \(M\bigl(\frac{x_A+x_B}{2};\;\frac{y_A+y_B}{2}\bigr)\).
- Найти координаты вектора по двум точкам
- Шаг 1: Записать координаты точек \(A(x_A;y_A)\) и \(B(x_B;y_B)\).
- Шаг 2: Вычесть координаты начала из координат конца: \(\overrightarrow{AB}=\{x_B-x_A;\; y_B-y_A\}\).
- Шаг 3: Проверить знаки — минус на минус даёт плюс.
- Шаг 4: Убедиться, что \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
- Вычислить длину вектора
- Шаг 1: Если даны точки — сначала найти координаты вектора «конец минус начало».
- Шаг 2: Возвести каждую координату в квадрат.
- Шаг 3: Сложить полученные квадраты.
- Шаг 4: Извлечь квадратный корень: \(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}}\).
Коротко
- Длина вектора — корень из суммы квадратов координат.
- Сумма и разность — покоординатные операции.
- Умножение на число влияет на все координаты одинаково.
- Середина отрезка — полусумма координат концов.
Скалярное произведение: формулы, угол, перпендикулярность
Скалярное произведение двух векторов — это число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi\). В координатах скалярное произведение вычисляется как сумма попарных произведений одноимённых координат: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x+a_y b_y\). Результат — скаляр, а не вектор. Из определения следует формула косинуса угла: \(\displaystyle \cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}=\frac{a_x b_x+a_y b_y}{\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}}\;\sqrt{b_x^{2}+b_y^{2}}}\). Угол между векторами лежит в диапазоне \([0^{\circ};180^{\circ}]\). Условие перпендикулярности: \(\vec{a}\perp\vec{b}\;\Leftrightarrow\;\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) (для ненулевых векторов). Знак скалярного произведения сразу указывает на характер угла: \(>0\) — острый, \(<0\) — тупой, \(=0\) — прямой.
- Скалярное произведение по координатам
- Шаг 1: Записать координаты векторов \(\vec{a}=\{a_x;a_y\}\), \(\vec{b}=\{b_x;b_y\}\).
- Шаг 2: Перемножить одноимённые координаты: \(a_x b_x\) и \(a_y b_y\).
- Шаг 3: Сложить произведения: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x+a_y b_y\).
- Шаг 4: Учесть знаки координат — частая источник ошибок.
- Косинус угла между векторами
- Шаг 1: Найти скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x+a_y b_y\).
- Шаг 2: Вычислить длины \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\).
- Шаг 3: Подставить в формулу \(\displaystyle \cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\).
- Шаг 4: Сократить дробь, упростить корни; при необходимости определить сам угол.
- Проверка перпендикулярности
- Шаг 1: Вычислить скалярное произведение через координаты.
- Шаг 2: Приравнять его к нулю: \(a_x b_x+a_y b_y=0\).
- Шаг 3: Если есть неизвестный параметр — решить полученное уравнение.
- Шаг 4: Вывод: равенство нулю — векторы перпендикулярны; иначе — нет.
Коротко
- Скалярное произведение — всегда число.
- \(\varphi\) определяется через отношение скалярного произведения к произведению длин.
- Перпендикулярность \(\iff\) скалярное произведение равно нулю.
- Знак скалярного произведения говорит об остром/тупом/прямом угле.
Условия коллинеарности и решение типовых заданий №2
Коллинеарность векторов в координатах проверяется через пропорциональность их координат: \(\dfrac{a_x}{b_x}=\dfrac{a_y}{b_y}\) (при наличии третьей коордитации добавляется \(\dfrac{a_z}{b_z}\)). Если отношения равны, векторы коллинеарны; общее отношение является коэффициентом \(k\) в равенстве \(\vec{a}=k\vec{b}\). Знак \(k\) определяет сонаправленность. Типовой алгоритм решения задания 2:
- 1. Найти координаты всех данных векторов (конец минус начало).
- 2. При необходимости вычислить длины, скалярное произведение, косинус угла.
- 3. Проверить коллинеарность (пропорциональность координат) или перпендикулярность (скалярное произведение = 0).
4).
- 4. При запросе длины линейной комбинации воспользоваться формулой \(|\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}|^{2}=\alpha^{2}|\vec{a}|^{2}+2\alpha\beta(\vec{a}\cdot\vec{b})+\beta^{2}|\vec{b}|^{2}|\vec{b}|^{2}\).
- Проверка коллинеарности
- Шаг 1: Записать координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
- Шаг 2: Составить отношения одноимённых координат: \(\dfrac{a_x}{b_x}\) и \(\dfrac{a_y}{b_y}\).
- Шаг 3: Если отношения равны — векторы коллинеарны; коэффициент \(k\) равно этому отношению.
- Шаг 4: Через знак \(k\) определить сонаправленность; при неизвестном параметре приравнять отношения и решить уравнение.
- Длина линейной комбинации векторов
- Шаг 1: Записать длину через скалярный квадрат: \(|\vec{c}|^{2}=\vec{c}\cdot\vec{c}\).
- Шаг 2: Подставить \(\vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}\) и раскрыть скобки: \(|\vec{c}|^{2}=\alpha^{2}\vec{a}\cdot\vec{a}+2\alpha\beta\,\vec{a}\cdot\vec{b}+\beta^{2}\vec{b}\cdot\vec{b}\).
- Шаг 3: Заменить \(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^{2}\), \(\vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{b}|^{2}\) и подставить известное \(\vec{a}\cdot\vec{b}\).
- Шаг 4: Посчитать полученное число и извлечь корень: \(|\vec{c}|=\sqrt{|\vec{c}|^{2}}\).
Коротко
- Коллинеарность — пропорциональность координат.
- Для нахождения \(k\) достаточно сравнить любые ненулевые пары координат.
- Длина комбинации ищется через скалярный квадрат и раскрытие скобок.
- При проверке перпендикулярности достаточно обнулить скалярное произведение.
Разбор частых ошибок и ловушек в задании 2
Ниже перечислены типичные ошибки, которые приводят к потере баллов, и правильные способы их избежать.
Коротко
- Проверяй порядок вычитания при нахождении координат вектора.
- Скалярное произведение всегда приводится к одному числу.
- Длина считается через корень из суммы квадратов.
- Перпендикулярное произведение равно нулю — условие перпендикулярности.
- Угол между векторами может быть тупым; не confundate с углом между прямыми.
- Умножение на число влияет на все координаты.
- Следи за направлением при замене вектора на противоположный.
Частые вопросы
Как найти координаты вектора по координатам двух точек? Вычтите координаты начала из координат конца: \(\overrightarrow{AB}=\{x_B-x_A;\; y_B-y_A\}\). Это правило «конец минус начало» работает zarówno на плоскости, так и в пространстве.
Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов? Для ненулевых векторов \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\). Это следует из определения \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi\) при \(\varphi=90^{\circ}\) (\(\cos90^{\circ}=0\)).
Как определить коллинеарность векторов через координаты? Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, если их координаты пропорциональны: \(\dfrac{a_x}{b_x}=\dfrac{a_y}{b_y}\) (при наличии \(z\)-координаты добавляется \(\dfrac{a_z}{b_z}\)). При этом коэффициент пропорциональности \(k\) показывает, во сколько раз один вектор длиннее другого и сонаправлен ли он (\(k>0\)) или противоположно направлен (\(k<0\)).
Как найти косинус угла между векторами по их координатам? Сначала вычислите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x+a_y b_y\). Затем найдите длины \(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}}\) и \(|\vec{b}|=\sqrt{b_x^{2}+b_y^{2}}\). Подставьте в формулу \(\displaystyle \cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\).
В чём разница между углом между векторами и углом между прямыми? Угол между векторами измеряется от направления первого вектора к направлению второго при их общем начале и лежит в диапазоне \([0^{\circ};180^{\circ}]\); он может быть острым, прямым или тупым. Угол между прямыми всегда принимают острым (или прямым), не учитывая направление линий, поэтому его значение находится в \([0^{\circ};90^{\circ}]\). При работе с векторами важно сохранять знак скалярного произведения, который определяет, острый или тупой угол получен.
По этой теме есть отдельный разбор: Задание 1 ЕГЭ профиль: планиметрия.
По этой теме есть отдельный разбор: Стереометрия ЕГЭ профиль: теория и формулы.
По этой теме есть отдельный разбор: Треугольники в ЕГЭ: теоремы косинусов и синусов.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.