Что такое выделение полного квадрата
Выделение полного квадрата — алгебраический приём, при котором квадратный трёхчлен \(ax^2 + bx + c\) записывают в виде \(a(x + p)^2 + q\). Значения \(p\) и \(q\) выражаются через исходные коэффициенты и полностью определяют поведение выражения.
Выделение полного квадрата — это не просто формальное преобразование: после него сразу видно, где функция достигает наибольшего или наименьшего значения, упрощается решение уравнений, а в интегральном исчислении выражение сводится к табличному виду.
Коротко
- Вершина параболы \(y = ax^2 + bx + c\) лежит в точке \((-p;\, q)\) — она читается прямо из записи \(a(x+p)^2 + q\)
- При \(a > 0\) функция принимает наименьшее значение \(q\); при \(a < 0\) — наибольшее значение \(q\)
- Квадратное уравнение после преобразования решается без дискриминанта — через извлечение корня
- В интегральном исчислении приём позволяет свести знаменатель дроби к сумме квадратов и применить табличный интеграл
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Формула выделения полного квадрата
Выводим формулу выделения полного квадрата напрямую — прибавляя и вычитая одно и то же слагаемое.
Сначала выносим \(a\) за скобку:
\[ ax^2 + bx + c = a\!\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \]
Внутри скобки дополняем до полного квадрата: прибавляем и вычитаем \(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^{\!2}\):
\[ = a\!\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4a} + c \]
Итоговая формула:
\[ ax^2 + bx + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) \]
Сдвиг \(p = \dfrac{b}{2a}\) внутри скобки — это та же самая формула, что и координата вершины параболы \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\). Выделение полного квадрата и нахождение вершины — одно и то же действие в разных обозначениях.
Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена: алгоритм
Алгоритм работает при любых коэффициентах — нужно только последовательно выполнять шаги.
- Алгоритм выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена
- Шаг 1. Вынести a за скобку перед членами с x: записать a(x² + (b/a)x) + c. При a = 1 этот шаг пропускается.
- Шаг 2. Найти половину коэффициента при x внутри скобки: вычислить b/(2a).
- Шаг 3. Прибавить и вычесть квадрат этого числа внутри скобки: a((x + b/(2a))² − (b/(2a))²) + c.
- Шаг 4. Раскрыть квадратные скобки: умножить a на отрицательное слагаемое и вынести его за внешнюю скобку.
- Шаг 5. Сложить свободные члены — получить окончательный вид a(x + p)² + q.
При \(a = 1\) всё сводится к одному действию: взять половину коэффициента при \(x\), возвести в квадрат и вычесть.
При \(a \neq 1\) самая частая ошибка — забыть умножить вычитаемое на \(a\) при раскрытии внешней скобки.
Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена: примеры
Ниже — разобранные примеры с возрастающей сложностью; в каждом прокомментирован каждый шаг.
Пример 1. \(x^2 + 6x + 5\), коэффициент \(a = 1\)
\[ x^2 + 6x + 5 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4 \]
Половина коэффициента при \(x\): \(6/2 = 3\). Прибавляем и вычитаем \(3^2 = 9\). Свободный член: \(-9 + 5 = -4\).
---
Пример 2. \(-x^2 + 4x - 1\), коэффициент \(a = -1\)
\[ -x^2 + 4x - 1 = -(x^2 - 4x) - 1 = -\bigl[(x - 2)^2 - 4\bigr] - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3 \]
При выносе \(-1\) за скобку знак при \(x\) меняется. После раскрытия: \(-1 \cdot (-4) = +4\). Не путать: скобка внешняя умножает всё, что в квадратных скобках.
---
Пример 3. \(2x^2 + 8x + 3\), коэффициент \(a = 2\)
\[ 2x^2 + 8x + 3 = 2(x^2 + 4x) + 3 = 2\bigl[(x+2)^2 - 4\bigr] + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5 \]
Половина от \(4\) равна \(2\). Внутри добавляем и вычитаем \(4\). При раскрытии внешней скобки: \(2 \cdot (-4) = -8\).
---
Пример 4. \(3x^2 - 5x + 1\), дробные коэффициенты
\[ 3x^2 - 5x + 1 = 3\!\left(x^2 - \frac{5}{3}x\right) + 1 = 3\!\left[\left(x - \frac{5}{6}\right)^{\!2} - \frac{25}{36}\right] + 1 = 3\!\left(x - \frac{5}{6}\right)^{\!2} - \frac{25}{12} + 1 = 3\!\left(x - \frac{5}{6}\right)^{\!2} - \frac{13}{12} \]
Половина от \(\dfrac{5}{3}\): получаем \(\dfrac{5}{6}\). Её квадрат: \(\dfrac{25}{36}\). Умножаем на 3: \(3 \cdot \dfrac{25}{36} = \dfrac{25}{12}\). Свободные члены: \(-\dfrac{25}{12} + 1 = -\dfrac{13}{12}\).
Выделение полного квадрата двучлена в выражении
Когда свободного члена нет, работают с двучленом \(x^2 + bx\). Выделение полного квадрата двучлена в выражении выполняется по той же схеме:
\[ x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^{\!2} - \frac{b^2}{4} \]
Такой приём часто встречается при работе с дробями, где в знаменателе стоит неполный квадрат. Например, знаменатель \(x^2 + 6x + 13\) не раскладывается на множители, но после преобразования принимает удобный вид:
\[ x^2 + 6x + 13 = (x+3)^2 + 4 \]
Теперь сразу видно, что выражение всегда положительно (минимум \(4\) при \(x = -3\)), а в задачах на интегрирование знаменатель принимает форму \(u^2 + a^2\) — табличный случай.
В тригонометрии ту же идею применяют при подстановке. Например, для \(\sin^2 x + \sin x\) делают замену \(t = \sin x\), и выражение \(t^2 + t\) преобразуется стандартно:
\[ t^2 + t = \left(t + \frac{1}{2}\right)^{\!2} - \frac{1}{4} \]
После этого анализировать знак или находить экстремум значительно проще.
Задания для самостоятельной практики
Задания для практики по выделению полного квадрата из квадратного трёхчлена разбиты по уровням сложности.
Базовый уровень
- 1. \(x^2 + 10x + 21\)
- 2. \(x^2 - 8x + 7\)
Средний уровень
- 3. \(2x^2 - 12x + 5\)
- 4. \(-3x^2 + 6x + 2\)
Профильный уровень
- 5. Найти наименьшее значение функции \(f(x) = 4x^2 + 4x - 3\) и значение \(x\), при котором оно достигается.
- 6. При каком \(x\) выражение \(5x^2 - 3x + 1\) принимает наименьшее значение? Чему оно равно?
<details> <summary>Ответы</summary>
- 1. \((x+5)^2 - 4\)
- 2. \((x-4)^2 - 9\)
- 3. \(2(x-3)^2 - 13\)
- 4. \(-3(x-1)^2 + 5\)
- 5. \(f(x) = 4\!\left(x + \tfrac{1}{2}\right)^2 - 4\); наименьшее значение \(-4\) при \(x = -\tfrac{1}{2}\)
- 6. \(5\!\left(x - \tfrac{3}{10}\right)^2 + \tfrac{11}{20}\); наименьшее значение \(\tfrac{11}{20}\) при \(x = \tfrac{3}{10}\)
</details>
Частые вопросы
Зачем выделять полный квадрат, если есть дискриминант?
Дискриминант решает ровно одну задачу — нахождение корней уравнения. Выделение полного квадрата сразу даёт вершину параболы, показывает знак функции на всей числовой прямой и применяется там, где дискриминант не помогает: при упрощении выражений, работе с дробями, нахождении наибольшего и наименьшего значений.
Что делать, если коэффициент \(a\) — дробь?
Алгоритм не меняется: дробное \(a\) выносится за скобку точно так же, как целое. Нужно аккуратно вычислить \(\dfrac{b}{2a}\), возвести в квадрат и умножить на \(a\) — дальше обычная арифметика с дробями.
Как проверить, правильно ли выполнено преобразование?
Нужно раскрыть полученный вид \(a(x+p)^2 + q\) — раскрыть скобку, собрать подобные — и сравнить коэффициенты с исходным трёхчленом. Совпали все три — преобразование верно.
По этой теме есть отдельный разбор: формулы сокращённого умножения.
По этой теме есть отдельный разбор: квадратичная функция и её график.
По этой теме есть отдельный разбор: разложение квадратного трёхчлена на множители.
По этой теме есть отдельный разбор: решение квадратных уравнений через дискриминант.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.