ЕГЭ математика

Все формулы по алгебре 10–11 класс: полная шпаргалка

Все формулы по алгебре 10–11 класс — в одном месте: тригонометрия, логарифмы, степени, производные. Читайте по разделам или сразу к нужной теме.

14 мин чтения
#ЕГЭ математика#все формулы по алгебре 10 класс#основные формулы по алгебре 10 класс#формулы по алгебре 10-11 класс#все формулы по математике за 10 класс

Статья собирает в одном месте все формулы по алгебре за 10–11 класс, нужные для ЕГЭ и ОГЭ. Каждый раздел — отдельная тема с компактной таблицей. Можно читать подряд или переходить сразу к нужному блоку.

Что входит в основные формулы по алгебре 10–11 класс

Программа алгебры старшей школы делится на два крупных пласта. В 10-м классе изучают степени и корни, тригонометрию, логарифмы, показательную функцию и прогрессии — это основные формулы по алгебре 10 класса, которые составляют фундамент всего экзамена. Фактически все формулы по математике за 10 класс это база, без которой не решается ни одна задача 11-го. В 11-м классе к ним добавляется математический анализ: производная и интеграл.

На профильном ЕГЭ проверяются все блоки. На базовом — тригонометрия и логарифмы присутствуют в упрощённом виде, а интеграл встречается редко. При этом задачи повышенного уровня почти всегда объединяют несколько тем.

Содержание статьи:

Коротко

  • Формулы 10-го класса обязательны для базового и профильного ЕГЭ
  • Производная и интеграл нужны прежде всего на профильном экзамене
  • На ЕГЭ нельзя пользоваться справочником — всё воспроизводится по памяти
PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Формулы степеней и корней (таблица)

Все формулы по алгебре 10 класса в части степеней строятся на нескольких базовых свойствах — их достаточно, чтобы преобразовать любое степенное выражение.

Произведение степеней
\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]
Частное степеней
\[a^m \div a^n = a^{m-n}\]
Степень степени
\[(a^m)^n = a^{mn}\]
Степень произведения
\[(ab)^n = a^n b^n\]
Степень частного
\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\]
Нулевая степень
\[a^0 = 1 \quad (a \neq 0)\]
Отрицательная степень
\[a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\]
Дробная степень
\[a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\]

Корни подчиняются тем же правилам через замену \(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\):

Произведение корней
\[\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\]
Частное корней
\[\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\]
Степень под корнем
\[\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\]
Вложенные корни
\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\]

Самая частая ошибка — квадратный корень из квадрата:

❌ ошибка\(\sqrt{a^2} = a\)
✅ верно\(\sqrt{a^2} = |a|\)
При \(a < 0\) значение \(\sqrt{a^2}\) положительно, а запись \(\sqrt{a^2} = a\) даёт отрицательный результат
❌ ошибка\(\sqrt{-4} = -2\)
✅ верно\(\sqrt{-4}\) не существует в \(\mathbb{R}\)
Квадратный корень из отрицательного числа не определён среди вещественных чисел
❌ ошибка\(\sqrt{a^2 + b^2} = a + b\)
✅ вернонельзя упростить
Сумма под корнем не раскладывается — это не \((a+b)^2\)

Все тригонометрические формулы 10 класс по алгебре

Это самый объёмный раздел. Все тригонометрические формулы 10 класс по алгебре удобно разбивать на группы — тогда их проще запоминать и воспроизводить.

Единичная окружность: синус и косинус как координаты точки M при угле α
Единичная окружность: синус и косинус как координаты точки M при угле α

Основные тождества

Основное тригонометрическое тождество
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
Тангенс
\[\tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]
Котангенс
\[\ctg\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\]
Тангенс и косинус
\[1 + \tg^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}\]
Котангенс и синус
\[1 + \ctg^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}\]
Тангенс и котангенс
\[\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1\]

Формулы сложения

Синус суммы
\[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\]
Синус разности
\[\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\]
Косинус суммы
\[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\]
Косинус разности
\[\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\]
Тангенс суммы
\[\tg(\alpha + \beta) = \dfrac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}\]
Тангенс разности
\[\tg(\alpha - \beta) = \dfrac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta}\]

Мнемоника для знаков: в формуле косинуса суммы перед произведением синусов стоит минус, в формуле синуса суммы оба слагаемых идут с плюсом.

Формулы двойного угла

Синус двойного угла
\[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\]
Косинус двойного угла (основная)
\[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\]
Косинус через синус
\[\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\]
Косинус через косинус
\[\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\]
Тангенс двойного угла
\[\tg 2\alpha = \dfrac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}\]

Три формулы косинуса двойного угла получаются друг из друга заменой \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\) или \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\). Выбирают ту, которая удобнее по условию задачи.

Формулы половинного угла

Синус половинного угла
\[\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{2}\]
Косинус половинного угла
\[\cos^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 + \cos\alpha}{2}\]
Тангенс половинного угла
\[\tg\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}\]

Эти формулы прямо следуют из формул двойного угла — достаточно заменить \(\alpha\) на \(\alpha/2\) и выразить \(\sin^2\) или \(\cos^2\).

Формулы приведения

Суть: аргумент вида \(\dfrac{\pi}{2} \cdot n \pm \alpha\) преобразуется по двум правилам. При нечётном \(n\) функция меняет имя (sin ↔ cos, tg ↔ ctg). При чётном — остаётся той же. Знак определяется по квадранту, в который попадает угол при \(\alpha \in \bigl(0,\, \tfrac{\pi}{2}\bigr)\).

| Аргумент | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tg\) | \(\ctg\) | |---|---|---|---|---| | \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(\ctg\alpha\) | \(\tg\alpha\) | | \(\frac{\pi}{2} + \alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(-\ctg\alpha\) | \(-\tg\alpha\) | | \(\pi - \alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\tg\alpha\) | \(-\ctg\alpha\) | | \(\pi + \alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(\tg\alpha\) | \(\ctg\alpha\) | | \(\frac{3\pi}{2} - \alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(\ctg\alpha\) | \(\tg\alpha\) | | \(\frac{3\pi}{2} + \alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(-\ctg\alpha\) | \(-\tg\alpha\) | | \(2\pi - \alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(-\tg\alpha\) | \(-\ctg\alpha\) |

Формулы суммы и разности

Сумма синусов
\[\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\]
Разность синусов
\[\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\]
Сумма косинусов
\[\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\]
Разность косинусов
\[\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\]

Формулы произведения

Произведение синусов
\[\sin\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\bigr]\]
Произведение косинусов
\[\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\bigr]\]
Синус на косинус
\[\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\bigl[\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)\bigr]\]

Формулы логарифмов: свойства и переход к другому основанию

Логарифм \(\log_a b\) — это показатель степени, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\):

\[ \log_a b = c \iff a^c = b, \quad a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0 \]

Логарифм единицы
\[\log_a 1 = 0\]
Логарифм основания
\[\log_a a = 1\]
Логарифм произведения
\[\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\]
Логарифм частного
\[\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\]
Логарифм степени
\[\log_a x^n = n\log_a x\]
Основание в степени
\[a^{\log_a b} = b\]
Логарифм степени основания
\[\log_{a^n} b = \dfrac{1}{n}\log_a b\]
Переход к другому основанию
\[\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\]
Перестановка основания и аргумента
\[\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\]

Натуральный логарифм: \(\ln x = \log_e x\), где \(e \approx 2{,}718\). Десятичный: \(\lg x = \log_{10} x\). На ЕГЭ чаще всего нужны логарифм степени и переход к другому основанию — именно они позволяют привести выражение к удобному виду.

Коротко

  • \(\log_a x\) определён только при \(x > 0\) и \(a > 0\), \(a \neq 1\)
  • Логарифм отрицательного числа и нуля в вещественных числах не существует
  • При \(a > 1\) функция возрастает; при \(0 < a < 1\) — убывает

Показательная функция: формулы и приёмы решения уравнений

Функция \(y = a^x\) при \(a > 0\), \(a \neq 1\) определена для всех вещественных \(x\).

Коротко

  • Область значений — \((0;\, +\infty)\): показательная функция никогда не обращается в ноль
  • При \(a > 1\) функция возрастает; при \(0 < a < 1\) убывает
  • График всегда проходит через точку \((0;\, 1)\)
  • Показательная и логарифмическая функции с одним основанием — взаимно обратные

Сведение к одному основанию

  1. Метод единого основания
  2. Шаг 1. Привести обе части уравнения к одному основанию: \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\)
  3. Шаг 2. Приравнять показатели: \(f(x) = g(x)\)
  4. Шаг 3. Решить полученное уравнение

Замена переменной

  1. Метод замены переменной
  2. Шаг 1. Обозначить \(t = a^x\) (или \(t = a^{f(x)}\)), записать условие \(t > 0\)
  3. Шаг 2. Подставить — получится алгебраическое уравнение относительно \(t\)
  4. Шаг 3. Решить уравнение, отсеять корни при \(t \leq 0\)
  5. Шаг 4. Для каждого допустимого \(t\) решить \(a^x = t\): \(\;x = \log_a t\)

Показательные неравенства

Знак неравенства сохраняется при \(a > 1\) и меняется при \(0 < a < 1\):

\[ a^{f(x)} > a^{g(x)} \implies \begin{cases} f(x) > g(x), & a > 1 \\ f(x) < g(x), & 0 < a < 1 \end{cases} \]

Формулы арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая прогрессия

Последовательность, в которой разность соседних членов постоянна и равна \(d\).

n-й член
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
Сумма (через первый и последний)
\[S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}\]
Сумма (через первый и разность)
\[S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\]
Характеристическое свойство
\[a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\]

Геометрическая прогрессия

Последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число \(q\) (\(q \neq 0\)).

n-й член
\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
Сумма первых n членов (q \neq 1)
\[S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\]
Сумма бесконечной убывающей (|q| < 1)
\[S = \dfrac{b_1}{1 - q}\]
Характеристическое свойство
\[b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\]

Коротко

  • Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует только при \(|q| < 1\)
  • В задачах ЕГЭ часто нужен номер члена — из формулы n-го члена его выражают через логарифм
  • Перед применением формулы суммы убедитесь, что первый член и знаменатель найдены верно

Типовая задача: «Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 7, первый член равен 1. Найдите знаменатель.» Подставляем в формулу суммы трёх членов: \(1 + q + q^2 = 7\), решаем квадратное уравнение \(q^2 + q - 6 = 0\).

Производная: таблица и правила дифференцирования (11 класс)

Формулы по алгебре 10–11 класс в части анализа начинаются с производной. Производная \(f'(x)\) показывает мгновенную скорость изменения функции.

Таблица производных

Константа
\[(C)' = 0\]
Степенная функция
\[(x^n)' = n x^{n-1}\]
Квадратный корень
\[(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\]
Синус
\[(\sin x)' = \cos x\]
Косинус
\[(\cos x)' = -\sin x\]
Тангенс
\[(\tg x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\]
Котангенс
\[(\ctg x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}\]
Экспонента
\[(e^x)' = e^x\]
Показательная
\[(a^x)' = a^x \ln a\]
Натуральный логарифм
\[(\ln x)' = \dfrac{1}{x}\]
Логарифм по основанию a
\[(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}\]

Правила дифференцирования

Сумма
\[(f + g)' = f' + g'\]
Константа перед функцией
\[(c\cdot f)' = c\cdot f'\]
Произведение
\[(fg)' = f'g + fg'\]
Частное
\[\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\]
Сложная функция
\[\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)\]

Геометрический смысл и уравнение касательной

Производная \(f'(x_0)\) — угловой коэффициент касательной к графику в точке \(x_0\). Уравнение касательной:

\[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]

  1. Составление уравнения касательной
  2. Шаг 1. Вычислить \(f(x_0)\) — подставить точку в функцию
  3. Шаг 2. Найти \(f'(x)\) — продифференцировать функцию
  4. Шаг 3. Вычислить \(f'(x_0)\) — подставить точку в производную
  5. Шаг 4. Записать уравнение: \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\)

По этой теме есть отдельный разбор: что такое производная функции.

Первообразная и интеграл: формулы (11 класс)

\(F(x)\) — первообразная \(f(x)\) на интервале, если \(F'(x) = f(x)\) для всех \(x\) из этого интервала. Общая первообразная: \(F(x) + C\).

Таблица первообразных

Степенная (n \neq -1)
\[\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\]
Обратная
\[\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\]
Экспонента
\[\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C\]
Показательная
\[\displaystyle\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C\]
Синус
\[\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C\]
Косинус
\[\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C\]
\frac{1}{\cos^2 x}
\[\displaystyle\int \dfrac{dx}{\cos^2 x} = \tg x + C\]
\frac{1}{\sin^2 x}
\[\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sin^2 x} = -\ctg x + C\]

Формула Ньютона–Лейбница

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

где \(F(x)\) — любая первообразная \(f(x)\) на \([a;\,b]\).

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной \(y = f(x) \geq 0\), осью \(Ox\) и прямыми \(x = a\), \(x = b\):

\[ S = \int_a^b f(x)\,dx \]

Если функция меняет знак на отрезке, площадь вычисляется через абсолютное значение — отрезок разбивают по нулям и берут каждый кусок отдельно:

\[ S = \int_a^c f(x)\,dx - \int_c^b f(x)\,dx \quad \text{(при } f(c) = 0 \text{)} \]

  1. Вычисление определённого интеграла
  2. Шаг 1. Найти первообразную \(F(x)\) для подынтегральной функции
  3. Шаг 2. Вычислить \(F(b)\) и \(F(a)\)
  4. Шаг 3. Найти разность: \(F(b) - F(a)\)

Коротко

  • Интеграл и производная — обратные операции: \(\bigl(\int f(x)\,dx\bigr)' = f(x)\)
  • Константа \(C\) исчезает при вычислении определённого интеграла
  • Нельзя брать интеграл от \(|f(x)|\) напрямую при перемене знака — только через разбиение отрезка

Частые вопросы

Какие формулы по алгебре обязательно нужно знать для ЕГЭ?

На профильном ЕГЭ проверяются все блоки из этой статьи: тригонометрия, логарифмы, показательные уравнения, прогрессии, производная и интеграл. На базовом экзамене объём меньше — тригонометрия упрощена, интеграл практически не встречается. Шпаргалку пронести нельзя, поэтому формулы нужно отработать до автоматизма.

Чем отличается программа по алгебре 10 класса от 11?

В 10-м классе изучают тригонометрию, степени, корни, логарифмы, показательную функцию и прогрессии. В 11-м добавляется математический анализ — производная, её применение (монотонность, экстремумы, касательная) и интеграл. Темы 10-го класса не уходят: они активно задействованы при дифференцировании и интегрировании.

Как быстро запомнить все тригонометрические формулы?

Продуктивнее не заучивать всё подряд, а выводить одни формулы из других. Двойной угол получается из формул сложения при \(\alpha = \beta\). Половинный — из формулы косинуса двойного угла подстановкой. Формулы произведения — из формул сложения через сложение/вычитание пар. Такой подход вдвое сокращает объём механического запоминания.

Какие формулы логарифмов чаще всего встречаются в задачах ЕГЭ?

На экзамене чаще всего нужны три: логарифм степени \(\log_a x^n = n\log_a x\), переход к другому основанию \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\) и тождество \(a^{\log_a b} = b\). Именно с их помощью упрощают сложные выражения и решают уравнения вида \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\).

Можно ли пользоваться шпаргалкой с формулами на ЕГЭ?

Нет. На ЕГЭ по математике разрешена только линейка. Никаких справочников, таблиц или заметок на бумаге. Выдаётся чистый черновик. Единственный рабочий способ подготовки — решать задачи регулярно, пока воспроизведение формул не станет автоматическим.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства степеней с корнями.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы приведения в тригонометрии.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства и формулы логарифмов.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

100 баллов ЕГЭ математика база: реальный максимум 20262026-07-29100 баллов ЕГЭ профиль математика 2026: сколько первичных2026-07-28Апелляция ЕГЭ 2026: сроки, как подать и как проходит2026-07-18Бесплатные курсы для подготовки к ЕГЭ по профильной математике2026-07-29