Задание 14 ЕГЭ математика профиль: стереометрия, критерии, разборы

Что такое задание 14: баллы, критерии оценивания и изменения 2026 года

Задание 14 профильного ЕГЭ по математике (задание 14 егэ математика профильный уровень) относится ко второй части и требует развернутого ответа. Максимальный балл за него зависит от года: в 2023–2025 гг. давалось 2 балла, а с 2026 года утверждено 3 балла за полное решение с корректной доказательной частью.

Официальные критерии ФИПИ на 2026 год выделяют три показателя:

1. 1. Построение и обоснование – правильный выбор метода, ввод координат или построение сечения, ссылка на теоремы.
2. 2. Вычисления – корректное применение формул объёмов, площадей, углов и расстояний.
3. 3. Ответ – запись в требуемом формате (точное значение или упрощённый радикал).

Потеря баллов чаще всего связана с отсутствием доказательной части (пункт 1) или арифметическими slip‑ошибками в вычислениях. Также часто снижают оценку за неправильное использование высоты у наклонной призмы или за забытый множитель 1/3 при объёме пирамиды. Эти моменты подробно рассматриваются в разделе о типичных ошибках.

Теория и методика решения: координатный метод, метод объёмов и синтетика

Для успешного выполнения задания 14 егэ математика профиль теория рекомендуется освоить три взаимодополняющих подхода. Выбор метода зависит от формы тела и удобства ввода координат.

Координатный метод

Удобен, когда тело можно легко вписать в прямоугольную систему координат (куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма/пирамида, тела с прямыми углами при основании).

Метод объёмов (расстояние от точки до плоскости)

Применяется, когда нужно найти высоту тетраэдра, а введение координат громоздко.

Классический (синтетический) метод

Используется, когда требуется чисто геометрическое обоснование: построение угла или общего перпендикуляра и нахождение его из прямоугольного треугольника.

Для удобства запоминания полезно иметь под рукой ключевые формулы:

Классификация прототипов: от Ященко и Школково до открытого банка ФИПИ

Все варианты задания 14 егэ математика профиль можно свести к нескольким типовым геометрическим моделям. Их распределение по источникам помогает целенаправленно готовиться.

• - Куб и прямоугольный параллелепипед – часто встречаются в демоверсиях ФИПИ 2023–2026 и в задачах Ященко. Удобны для координатного метода.
• - Правильная призма и пирамида – основной материал сборников Ященко и платформы Школково. Требуют знания формул объёма через площадь основания и высоты, а также умения находить апофему.
• - Тела вращения (цилиндр, конус, шар) – типичны для вариантов ФИПИ и Школково. Здесь полезны осевые сечения и формулы через радиус и высоту.
• - Правильный тетраэдр – регулярно появляется в заданиях Ященко и в открытом банке ФИПИ. Готовые выражения для высоты, объёма и площади поверхности экономят время.

Таблица соответствия типов и рекомендуемых методов (можно держать в черновике):

| Тип тела | Лучший метод | Почему | |----------|--------------|--------| | Куб, параллелепипед | Координатный | Легко задать вершины координатами | | Прямая призма/пирамида | Синтетический или объёмов | Высота перпендикулярна основаниям | | Наклонная призма | Метод объёмов | Высота не совпадает с боковым ребром | | Тела вращения | Осевое сечение + планиметрия | Задача сводится к кругу/треугольнику | | Правильный тетраэдр | Любой (часто координатный) | Симметрия упрощает вычисления |

Эти классификации помогают быстро определить, какой подход применить к конкретному варианту егэ математика профиль задание 14.

Разбор типовых ошибок и примеры полных решений с оформлением

Ниже приведены три разобранных примера разной сложности. Каждое решение оформлено в традиционном виде: Дано, Решение, Ответ. После каждого примера указаны типичные ошибки, которые приводят к потере баллов.

Пример 1. Угол между диагональю куба и плоскостью его грани

Дано. Куб \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) с ребром \(a\). Найти угол между диагональю \(AC_{1}\) и плоскостью \(ABCD\).

Решение.

1. 1. Положим куб в систему координат: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A_{1}(0,0,a)\). Тогда \(C_{1}(a,a,a)\).
2. 2. Вектор диагонали \(\vec{AC_{1}}=(a,a,a)\). Нормаль плоскости \(ABCD\) – \(\vec{n}=(0,0,1)\).
3. 3. Угол \(\varphi\) между прямой и плоскостью находится по формуле \(\sin\varphi=\dfrac{|\vec{AC_{1}}\cdot\vec{n}|}{|\vec{AC_{1}}|\cdot|\vec{n}|}\).

\[ \vec{AC_{1}}\cdot\vec{n}=a,\quad |\vec{AC_{1}}|=a\sqrt3,\quad |\vec{n}|=1\;\Rightarrow\; \sin\varphi=\dfrac{a}{a\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3}. \]

1. 4. Следовательно, \(\varphi=\arcsin\dfrac{1}{\sqrt3}\approx 35.3^{\circ}\).

Ответ. \(\displaystyle \arcsin\frac{1}{\sqrt3}\) (или \(\approx 35.3^{\circ}\)).

Типичные ошибки.

• - Использование формулы для угла между прямыми вместо угла с плоскостью (потеря обоснования).
• - Принятие \(\cos\varphi\) без модуля, что приводит к отрицательному значению и неверному углу.
• - Забывание про нормаль плоскости и попытка найти угол через скалярное произведение с вектором в плоскости.

Пример 2. Расстояние от вершины пирамиды до плоскости её основания

Дано. Правильная треугольная пирамида \(SABC\) со стороной основания \(a=6\) и боковым ребром \(b=10\). Найти высоту \(h\) пирамиды.

Решение.

1. 1. Основание – равносторонний треугольник со стороной \(a\). Его площадь

\[ S_{\triangle}=\frac{\sqrt3}{4}a^{2}=\frac{\sqrt3}{4}\cdot36=9\sqrt3. \]

1. 2. Поскольку все боковые рёбра равны, высота падает в центр описанной окружности основания. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника:

\[ R_{\text{оп}}=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3. \]

1. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(SO\), где \(O\) – центр основания, \(SO=h\), \(OA=R_{\text{оп}}=2\sqrt3\), а гипотенуза \(SA=b=10\). По теореме Пифагора:

\[ h^{2}+ (2\sqrt3)^{2}=10^{2}\;\Rightarrow\; h^{2}+12=100\;\Rightarrow\; h^{2}=88\;\Rightarrow\; h=2\sqrt{22}. \]

Ответ. \(2\sqrt{22}\).

Типичные ошибки.

• - Использование формулы \(V=S_{\text{осн}}\cdot h\) для пирамиды (забыт множитель 1/3).
• - Принятие высоты равной боковому ребру \(b\) (неверно для наклонной пирамиды).
• - Ошибка в расчёте радиуса описанной окружности (принятие \(R=a/2\)).

Пример 3. Объём части конуса, отсечённой плоскостью, параллельной основанию

Дано. Конус с радиусом основания \(R=4\) и высотой \(H=9\). Плоскость, параллельная основанию, находится на расстоянии \(x=3\) от вершины. Найти объём отсечённой верхней части (малый конус).

Решение.

1. 1. По признаку подобия малый конус подобен большому с коэффициентом \(k=\dfrac{x}{H}=\dfrac{3}{9}=\dfrac13\).
2. 2. Радиус малого конуса \(r=kR=\dfrac13\cdot4=\dfrac43\).
3. 3. Объём большого конуса

\[ V_{\text{боль}}=\frac13\pi R^{2}H=\frac13\pi\cdot16\cdot9=48\pi. \]

1. 4. Объём малого конуса \(V_{\text{ма}}=k^{3}V_{\text{боль}}=\left(\frac13\right)^{3}\cdot48\pi=\frac{1}{27}\cdot48\pi=\frac{48}{27}\pi=\frac{16}{9}\pi.\)

Ответ. \(\displaystyle \frac{16}{9}\pi\).

Типичные ошибки.

• - Принятие высоты отсечённой части равной \(x\) без учёта подобия (получится неверный радиус).
• - Использование формулы объёма цилиндра вместо конуса.
• - Забывание возвести коэффициент подобия в куб при расчёте объёма.

Ключевые геометрические модели: сечения, углы, расстояния в телах

Для быстрого доступа к часто используемым формулам и построениям удобно иметь под рукой справочный набор данных о основных телах.

Куб и прямоугольный параллелепипед

• - Диагональ грани: \(a\sqrt2\) (куб) или \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) (прямоугольный параллелепипед).
• - Диагональ тела: \(a\sqrt3\) или \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\).
• - Сечение плоскостью, параллельной грани, даёт прямоугольник, равный по размеру этой грани.

Правильная призма и пирамида

• - Площадь основания правильного \(n\)-угольника:

\[ S_{n}=\frac{n}{4}a^{2}\cot\frac{\pi}{n}\quad(\text{для }n=3,4,6\text{ используются готовые выражения}). \]

• - Апофема правильной пирамиды: \(l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}\), где \(r\) – радиус описанной окружности основания.
• - Боковая поверхность правильной пирамиды: \(S_{\text{бок}}=\frac12P_{\text{осн}}\cdot l\).
• - Сечение плоскостью, параллельной основанию, даёт подобное основание с коэффициентом подобия \(k=\dfrac{z}{h}\) (где \(z\) – расстояние от вершины до сечения).

Тела вращения

• - Осевое сечение цилиндра – прямоугольник \(2R\times h\).
• - Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник с основанием \(2R\) и высотой \(h\).
• - Осевое сечение шара – круг радиуса \(R\).
• - Для вписанной/описанной сферы удобно рассматривать осевое сечение: задача сводится к нахождению радиуса окружности в треугольнике или прямоугольнике.

Правильный тетраэдр

• - Все ребра равны \(a\).
• - Высота: \(h=\dfrac{a\sqrt6}{3}\).
• - Площадь грани: \(S_{\triangle}=\dfrac{\sqrt3}{4}a^{2}\).
• - Объём: \(V=\dfrac{a^{3}\sqrt2}{12}\).
• - Полная поверхность: \(S_{\text{полн}}=a^{2}\sqrt3\).
• - Сечение плоскостью, проходящей через середину трёх взаимно перпендикулярных рёбер, даёт правильный треугольник со стороной \(\dfrac{a\sqrt2}{2}\).

Для построения сечений и применения подобия полезно помнить:

Частые вопросы

14 задание егэ математика профиль сколько баллов? В 2026 году за полное решение задания 14 профильного ЕГЭ по математике присваивается 3 балла. Для получения всех баллов необходимо правильно построить решение, выполнить вычисления и записать ответ в требуемом виде.

Как решать 14 задание егэ математика профиль? Выбор метода зависит от тела: для кубов и параллелепипедов удобен координатный метод, для призм и пирамид – синтетический или метод объёмов, для тел вращения – осевое сечение и планиметрия. В любом случае сначала обоснуйте построение (выбор системы координат, построение сечения или применение теоремы о трёх перпендикулярах), затем выполните вычисления по соответствующим формулам и запишите ответ.

По этой теме есть отдельный разбор: задание 3 по стереометрии.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы объёмов и площадей фигур.

По этой теме есть отдельный разбор: векторный метод решения.

По этой теме есть отдельный разбор: шкала перевода первичных баллов в тестовые.

Стереометрия егэ профиль 14 задание Задание 14 егэ математика профиль