В заданиях 8 и 14 профильного ЕГЭ по математике стереометрия занимает фиксированное место: первое даёт один первичный балл, второе — до четырёх. Ниже собраны все тела, которые встречаются в вариантах, — от куба до шара — в виде сводной таблицы формул. Отдельный раздел посвящён методам решения задания 14 и восьми типичным ошибкам, которые обнуляют баллы даже при верном числовом ответе.
Что проверяет ЕГЭ профиль 2026 по стереометрии
Стереометрия в профильном ЕГЭ 2026 представлена двумя заданиями с разными требованиями.
Задание 8 — базовый уровень. Требуется найти объём или площадь поверхности тела по заданным размерам. Как правило, это один шаг: подставить данные в нужную формулу.
Задание 14 — профильный уровень, решается в два пункта:
- - пункт (а): доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, углы или отрезки имеют заявленные свойства — требуется обоснование теоремой или признаком;
- - пункт (б): найти конкретный угол или расстояние.
Тела, которые встречаются в контрольно-измерительных материалах:
Призма — многогранник с двумя равными параллельными основаниями и боковыми гранями-параллелограммами. Прямая призма имеет боковые рёбра, перпендикулярные основаниям; правильная — прямая и с правильным многоугольником в основании. Объём: \(V = S_{\text{осн}} \cdot h\).
Пирамида — многогранник с основанием-многоугольником и боковыми гранями-треугольниками с общей вершиной. Правильная пирамида: основание — правильный многоугольник, вершина проецируется в его центр. Объём: \(V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h\).
Тела вращения — цилиндр, конус, шар. Получаются вращением прямоугольника, прямоугольного треугольника и полукруга вокруг оси соответственно.
Правильный тетраэдр — частный случай правильной треугольной пирамиды, у которой все шесть рёбер равны, а все четыре грани — равносторонние треугольники.
Знание стереометрии 10 класса — определений, признаков перпендикулярности и формул — обязательно для уверенной работы с обоими заданиями.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Сводная таблица формул стереометрии ЕГЭ по математике профиль
Ниже — главная шпаргалка по всем телам, которые выносятся на экзамен. Стереометрия в таблице упорядочена от многогранников к телам вращения; в столбце «Примечание» — условия применения формулы.
| Тело | Объём | Площадь полной поверхности | Примечание | |---|---|---|---| | Куб (ребро \(a\)) | \(a^3\) | \(6a^2\) | Частный случай параллелепипеда | | Прямоугольный параллелепипед | \(abc\) | \(2(ab+bc+ca)\) | \(a, b, c\) — три ребра | | Прямая призма (общий случай) | \(S_{\text{осн}} \cdot h\) | \(P_{\text{осн}} \cdot h + 2S_{\text{осн}}\) | \(P\) — периметр основания | | Правильная треугольная пирамида | \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot h\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \dfrac{1}{2} \cdot 3a \cdot l\) | \(l\) — апофема | | Правильный тетраэдр (ребро \(a\)) | \(\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\) | \(a^2\sqrt{3}\) | Все шесть рёбер равны | | Правильная шестиугольная пирамида | \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \cdot h\) | \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 + \dfrac{1}{2} \cdot 6a \cdot l\) | \(P = 6a\), \(l\) — апофема | | Цилиндр | \(\pi R^2 h\) | \(2\pi R(R+h)\) | \(R\) — радиус, \(h\) — высота | | Конус | \(\dfrac{1}{3}\pi R^2 h\) | \(\pi R(R+l)\) | \(l = \sqrt{R^2+h^2}\) — образующая | | Шар | \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\) | \(4\pi R^2\) | \(R\) — радиус шара |
Коротко
- Призма и цилиндр: объём = \(S_{\text{осн}} \cdot h\). Пирамида и конус: то же, но с множителем \(\dfrac{1}{3}\).
- Шар: \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\), \(S = 4\pi R^2\) — степени \(R\) разные, не перепутать.
- Угол между прямыми — всегда не более 90°; в формуле стоит модуль косинуса.
- При подобии с коэффициентом \(k\): объёмы относятся как \(k^3\), площади — как \(k^2\).
По этой теме есть отдельный разбор: все формулы объёмов фигур: цилиндр, конус, шар, пирамида, призма.
Призмы и параллелепипеды: формулы объёма и поверхности (10 класс)
Формулы стереометрии 10 класса для призм строятся на одном принципе: объём равен площади основания, умноженной на высоту. Ключевое слово здесь — высота, а не боковое ребро.
Прямая призма
Здесь \(h\) — расстояние между плоскостями оснований. Для прямой призмы высота совпадает с боковым ребром. Для наклонной призмы боковое ребро длиннее высоты — это принципиальное различие, источник одной из самых частых ошибок.
Куб и прямоугольный параллелепипед
Три отрезка куба не стоит путать: ребро \(a\), диагональ грани \(a\sqrt{2}\) и пространственная диагональ \(a\sqrt{3}\). Диагональ грани лежит целиком в одной грани и задействует два ребра. Пространственная диагональ проходит сквозь тело и задействует три.
Вписанная и описанная сферы куба
Вписанная сфера касается каждой из шести граней — её радиус равен половине ребра. Описанная сфера проходит через все восемь вершин — её радиус равен половине пространственной диагонали куба.
Пирамиды: объём, апофема и боковая поверхность
Для любой пирамиды объём:
\[ V = \frac{1}{3}\,S_{\text{осн}} \cdot h \]
где \(h\) — высота, опущенная из вершины на плоскость основания. Коэффициент \(\tfrac{1}{3}\) принципиален: без него объём завышается втрое.
Апофема правильной пирамиды
Апофема \(l\) — высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. Она перпендикулярна этой стороне и лежит в плоскости боковой грани.
Апофему находят через теорему Пифагора. Если \(h\) — высота пирамиды, \(r\) — радиус вписанной в основание окружности:
\[ l = \sqrt{h^2 + r^2} \]
Через апофему выражается площадь боковой поверхности любой правильной пирамиды:
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}\,P_{\text{осн}} \cdot l \]
Основные формулы для правильных пирамид
Площадь правильного шестиугольника — это ровно шесть равносторонних треугольников со стороной \(a\), а не один. Именно здесь часто появляется ошибка — берут формулу одного треугольника.
Правильный тетраэдр
Правильный тетраэдр — частный случай правильной треугольной пирамиды, у которой боковые рёбра равны ребру основания \(a\). Все четыре грани — равносторонние треугольники.
Эти формулы удобно помнить готовыми: тетраэдр встречается в заданиях 2 и 8 достаточно часто, а вывод через общую формулу пирамиды тратит лишнее время на экзамене.
Тела вращения в ЕГЭ: цилиндр, конус, шар — все формулы
Тела вращения получают поворотом плоской фигуры вокруг оси: прямоугольник — цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар. Ключевой приём: осевое сечение сводит пространственную задачу к планиметрической — цилиндр становится прямоугольником, конус — равнобедренным треугольником, шар — кругом.
Цилиндр
Конус
Образующая \(l\) — отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания. Она является гипотенузой осевого прямоугольного треугольника и всегда длиннее высоты:
\[ l = \sqrt{R^2 + h^2} \]
Развёртка боковой поверхности конуса — сектор с радиусом \(l\) и длиной дуги \(2\pi R\). Угол сектора в градусах:
\[ \alpha = \frac{R}{l} \cdot 360^\circ \]
Эта развёртка используется в задачах о кратчайшем пути по поверхности или длине нити, обмотанной вокруг конуса.
Шар
Площадь сферы вчетверо больше площади большого круга \(\pi R^2\) — этот факт помогает не перепутать степень \(R\) в двух формулах.
Вписанные и описанные тела вращения
- Вписанные и описанные тела вращения
- Шаг 1. Построить осевое сечение всей конфигурации — пространственная задача сводится к планиметрической.
- Шаг 2. В сечении шар — круг, конус — равнобедренный треугольник, цилиндр — прямоугольник; отметить точки касания.
- Шаг 3. Использовать свойство касания: радиус к точке касания перпендикулярен касательной.
- Шаг 4. Найти радиус \(R\) из планиметрического соотношения.
- Шаг 5. Подставить \(R\) в нужную формулу объёма или площади.
Координатный метод и формулы для задания 14 ЕГЭ профиль
Задание 14 профильного ЕГЭ по стереометрии решается тремя методами. Ниже — сводка формул координатного метода и сравнение подходов.
Формулы координатного метода
В формулах углов стоит модуль: угол между прямыми и угол между плоскостями по определению не превышают 90°. Для угла прямой с плоскостью используется синус и нормаль плоскости \(\vec{n}\).
Метод объёмов
Когда ввод координат неудобен, расстояние от точки до плоскости (высоту тетраэдра) находят через:
\[ h = \frac{3V}{S} \]
- Метод объёмов (расстояние от точки до плоскости)
- Шаг 1. Выделить тетраэдр, одна грань которого — целевая плоскость, а искомое расстояние — его высота к этой грани.
- Шаг 2. Найти объём \(V\) тетраэдра удобным способом: взять другую грань за основание.
- Шаг 3. Вычислить площадь \(S\) целевой грани по формуле Герона или через векторное произведение.
- Шаг 4. Из \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) выразить \(h = \dfrac{3V}{S}\).
- Шаг 5. Записать ответ.
Сравнение трёх методов
| Метод | Когда выгоден | Слабое место | |---|---|---| | Координатный | Куб, параллелепипед, тела с прямым углом при основании | Громоздкие дроби при нестандартных координатах | | Метод объёмов | Расстояние от точки до плоскости любого тела | Нужно найти \(V\) и \(S\) независимо | | Классический (синтетический) | Видна геометрия: явные перпендикуляры, ось симметрии | Требует построений и ссылки на теорему о трёх перпендикулярах |
Координатный метод надёжнее всего для кубов и прямоугольных параллелепипедов: оси совпадают с рёбрами, координаты целочисленные, вычисления предсказуемы. Метод объёмов и синтетический подход дают более короткое решение, когда тело обладает явной симметрией или удобным перпендикуляром.
8 ошибок по стереометрии, которые обнуляют баллы на ЕГЭ
Особое внимание — пункту (а) задания 14. Даже верный числовой ответ в пункте (б) не спасёт, если доказательная часть отсутствует или содержит пустую ссылку без обоснования. По критериям проверки это отдельный балл, и именно он уходит чаще всего.
Частые вопросы
Дают ли формулы стереометрии на ЕГЭ профиль 2026 или нужно учить наизусть?
Никаких справочных материалов на экзамене нет. Все формулы — объём, площадь поверхности, соотношения в телах вращения — нужно знать наизусть. Таблица в этой статье служит инструментом для систематического повторения: просматривать её целиком несколько раз подряд значительно эффективнее, чем повторять формулы по одной.
Чем отличается объём пирамиды от объёма призмы с тем же основанием?
Ровно в три раза: \(V_{\text{пирамиды}} = \dfrac{1}{3}V_{\text{призмы}}\). Если вырезать из прямой призмы три пирамиды с тем же основанием и той же высотой, они заполнят её без остатка. Это геометрический смысл коэффициента \(\tfrac{1}{3}\) в формуле пирамиды и конуса.
Что такое апофема правильной пирамиды и как её найти?
Апофема — высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания. Она перпендикулярна этой стороне и лежит в плоскости боковой грани. Апофему находят по теореме Пифагора: \(l = \sqrt{h^2 + r^2}\), где \(h\) — высота пирамиды, \(r\) — радиус вписанной в основание окружности. Апофема входит в формулу боковой поверхности: \(S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2}P \cdot l\).
Какой метод решения задания 14 выбрать: координатный или классический?
Если тело — куб или прямоугольный параллелепипед, координатный метод предпочтителен: оси совпадают с рёбрами, координаты целочисленные. Если у тела есть явная ось симметрии и удобный прямоугольный треугольник, синтетический метод даёт более короткое решение. Метод объёмов выбирают, когда нужно расстояние от точки до плоскости, а ввод координат громоздок. На практике большинство задач с кубом и параллелепипедом решается координатным методом, с правильными пирамидами — нередко синтетическим.
Как не перепутать образующую конуса и его высоту в формулах?
Образующая \(l\) — наклонный отрезок от вершины до окружности основания, всегда длиннее высоты \(h\). Связь: \(l = \sqrt{R^2 + h^2}\). В формуле боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = \pi R l\) стоит образующая; в формуле объёма \(V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h\) — высота. Быстрая проверка: в формуле объёма нет \(l\), в формуле боковой поверхности нет \(h\).
Нужно ли писать доказательную часть в задании 14 ЕГЭ по стереометрии?
Да, без обоснования пункт (а) не засчитывается. Нужно явно указать, какой признак или теорему используете: признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трёх перпендикулярах или другое утверждение. Пункт (б) опирается на результат (а), поэтому его выполнение без корректного пункта (а) также влечёт потерю баллов по критериям.
По этой теме есть отдельный разбор: задачи по стереометрии 10 класса с решениями.
По этой теме есть отдельный разбор: полный разбор задания 14 ЕГЭ профиль по стереометрии.
По этой теме есть отдельный разбор: расстояние от точки до плоскости координатным методом.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.