Два направляющих вектора, скалярное произведение и модуль косинуса — вот и весь инструментарий для нахождения угла между прямыми в стереометрии. Ниже объясняем, что такое угол между скрещивающимися прямыми, почему он всегда острый или прямой, и разбираем оба метода решения задания 14 ЕГЭ на примерах куба, призмы и параллелепипеда.
Угол между прямыми в пространстве: определение и главное правило
В пространстве прямые бывают пересекающимися, параллельными или скрещивающимися (не параллельны и не пересекаются). Для пересекающихся прямых угол — меньший из двух смежных углов. Со скрещивающимися прямыми сложнее: они не имеют общей точки, поэтому угол определяется через перенос.
Определение. Углом между двумя прямыми в пространстве называется угол между прямыми, проведёнными через одну точку параллельно каждой из данных прямых.
Понять, как найти угол между прямыми в стереометрии, помогает одно правило, которое нужно запомнить раз и навсегда: угол всегда лежит в промежутке \([0°;\,90°]\). Поэтому косинус в формуле берут по модулю.
Модуль в числителе — не опция. Если направляющие векторы «смотрят в разные стороны», скалярное произведение отрицательно, но угол между прямыми от этого тупым не становится.
Коротко
- Угол между прямыми лежит в промежутке от 0° до 90° включительно.
- Если \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\), прямые перпендикулярны: \(\varphi=90°\).
- Параллельные прямые образуют угол 0°.
- Для скрещивающихся прямых угол вычисляется так же, как для пересекающихся: только через направляющие векторы.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Координатный метод: пошаговый алгоритм нахождения угла
Найти угол между прямыми методом координат — значит свести геометрическую задачу к алгебре: расставить координаты вершин, вычислить два вектора и один косинус. Метод работает для любого тела, которое удобно вписать в прямоугольную систему координат: куба, параллелепипеда, правильной призмы.
- Алгоритм координатного метода
- Шаг 1. Выберите начало координат — удобную вершину тела; оси направьте вдоль трёх попарно перпендикулярных рёбер.
- Шаг 2. Запишите координаты всех нужных точек, используя длины рёбер и геометрию основания.
- Шаг 3. Найдите направляющие векторы двух прямых: \(\vec{u}=B-A\), \(\vec{v}=D-C\) (координаты конечной точки минус координаты начальной).
- Шаг 4. Вычислите скалярное произведение \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) и модули \(|\vec{u}|\), \(|\vec{v}|\).
- Шаг 5. Подставьте в формулу и возьмите модуль числителя: \(\cos\varphi=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\).
- Шаг 6. Запишите ответ через \(\arccos\) или в градусах, если значение стандартное (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).
Разбор. Куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро \(a\). Найти угол между ребром \(AB\) и пространственной диагональю \(AC_1\).
Начало координат в \(A=(0,0,0)\): \[ B=(a,0,0),\quad C_1=(a,a,a). \]
Направляющие векторы (сторона \(a\) сокращается): \[ \vec{u}=\overrightarrow{AB}=(1,0,0),\qquad \vec{v}=\overrightarrow{AC_1}=(1,1,1). \]
\[ \cos\varphi=\frac{|1\cdot1+0\cdot1+0\cdot1|}{1\cdot\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \varphi=\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\approx54{,}7°. \]
Именно так аккуратно — с модулем и точным \(\arccos\) в ответе — оформляется полное решение на ЕГЭ.
По этой теме есть отдельный разбор: теорию векторов и скалярного произведения.
Угол между скрещивающимися прямыми в кубе: разбор типовых задач
Куб — самое частое тело в задании 14. Его главное удобство при нахождении угла между прямыми в кубе: все направляющие векторы рёбер и диагоналей состоят из \(0\), \(+1\) и \(-1\) (после сокращения на \(a\)). Вычисления остаются целочисленными.
Задача 1. Ребро и пространственная диагональ.
Куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро \(a\). Угол между ребром \(A_1B_1\) и диагональю \(A_1C\).
\[ A_1=(0,0,a),\quad C=(a,a,0);\quad \overrightarrow{A_1C}=(1,1,-1). \] \[ \overrightarrow{A_1B_1}=(1,0,0). \] \[ \cos\varphi=\frac{|1\cdot1+0\cdot1+0\cdot(-1)|}{1\cdot\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad\varphi=\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\approx54{,}7°. \]
Задача 2. Два пространственных отрезка с целыми координатами.
Угол между \(AC_1\) и \(BD_1\) в том же кубе.
\[ B=(a,0,0),\quad D_1=(0,a,a);\quad\overrightarrow{BD_1}=(-1,1,1). \] \[ \overrightarrow{AC_1}=(1,1,1). \] \[ \cos\varphi=\frac{|(-1+1+1)|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{1}{3},\quad\varphi=\arccos\frac{1}{3}\approx70{,}5°. \]
Результат отличается от предыдущей задачи — \(\arccos\tfrac{1}{3}\) встречается в ЕГЭ регулярно и стоит запомнить.
Задача 3. Ребро и диагональ грани куба (скрещивающиеся).
Угол между ребром \(CC_1\) и диагональю нижней грани \(BD\).
\[ \overrightarrow{CC_1}=(0,0,1),\quad B=(a,0,0),\quad D=(0,a,0);\quad\overrightarrow{BD}=(-1,1,0). \] \[ \cos\varphi=\frac{|0+0+0|}{1\cdot\sqrt{2}}=0,\quad\varphi=90°. \]
Прямой угол объясняется просто: \(CC_1\) перпендикулярно нижней грани, а \(BD\) лежит в ней.
Коротко
- Диагональ грани куба равна \(a\sqrt{2}\), пространственная диагональ — \(a\sqrt{3}\). Это разные отрезки.
- Все четыре пространственные диагонали куба образуют попарно равный угол \(\arccos\tfrac{1}{3}\approx70{,}5°\).
- Любое ребро куба перпендикулярно диагоналям параллельных граней.
Угол между прямыми в призме и параллелепипеде
При работе с призмой и параллелепипедом главный вопрос — где поставить начало координат. Правило: начало — в удобной вершине, три оси — вдоль трёх попарно перпендикулярных рёбер (или вдоль высоты и осей симметрии основания). Тогда координаты вершин пишутся быстро и без ошибок.
Прямоугольный параллелепипед с рёбрами \(a=3\), \(b=4\), \(c=12\). Начало координат в \(A=(0,0,0)\):
\[ B=(3,0,0),\quad D=(0,4,0),\quad A_1=(0,0,12),\quad C_1=(3,4,12). \]
Пространственная диагональ: \(|AC_1|=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\).
Угол между диагональю \(AC_1\) и наибольшим ребром \(AA_1\): \[ \overrightarrow{AC_1}=(3,4,12),\quad\text{направление }AA_1=(0,0,1). \] \[ \cos\varphi=\frac{|12|}{13},\quad\varphi=\arccos\frac{12}{13}\approx22{,}6°. \]
Угол между \(AC_1\) и ребром \(AB\): \[ \cos\varphi=\frac{|3|}{13},\quad\varphi=\arccos\frac{3}{13}\approx76{,}7°. \]
Тройка \(3,4,12,13\) — удобный аналог «египетской тройки» в трёх измерениях: \(3^2+4^2+12^2=169=13^2\).
Правильная шестиугольная призма с ребром основания \(a=1\) и высотой \(h=\sqrt{3}\). Центр нижнего основания — начало координат. Противоположные вершины нижнего основания:
\[ A=(1,\,0,\,0),\quad D=(-1,\,0,\,0),\quad D_1=(-1,\,0,\,\sqrt{3}). \]
Угол между боковым ребром \(AA_1\) и главной диагональю \(AD_1\): \[ \overrightarrow{AA_1}=(0,0,\sqrt{3}),\quad\overrightarrow{AD_1}=(-2,0,\sqrt{3}),\quad|AD_1|=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}. \] \[ \cos\varphi=\frac{|0+0+3|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}}=\frac{3}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{7},\quad\varphi=\arccos\frac{\sqrt{21}}{7}. \]
В правильной шестиугольной призме центр основания удобнее угловой вершины как начало координат: все шесть вершин раскладываются по тригонометрическому кругу радиуса \(a\), и апофема не нужна.
Классический метод: перенос прямой параллельно себе
Координатный метод универсален, но иногда синтетическое решение короче: структура задачи видна, длинных вычислений нет. Метод параллельного переноса особенно эффективен в кубе и правильной призме.
Идея. Одну из скрещивающихся прямых переносят параллельно себе в точку на второй прямой. После переноса прямые пересекаются. Угол между ними становится углом в получившемся треугольнике — его находят планиметрически.
- Синтетический метод угла между скрещивающимися прямыми
- Шаг 1. Определите пару скрещивающихся прямых.
- Шаг 2. Через точку на одной прямой проведите прямую, параллельную другой (используйте ребро, диагональ грани или симметрию тела).
- Шаг 3. Обоснуйте параллельность: укажите параллельные рёбра или грани, примените признак параллельности прямой и плоскости.
- Шаг 4. Выделите треугольник, образованный исходной прямой и её параллельной копией; при необходимости достройте тело.
- Шаг 5. Найдите стороны треугольника по теореме Пифагора или из свойств тела.
- Шаг 6. Вычислите нужный угол через \(\cos\), \(\sin\) или \(\tan\).
Пример. Куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро \(a\). Угол между диагональю нижней грани \(AC\) и ребром \(A_1B_1\).
Ребро \(A_1B_1\) параллельно \(AB\) (противолежащие рёбра куба). Переносим \(A_1B_1\) в точку \(A\) — получаем луч \(AB\). Угол между \(AC\) и \(AB\) — это \(\angle CAB\) в квадрате \(ABCD\): диагональ квадрата образует с его стороной угол \(45°\).
Синтетический метод быстрее, когда после переноса возникает прямоугольный или равнобедренный треугольник с очевидными сторонами. Для нестандартных тел или диагоналей, не совпадающих с рёбрами, координатный метод надёжнее.
По этой теме есть отдельный разбор: теорему о трёх перпендикулярах.
Типичные ошибки в задании 14 ЕГЭ по теме углов
Антипример к первой ошибке. Векторы \(\vec{a}=(1,1,1)\) и \(\vec{b}=(1,-1,-1)\). Скалярное произведение: \(1-1-1=-1<0\). Без модуля — \(\cos\varphi=-\tfrac{1}{3}\), тупой угол \(\approx109{,}5°\). С модулем — \(\cos\varphi=\tfrac{1}{3}\), угол \(\approx70{,}5°\). Только второй ответ верен.
Частые вопросы
Как найти угол между прямыми в кубе, если прямые задаются вершинами?
Записывают координаты нужных вершин (начало — в одной из вершин куба, оси — вдоль рёбер). Вычитают координаты начальной точки из конечной для каждой прямой — получают направляющие векторы. Сторона \(a\) сокращается, поэтому можно сразу работать с целочисленными векторами из \(0\), \(\pm1\). Дальше — формула \(\cos\varphi=\tfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) и ответ в виде \(\arccos\).
Как найти угол между скрещивающимися прямыми в кубе без координат?
Одну из скрещивающихся прямых переносят параллельно себе через точку на другой. После переноса прямые пересекаются в одной точке, и угол между ними становится углом в треугольнике. Стороны треугольника выражают через ребро куба по теореме Пифагора, угол — через тригонометрию. Обязательно обосновывают параллельность переноса.
Как найти угол между прямыми методом координат в прямоугольном параллелепипеде?
Начало координат — в одну из вершин, оси — вдоль рёбер \(a\), \(b\), \(c\). Координаты всех восьми вершин пишутся мгновенно: \(A=(0,0,0)\), \(B=(a,0,0)\), \(D=(0,b,0)\), \(A_1=(0,0,c)\), \(C_1=(a,b,c)\) и так далее. Дальше — стандартный алгоритм: направляющие векторы, скалярное произведение, модуль косинуса.
Как найти угол между прямыми в пространстве, если они параллельны?
Параллельные прямые образуют угол \(0°\). Их направляющие векторы коллинеарны: \(\vec{b}=\lambda\vec{a}\) при \(\lambda\neq0\). При подстановке в формулу \(|\cos\varphi|=1\), значит \(\varphi=0°\). Это предельный случай: в задании 14 его отдельно не проверяют, но знать нужно.
Как найти угол между прямыми в стереометрии — выбрать координатный или классический метод?
Координатный метод универсален и не требует геометрической интуиции: одинаково работает для куба, призмы, параллелепипеда. Классический быстрее, когда параллельный перенос прямой даёт очевидный треугольник с известными сторонами — например, прямоугольный или равнобедренный. На ЕГЭ оба метода засчитываются при наличии полного обоснования.
По этой теме есть отдельный разбор: задание 14 ЕГЭ по стереометрии.
По этой теме есть отдельный разбор: сечениях куба плоскостью.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.