Исправлено. Вот полный файл:
--- title: Разложение на множители 7 класс алгебра: все способы description: Разложение на множители 7 класс алгебра: объясняем все четыре способа — от общего множителя до формул кубов, с примерами и заданиями с ответами. slug: razlozhenie-na-mnozhiteli-7-klass-algebra keywords: [разложение на множители 7 класс алгебра, разложение многочленов на множители 7 класс алгебра, способы разложения на множители 7 класс алгебра, формулы разложения на множители 7 класс алгебра, разложение на множители 7 класс задания с ответами, разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности] author: Алмаз date: 2026-07-28 cluster: ege ---
Разложение многочленов на множители — тема, с которой начинается настоящая алгебра. Ниже — полный текст статьи по скелету.
---
Разложение многочленов на множители входит в число ключевых тем алгебры. Без него не обходится ни сокращение дробей, ни решение уравнений. Статья собирает все четыре способа в одном месте — с алгоритмами, разобранными примерами и заданиями для самостоятельной работы.
Что такое разложение на множители: 7 класс алгебра
Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения нескольких выражений. Например, вместо \(6x^2 + 9x\) записать \(3x(2x + 3)\). Значение выражения при этом не меняется: раскройте скобки — получите исходный многочлен.
Зачем это нужно:
- - Сокращение дробей. Числитель и знаменатель сокращаются только на общий множитель — его сначала нужно выделить.
- - Решение уравнений. Если \(ab = 0\), то либо \(a = 0\), либо \(b = 0\) — это основа метода разложения при решении.
- - Упрощение вычислений. Произведение скобок зачастую считается быстрее, чем многочлен в «исходном» виде.
В курсе разложения многочленов на множители 7 класса алгебры рассматривают четыре основных способа:
- 1. Вынесение общего множителя за скобку
- 2. Метод группировки
- 3. Формулы квадрата суммы и квадрата разности
- 4. Формулы суммы и разности кубов
Все они разбираются ниже. Если удобнее воспринимать материал на слух — стоит дополнительно посмотреть видеоурок по разложению на множители 7 класс алгебра: разобранные в видео примеры хорошо закрепляют теорию.
---
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Способ 1: вынесение общего множителя за скобку
Первый по порядку изучения способ. Суть: если у всех слагаемых многочлена есть общий делитель, его выносят «наружу», а остаток записывают в скобках.
- Вынесение общего множителя за скобку
- Шаг 1: Найти НОД числовых коэффициентов всех слагаемых
- Шаг 2: Для каждой переменной взять наименьшую степень, в которой она входит во все слагаемые
- Шаг 3: Перемножить НОД и найденные степени — это общий множитель
- Шаг 4: Записать: многочлен = общий множитель × (оставшиеся слагаемые)
- Шаг 5: Проверить, раскрыв скобки — должен получиться исходный многочлен
Пример 1 (базовый)
\[ 12a + 8 = 4(3a + 2) \]
НОД(12, 8) = 4. Переменная \(a\) во втором слагаемом отсутствует — выносить её нельзя.
Пример 2
\[ 6x^2 + 9x = 3x(2x + 3) \]
НОД(6, 9) = 3. Переменная \(x\) входит в оба слагаемых, наименьшая степень — первая. Выносим \(3x\).
Пример 3 (посложнее)
\[ 10a^3b^2 - 15a^2b^3 + 5a^2b = 5a^2b(2ab - 3b^2 + 1) \]
НОД(10, 15, 5) = 5. По \(a\): степени 3, 2, 2 — наименьшая 2. По \(b\): степени 2, 3, 1 — наименьшая 1. Общий множитель: \(5a^2b\).
---
Способ 2: метод группировки
Метод применяют, когда у многочлена четыре и более слагаемых и общего множителя для всех сразу нет. Идея: разбить слагаемые на пары, в каждой вынести свой общий множитель — и получить одинаковую скобку, которую вынести ещё раз.
- Метод группировки
- Шаг 1: Убедиться, что общего множителя для всех слагаемых нет (или вынести его сначала)
- Шаг 2: Разбить многочлен на группы — обычно по два слагаемых
- Шаг 3: В каждой группе вынести свой общий множитель
- Шаг 4: Убедиться, что выражение в обеих скобках одинаковое
- Шаг 5: Вынести общую скобку за знак произведения
Пример 1
\[ ab + 3a + 2b + 6 \]
Группируем: \((ab + 3a) + (2b + 6)\).
Из первой группы выносим \(a\): \(a(b + 3)\). Из второй выносим \(2\): \(2(b + 3)\).
Скобка \((b + 3)\) одинаковая — выносим её:
\[ a(b + 3) + 2(b + 3) = (b + 3)(a + 2) \]
Пример 2
\[ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 \]
Группируем: \((x^3 - 2x^2) + (3x - 6)\).
Из первой: \(x^2(x - 2)\). Из второй: \(3(x - 2)\).
\[ x^2(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x^2 + 3) \]
Если при первой попытке скобки не совпали — стоит поменять порядок слагаемых и попробовать другую разбивку.
---
Способ 3: формулы квадрата суммы и квадрата разности
Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности работает «в обратную сторону» по отношению к раскрытию скобок: смотрим на трёхчлен и узнаём в нём знакомую структуру.
Как распознать нужный вид
Коротко
- Первый и последний члены трёхчлена — полные квадраты
- Средний член равен удвоенному произведению корней первого и последнего
- Знак «+» у среднего члена → квадрат суммы
- Знак «−» у среднего члена → квадрат разности
- Результат — всегда квадрат двучлена, то есть одна скобка в квадрате
Пример 1
\[ x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2 \]
Пример 2
\[ 4a^2 - 20a + 25 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = (2a - 5)^2 \]
Здесь \(a\) в формуле заменяется на \(2a\), \(b\) — на \(5\). Проверяем средний член: \(2 \cdot 2a \cdot 5 = 20a\) — совпадает.
Пример 3
\[ 9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = (3x + 2y)^2 \]
Формулы разложения на множители 7 класс алгебры активно использует при сокращении дробей — числитель или знаменатель нередко оказываются полным квадратом.
---
Способ 4: разложение суммы и разности кубов
Разложение суммы и разности кубов применяется к выражениям вида \(a^3 + b^3\) и \(a^3 - b^3\).
Доказательство через умножение
Для суммы кубов раскрываем скобки:
\[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 \]
Средние члены попарно уничтожаются — остаются только \(a^3\) и \(b^3\).
Как узнать куб в записи
Нужно убедиться, что первое и последнее слагаемое — точные кубы числа или одночлена. Затем подставить \(a\) и \(b\) в формулу и аккуратно расставить знаки.
Пример 1 — сумма кубов
\[ 8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x + 3)\bigl((2x)^2 - 2x \cdot 3 + 3^2\bigr) = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9) \]
Пример 2 — разность кубов
\[ x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16) \]
---
Примеры разложения на множители с решением
Разложение на множители 7 класс алгебра примеры ниже соответствуют уровню задач контрольных работ и ОГЭ. По одному примеру на каждый способ, плюс два комбинированных.
Задача 1 — вынесение общего множителя
Разложить: \(14m^3n^2 - 21m^2n^3\)
НОД(14, 21) = 7. По \(m\): степени 3 и 2 — выносим \(m^2\). По \(n\): степени 2 и 3 — выносим \(n^2\).
\[ \boxed{14m^3n^2 - 21m^2n^3 = 7m^2n^2(2m - 3n)} \]
Задача 2 — группировка
Разложить: \(ax - ay + bx - by\)
\[ (ax - ay) + (bx - by) = a(x - y) + b(x - y) = \boxed{(x - y)(a + b)} \]
Задача 3 — квадрат разности
Разложить: \(25a^2 - 40ab + 16b^2\)
Первый член \((5a)^2\), последний \((4b)^2\), средний \(2 \cdot 5a \cdot 4b = 40ab\). Знак «−»:
\[ \boxed{25a^2 - 40ab + 16b^2 = (5a - 4b)^2} \]
Задача 4 — разность кубов
Разложить: \(27x^3 - 1\)
\[ (3x)^3 - 1^3 = \boxed{(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)} \]
Задача 5 — комбинированная: вынесение + группировка
Разложить: \(2x^3 + 4x^2 - 6x - 12\)
Сначала выносим общий множитель 2:
\[ 2(x^3 + 2x^2 - 3x - 6) \]
Группируем:
\[ 2\bigl[(x^3 + 2x^2) + (-3x - 6)\bigr] = 2\bigl[x^2(x + 2) - 3(x + 2)\bigr] = \boxed{2(x + 2)(x^2 - 3)} \]
Задача 6 — комбинированная: группировка + формула
Разложить: \(x^3 + x^2 + x + 1\)
\[ (x^3 + x^2) + (x + 1) = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = \boxed{(x + 1)(x^2 + 1)} \]
Проверка: \((x+1)(x^2+1) = x^3 + x + x^2 + 1 = x^3 + x^2 + x + 1\) ✓
---
Тренажёр: задания для самостоятельной работы с ответами
Разложение на множители 7 класс алгебра тренажёр — задания трёх уровней. Перед решением каждого блока определите подходящий способ, затем работайте самостоятельно.
Уровень 1 — базовый (вынесение общего множителя)
- 1. \(6x + 12\)
- 2. \(15a^2 - 10a\)
- 3. \(4x^3 + 8x^2 - 12x\)
- 4. \(9m^2n - 18mn^2\)
<details> <summary>Ответы — уровень 1</summary>
- 1. \(6(x + 2)\)
- 2. \(5a(3a - 2)\)
- 3. \(4x(x^2 + 2x - 3)\)
- 4. \(9mn(m - 2n)\)
</details>
Уровень 2 — средний (группировка и формулы квадрата)
- 5. \(ab + 2a + 3b + 6\)
- 6. \(x^2 - 2xy + y^2\)
- 7. \(4a^2 + 12ab + 9b^2\)
- 8. \(x^3 + x^2 - 4x - 4\)
<details> <summary>Ответы — уровень 2</summary>
- 5. \((a + 3)(b + 2)\)
- 6. \((x - y)^2\)
- 7. \((2a + 3b)^2\)
- 8. \((x + 1)(x + 2)(x - 2)\) — подсказка: сначала группировка, затем разность квадратов
</details>
Уровень 3 — повышенный (кубы и комбинации)
- 9. \(a^3 + 8\)
- 10. \(27x^3 - 125y^3\)
- 11. \(2x^3 - 2x^2 + 4x - 4\)
- 12. \(x^4 - y^4\) — подсказка: разность квадратов применяется дважды
<details> <summary>Ответы — уровень 3</summary>
- 9. \((a + 2)(a^2 - 2a + 4)\)
- 10. \((3x - 5y)(9x^2 + 15xy + 25y^2)\)
- 11. \(2(x - 1)(x^2 + 2)\)
- 12. \((x^2 + y^2)(x + y)(x - y)\)
</details>
Разложение на множители 7 класс задания с ответами в этом тренажёре охватывают все способы: от базового вынесения до комбинаций с формулами кубов. Если какое-то задание не получается — вернитесь к алгоритму соответствующего способа и разберите пример ещё раз.
---
Частые вопросы
Что значит разложить многочлен на множители?
Это значит записать многочлен в виде произведения нескольких выражений. Например, \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). Проверка простая: перемножить полученные множители и убедиться, что получился исходный многочлен.
Какие способы разложения на множители изучают в 7 классе?
В курсе алгебры 7 класса изучают четыре способа: вынесение общего множителя за скобку, метод группировки, применение формул квадрата суммы и квадрата разности, а также формулы суммы и разности кубов. Способы разложения на множители 7 класс алгебра не ограничивает этим списком, но именно они составляют основу.
Как вынести общий множитель за скобку пошагово?
Нужно найти НОД числовых коэффициентов и для каждой переменной взять наименьшую из встречающихся степеней. Произведение этих элементов — общий множитель. Его записывают перед скобкой, в скобке — результаты деления каждого слагаемого на этот множитель.
Как разложить трёхчлен с помощью формул квадрата суммы и разности?
Проверяют три признака: первый и последний члены — полные квадраты, средний член равен удвоенному произведению их квадратных корней. Если всё совпадает и знак среднего члена «+» — применяют \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\); если «−» — \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\).
Как разложить сумму и разность кубов?
Для суммы: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\). Для разности: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). Важно не перепутать знаки во втором множителе: при сумме кубов он содержит \(-ab\), при разности — \(+ab\).
Как проверить, правильно ли выполнено разложение на множители?
Самая надёжная проверка — раскрыть скобки в ответе и сравнить с исходным многочленом. Если выражения совпадают — разложение верно.
По этой теме есть отдельный разбор: формулы сокращённого умножения 7 класса.
По этой теме есть отдельный разбор: формулы куба суммы и разности.
По этой теме есть отдельный разбор: разложение квадратного трёхчлена на множители.
---
Единственное исправление: в обоих блоках :::formulas удалены обёртки \( \) вокруг формул. Всё остальное — без изменений.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.