Статья охватывает всю теорию стереометрии 10 класса: определения тел, аксиомы, формулы объёмов и поверхностей в одной таблице. Разбираем задания 3 и 14 ЕГЭ с готовыми чертежами и пошаговыми решениями. В конце — практические задачи для самопроверки и разбор типичных ошибок.
Что такое стереометрия — простыми словами
Если спросить, что такое стереометрия в геометрии, короткий ответ такой: это раздел, изучающий фигуры в трёхмерном пространстве. Планиметрия работает на плоскости — с треугольниками, окружностями, многоугольниками. Стереометрия добавляет третью ось координат, и сразу возникают объём, глубина и взаимное расположение плоскостей.
Проще всего разобраться на бытовых примерах: кубик сахара — это куб, туристическая палатка-пирамидка — правильная четырёхугольная пирамида, теннисный мяч — шар, консервная банка — цилиндр. Все эти фигуры изучает стереометрия.
В школьной программе раздел занимает два года: в 10 классе закладывается теория (аксиомы, определения тел, формулы), в 11-м углубляется координатный метод и задачи на углы и расстояния. На ЕГЭ стереометрия проверяется заданиями 3 (базовый уровень) и 14 (с развёрнутым решением) — суммарно до 5 первичных баллов.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Аксиомы стереометрии 10 класс — теория с задачами
Стереометрия 10 класс, вся теория выстраивается на трёх аксиомах — они не доказываются, но из них выводится всё остальное.
Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.
Следствия:
- - Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость.
- - Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
- - Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.
---
Задача к Аксиоме 1. Три вершины треугольника ABC не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через все три вершины?
` A / \(\\) / \(\\) B-----C `
Решение. По аксиоме 1 — ровно одна. Это плоскость треугольника ABC.
---
Задача к Аксиоме 2. Прямая \( l \) пересекает плоскость \( \alpha \) в точке A. Лежит ли вся прямая \( l \) в плоскости \( \alpha \)?
Решение. Нет. Аксиома 2 требует, чтобы в плоскости лежали хотя бы две точки прямой. Одна точка пересечения означает лишь, что прямая проходит сквозь плоскость.
---
Задача к Аксиоме 3. Плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) имеют общую точку. Докажите, что у них бесконечно много общих точек.
` α β \(\\) / \(\\) / \(\\) / \(\ /\) · (общая точка) `
Решение. По аксиоме 3 пересечение плоскостей — прямая. Прямая содержит бесконечно много точек, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. ∎
---
Аксиомы стереометрии 10 класс, задачи на их применение — обязательная часть теоретического блока. Без понимания аксиом доказательства в задании 14 строить невозможно.
Основные тела: призма, пирамида, тела вращения
Призма
Призма — многогранник, у которого два основания (равные многоугольники) лежат в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы. Призма прямая, если боковые рёбра перпендикулярны основаниям; правильная, если она прямая и в основании лежит правильный многоугольник.
` B'------C' /| /| A'------D'| | B----|--C | / | / A-------D
AA' — боковое ребро = высота h (у прямой призмы) `
Ключевые элементы: основания ABCD и A'B'C'D', боковые рёбра (AA', BB'...), высота \( h \).
Объём: \( V = S_{\text{осн}} \cdot h \). Для прямой призмы высота равна боковому ребру.
---
Пирамида
Пирамида — многогранник из плоского многоугольника (основание) и треугольников с общей вершиной \( S \), не лежащей в плоскости основания. Пирамида правильная, если основание — правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр.
` S \(/|\\) / | \(\\) / |h \(\\) / \(_-O-_ \\) \(A-/-------\-C\) / \(\\) B
SO ⊥ плоскости ABC, O — центр основания `
Апофема \( l \) — высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины на сторону основания. Через неё выражается боковая поверхность:
\[ S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2}\,P_{\text{осн}} \cdot l \]
Объём: \( V = \dfrac{1}{3}\,S_{\text{осн}} \cdot h \).
---
Тела вращения
Тела вращения получаются вращением плоской фигуры вокруг оси:
| Фигура | Тело | Осевое сечение | |--------|------|----------------| | Прямоугольник | Цилиндр | Прямоугольник | | Прямоугольный треугольник | Конус | Равнобедренный треугольник | | Полукруг | Шар | Круг радиуса \( R \) |
` Цилиндр Конус Шар \(_____\) S .----. | | \(/|\\) / \(\\) | R | h / | \(\h\) | R | \(|_____|\) / | \(\\) \(\\) / \(/___R___\\) '----' `
Формулы объёма:
\[ V_{\text{цил}} = \pi R^2 h, \quad V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h, \quad V_{\text{шар}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \]
---
Правильный тетраэдр
Правильный тетраэдр — частный случай правильной треугольной пирамиды, у которой все шесть рёбер равны. Все четыре грани — равносторонние треугольники со стороной \( a \).
` A \(/|\\) / | \(\\) / | \(\\) B---|---C \(\\) | / \(\ | /\) D
AB = AC = AD = BC = BD = CD = a `
Готовые формулы экономят время на экзамене:
\[ h = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}, \quad V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}, \quad S_{\text{полн}} = a^2\sqrt{3} \]
Таблица формул стереометрии 10 класс: объём и поверхность
Стереометрия 10 класс, таблица формул — один из главных инструментов подготовки. Все обозначения приведены рядом с каждой формулой.
Основные тела
Дополнительные формулы
Коротко
- Призма и цилиндр: V = S·h. Пирамида и конус: то же, но умножить на ⅓.
- Высота — перпендикуляр между основаниями, а не боковое ребро.
- Образующая конуса: l = √(R²+h²). Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник.
- Шар: степень R в объёме — третья, в площади поверхности — вторая.
- Диагональ грани куба a√2 и пространственная диагональ a√3 — разные отрезки.
- Описанная около куба сфера: R = a√3/2 (половина диагонали). Вписанная: r = a/2 (половина ребра).
Задачи по стереометрии 10 класс с решением (задание 3 ЕГЭ)
Разбираем задачи по стереометрии 10 класс с решением — уровень задания 3, ответ-число без развёрнутого доказательства.
---
Задача 1. Объём куба.
Ребро куба равно 5. Найдите его объём.
` B'----C' /| /| A'----D'| | B--|--C | / | / A-----D a = 5 `
Решение. Формула: \( V = a^3 \).
\[ V = 5^3 = 125 \]
Ответ: 125.
---
Задача 2. Полная поверхность цилиндра.
Цилиндр имеет радиус основания 3 и высоту 4. Найдите площадь полной поверхности.
` \(_____\) / \(\\) R = 3 | | h = 4 \(\_____/\) `
Решение. Формула: \( S_{\text{полн}} = 2\pi R(R + h) \).
\[ S = 2\pi \cdot 3 \cdot (3 + 4) = 2\pi \cdot 3 \cdot 7 = 42\pi \]
Ответ: \( 42\pi \).
---
Задача 3. Объём правильной четырёхугольной пирамиды.
Основание — квадрат со стороной 6, высота пирамиды равна 4. Найдите объём.
` S \(/|\\) / | \(\\) / |h=4 / O \(\\) A----+----C | | | B----|----D a=6 `
Решение.
Площадь основания: \( S_{\text{осн}} = 6^2 = 36 \).
\[ V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48 \]
Ответ: 48.
---
Задача 4. Объём конуса по образующей.
Радиус основания конуса равен 3, образующая \( l = 5 \). Найдите объём.
` S \(/|\\) / | \(\\) l=5 / |h \(\\) / | \(\\) ----O---- R=3 `
Решение.
Высота из теоремы Пифагора: \( h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{25 - 9} = 4 \).
\[ V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \]
Ответ: \( 12\pi \).
---
Задача 5. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды.
Основание — правильный треугольник со стороной 4, апофема \( l = 6 \). Найдите площадь боковой поверхности.
Решение.
Периметр основания: \( P = 3 \cdot 4 = 12 \).
\[ S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot P \cdot l = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \]
Ответ: 36.
---
Задача 6. Объём шара.
Диаметр шара равен 6. Найдите объём.
Решение.
Радиус \( R = 3 \).
\[ V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \]
Ответ: \( 36\pi \).
Задачи на готовых чертежах 10 класс — стереометрия
Стереометрия 10 класс, задачи на готовых чертежах — формат, максимально близкий к листам ЕГЭ и учебнику Атанасяна. Чертёж уже построен, нужно правильно прочитать условие и выбрать метод.
---
Задача 7. Сечение пирамиды, параллельное основанию (подобие).
` S \(/|\\) / | \(\\) \(/..MN..\\) ← сечение параллельно ABCD / | \(\\) A-----O-----C | | | B-----+-----D a=8 `
Правильная четырёхугольная пирамида SABCD, ребро основания 8, высота \( H = 6 \). Плоскость параллельна основанию и проходит через середины боковых рёбер. Найдите объём малой пирамиды.
Решение.
Плоскость делит боковые рёбра пополам, значит коэффициент подобия \( k = \dfrac{1}{2} \).
Объём всей пирамиды:
\[ V = \dfrac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot 6 = 128 \]
Объём малой пирамиды:
\[ V_1 = k^3 \cdot V = \dfrac{1}{8} \cdot 128 = 16 \]
Ответ: 16.
---
Задача 8. Достройка призмы до параллелепипеда.
` C' /| A'--B' | C| | / | h = 5 A---B катеты: 3 и 4 `
Прямая треугольная призма ABC A'B'C' имеет в основании прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, высота призмы равна 5. Найдите объём призмы.
Решение.
Площадь прямоугольного треугольника: \( S = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \).
\[ V = S_{\text{осн}} \cdot h = 6 \cdot 5 = 30 \]
Ответ: 30.
---
Задача 9. Объём усечённой пирамиды (сечение и подобие).
` \(___a₁___\) / \(\\) h₁ = H/3 от вершины / \(\\) / \(\\) \(/___a=6_________\\) H = 9 `
Правильная четырёхугольная пирамида с основанием \( a = 6 \) и высотой \( H = 9 \) рассекается плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии \( H/3 \) от вершины. Найдите объём малой пирамиды.
Решение.
Коэффициент подобия (малая пирамида относительно большой): \( k = \dfrac{1}{3} \).
Объём большой пирамиды: \( V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9 = 108 \).
\[ V_1 = k^3 \cdot V = \dfrac{1}{27} \cdot 108 = 4 \]
Ответ: 4.
Задание 14 ЕГЭ по стереометрии: углы и расстояния в пространстве
Задание 14 — самая объёмная задача профильного ЕГЭ по стереометрии. Задачи 3 и 14 вместе охватывают весь объём требований по геометрии. Типичная структура: пункт (а) — угол или доказательство перпендикулярности, пункт (б) — расстояние. Каждый пункт требует обоснования.
---
Решение координатным методом
Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ребро основания \( a = 4 \), высота \( H = 6 \). Найдите угол между боковой гранью SAB и плоскостью основания.
Шаг 1. Система координат.
Поместим A в начало координат, оси вдоль рёбер:
\[ A(0,0,0),\; B(4,0,0),\; C(4,4,0),\; D(0,4,0),\; S(2,2,6) \]
Шаг 2. Нормаль к грани SAB.
\[ \vec{AS} = (2,2,6),\quad \vec{AB} = (4,0,0) \]
\[ \vec{n_1} = \vec{AS} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & 6 \\ 4 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 0,\; 24 - 0,\; 0 - 8) = (0, 24, -8) \]
Упрощаем: \( \vec{n_1} = (0, 3, -1) \).
Шаг 3. Нормаль к плоскости основания.
\( \vec{n_2} = (0, 0, 1) \).
Шаг 4. Угол между плоскостями.
\[ \cos\alpha = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \dfrac{|-1|}{\sqrt{0+9+1}\cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \]
\[ \alpha = \arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}} \approx 71{,}6° \]
---
Решение классическим методом + метод объёмов
Задача. В той же пирамиде найдите расстояние от центра основания O до боковой грани SAB.
Шаг 1. Построение.
Пусть \( M \) — середина AB. Тогда \( OM \perp AB \) (как средняя линия квадрата) и \( SO \perp \) плоскости основания. По теореме о трёх перпендикулярах: \( SM \perp AB \).
\[ OM = 2,\quad SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{36 + 4} = 2\sqrt{10} \]
Шаг 2. Метод объёмов.
Выделяем тетраэдр SOAB — его грань SAB и есть целевая плоскость.
Объём тетраэдра SOAB (это \(\frac{1}{4}\) объёма пирамиды SABCD):
\[ V_{SOAB} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 16 \cdot 6 = 8 \]
Площадь грани SAB:
\[ S_{SAB} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10} \]
Расстояние:
\[ \rho = \dfrac{3V}{S} = \dfrac{3 \cdot 8}{4\sqrt{10}} = \dfrac{6}{\sqrt{10}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{5} \]
Ответ: \( \dfrac{3\sqrt{10}}{5} \).
---
Когда какой метод быстрее:
| Ситуация | Оптимальный метод | |----------|-------------------| | Куб, параллелепипед | Координатный | | Правильная пирамида/призма с удобными элементами | Классический | | Расстояние = высота тетраэдра | Метод объёмов | | Нужно строгое доказательство всех шагов | Классический |
По этой теме есть отдельный разбор: задание 14 ЕГЭ: стереометрия с критериями и разборами.
Методы решения задач по стереометрии 10–11 класс
Задачи по стереометрии 10–11 класс решаются семью устойчивыми методами. Для каждого важно знать, когда именно его применять.
- Координатный метод
- Шаг 1. Введите систему координат: начало в удобной вершине, оси вдоль рёбер или осей симметрии.
- Шаг 2. Запишите координаты всех нужных точек.
- Шаг 3. Угол между прямыми: \(\cos\varphi=\dfrac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a||\vec b|}\).
- Шаг 4. Угол прямой с плоскостью: \(\sin\varphi=\dfrac{|\vec a\cdot\vec n|}{|\vec a||\vec n|}\).
- Шаг 5. Угол между плоскостями: \(\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}\).
- Шаг 6. Расстояние от точки до плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\): \(\rho=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
- Метод объёмов
- Шаг 1. Выделите тетраэдр: одна грань — целевая плоскость, искомое расстояние — высота h.
- Шаг 2. Вычислите объём V тетраэдра удобным способом (через другое основание).
- Шаг 3. Найдите площадь S целевой грани (формулой Герона или через произведение векторов).
- Шаг 4. Расстояние: \(h = \dfrac{3V}{S}\).
- Классический (синтетический) метод
- Шаг 1. Постройте искомый элемент: линейный угол двугранного угла, проекцию наклонной.
- Шаг 2. Обоснуйте построение — теорема трёх перпендикуляров или признак перпендикулярности прямой и плоскости.
- Шаг 3. Выделите прямоугольный треугольник с искомым углом или стороной.
- Шаг 4. Найдите стороны через данные задачи и планиметрию, примените тригонометрию.
- Достройка тела до известного
- Шаг 1. Достройте фигуру до куба, параллелепипеда или симметричного тела.
- Шаг 2. Выразите объём исходной фигуры через объём достроенной (вычитание лишних частей).
- Шаг 3. Проведите вычисления в удобном достроенном теле.
- Шаг 4. Вернитесь к исходной величине.
- Развёртка боковой поверхности
- Шаг 1. Разверните поверхность: конус → сектор радиуса l, цилиндр → прямоугольник высотой h и шириной 2πR.
- Шаг 2. Угол сектора конуса: \(\alpha = \dfrac{R}{l}\cdot 360°\).
- Шаг 3. Отметьте начальную и конечную точки пути на развёртке.
- Шаг 4. Кратчайший путь по поверхности — прямой отрезок на плоской развёртке.
- Сечения и подобие
- Шаг 1. Убедитесь, что сечение параллельно основанию. Найдите коэффициент подобия k.
- Шаг 2. Объём подобной части: \(V_1 = k^3 V\).
- Шаг 3. Объём усечённой части: \(V - V_1\). Площадь сечения: \(S_1 = k^2 S_{\text{осн}}\).
- Вписанные и описанные тела вращения
- Шаг 1. Постройте осевое сечение конфигурации: шар → круг, конус → треугольник.
- Шаг 2. Отметьте точки касания; радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
- Шаг 3. Используйте формулу вписанной или описанной окружности в полученном плоском чертеже.
- Шаг 4. Найдите R и подставьте в формулу объёма или площади.
Шпаргалка «тип задачи → метод»:
| Тип задачи | Метод | |-----------|-------| | Объём, площадь поверхности | Формулы из таблицы напрямую | | Угол между прямыми / плоскостями | Координатный или классический | | Расстояние от точки до плоскости | Метод объёмов или координатный | | Кратчайший путь по поверхности | Развёртка | | Пирамида внутри параллелепипеда | Достройка | | Сечение параллельно основанию | Подобие | | Шар вписан / описан | Осевое сечение |
Типичные ошибки в задачах по стереометрии
В задачах по стереометрии 10 класс с решением большинство потерянных баллов — не от незнания теории, а от восьми известных ошибок. Каждая разобрана в формате «неверно / верно / почему».
Задачи для самостоятельного решения: стереометрия 10–11 класс
Задачи для самостоятельной работы охватывают весь материал. В блоке заданий геометрии 10 класса по стереометрии — 5 задач базового уровня и 5 задач уровня 14.
Уровень задания 3
1. Куб с ребром 3. Найдите длину пространственной диагонали.
` ------ /| /| ------ | | ----|-- |/ |/ ------ a = 3 `
(Ответ: \(3\sqrt{3}\))
---
2. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами 2, 3, 6. Найдите объём и площадь полной поверхности. (Ответ: \(V = 36\); \(S = 72\))
---
3. Правильная шестиугольная призма со стороной основания 2 и высотой 5. Найдите объём.
` \(___\) / \(\\) / \(\\) h = 5 \(\\) / \(\___/\) a = 2 `
(Ответ: \(30\sqrt{3}\))
---
4. Конус: радиус основания 5, высота 12. Найдите площадь боковой поверхности. (Ответ: \(65\pi\))
---
5. Шар вписан в куб с ребром 6. Найдите объём шара. (Ответ: \(36\pi\))
---
Уровень задания 14
6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 4 найдите угол между прямыми AB₁ и AC₁.
` D₁----C₁ | \(\\) \(|\\) | \(\ | \\) A₁----B₁ \(\\) \(\\) | C \(\\) | / A--B a = 4 `
(Ответ: \(\arccos\dfrac{1}{3}\))
---
7. В правильной треугольной пирамиде с ребром основания 6 и боковым ребром \(3\sqrt{5}\) найдите расстояние от вершины пирамиды до плоскости боковой грани. (Ответ: \(\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\))
---
8. В прямоугольном параллелепипеде с рёбрами 1, 1, 2 найдите угол между главной диагональю и плоскостью основания. (Ответ: \(\arctan\sqrt{2}\))
---
9. Правильный тетраэдр с ребром \( a = 4 \). Найдите расстояние от центра тетраэдра до любой из граней. (Ответ: \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\))
---
10. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (ребро основания 4, высота 4) плоскость проходит через середины рёбер SA и SC параллельно BD. Найдите площадь сечения. (Ответ: \(4\sqrt{5}\))
---
Как проверить себя:
- - Задачи 1–5: формулы в разделе «Таблица формул».
- - Задачи 6–10: алгоритмы в разделе «Задание 14».
- - Если ответ не совпал — проверьте раздел «Типичные ошибки»: восемь разобранных случаев покрывают большинство сбоев.
Частые вопросы
Стереометрия — это простыми словами что такое?
Раздел геометрии о фигурах в трёхмерном пространстве: телах (куб, пирамида, шар), плоскостях и прямых в пространстве, их взаимном расположении, углах и расстояниях. Всё, у чего есть объём, — это стереометрия.
Что такое стереометрия в геометрии и чем она отличается от планиметрии?
Планиметрия изучает фигуры на плоскости (треугольники, окружности, многоугольники). Стереометрия добавляет третью координату: появляются объём, скрещивающиеся прямые, двугранные углы и расстояния между непересекающимися прямыми в пространстве.
Какие формулы нужно знать по стереометрии в 10 классе?
Обязательный минимум: объём и поверхность куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара; диагонали куба (\(a\sqrt{2}\) — грань, \(a\sqrt{3}\) — пространственная); апофема правильной пирамиды; площади правильного треугольника и шестиугольника. Полная сводка — в разделе «Таблица формул».
Как решать задание 14 ЕГЭ по стереометрии — координатным или классическим методом?
Оба дают полный балл при корректном обосновании. Координатный быстрее для кубов и параллелепипедов. Классический удобнее, когда тело правильное и перпендикуляр строится сразу. Метод объёмов оптимален для расстояния от точки до плоскости, когда объём считается проще, чем уравнение плоскости.
Почему снимают баллы в задании 14, если ответ правильный?
Задание 14 — задача с доказательством. Каждый пункт требует не только числа, но и строгого обоснования: почему выбранная прямая перпендикулярна плоскости, откуда следует построение линейного угла. Без доказательной части пункт считается решённым не полностью, и за него выставляется меньше баллов даже при верном итоговом числе.
По этой теме есть отдельный разбор: все формулы объёмов пространственных фигур.
По этой теме есть отдельный разбор: задание 3 ЕГЭ профиль по стереометрии.
По этой теме есть отдельный разбор: виды многогранников и их названия.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.