Тригонометрия

Формулы тригонометрии для ЕГЭ профиль 2026: задания 7, 13, 15

Формулы тригонометрии для ЕГЭ профиль 2026 — полный список: тождества, двойной угол, приведение. Какие формулы нужны в заданиях 7, 13, 15 и где теряют баллы.

12 мин чтения
#Тригонометрия#формулы тригонометрии для егэ профиль#формулы тригонометрии для егэ профиль 2026#тригонометрические формулы для егэ#основные формулы тригонометрии для егэ

Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ профиль: стартовый минимум

Без четырёх вещей не решается ни одно тригонометрическое задание: определения функций, основное тождество, связь тангенса с синусом и косинусом, таблица значений.

Синус и косинус как координаты точки M на единичной окружности — геометрическая основа всех табличных значений
Синус и косинус как координаты точки M на единичной окружности — геометрическая основа всех табличных значений

Определения через единичную окружность. Для любого числа \(t\) откладывают дугу длиной \(|t|\) от точки \((1;\,0)\): против часовой стрелки при \(t>0\), по часовой при \(t<0\). Абсцисса конечной точки — это \(\cos t\), ордината — \(\sin t\).

Тангенс и котангенс — производные отношения:

\[ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} \]

Тангенс не определён при \(\cos t = 0\), котангенс — при \(\sin t = 0\). Это ОДЗ, которую указывают в ответе обязательно.

Тождества — фундамент всех преобразований:

Основное тождество
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
Связь тангенса и косинуса
\[1 + \tg^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}\]
Связь котангенса и синуса
\[1 + \ctg^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}\]

Из первого тождества выражают синус через косинус и наоборот: \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\). Знак определяют по четверти: I — всё положительно; II — только синус; III — тангенс и котангенс; IV — косинус.

Таблица значений для табличных углов — нужна наизусть:

| Угол | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | |---|---|---|---|---|---| | \(\sin\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | | \(\cos\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | | \(\tg\) | \(0\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | не опр. |

Мнемоника: синусы углов \(0,\,\frac{\pi}{6},\,\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{3},\,\frac{\pi}{2}\) — это \(\frac{\sqrt{0}}{2},\,\frac{\sqrt{1}}{2},\,\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{\sqrt{3}}{2},\,\frac{\sqrt{4}}{2}\). Косинус читается в обратном порядке.

Это и есть основные формулы тригонометрии для ЕГЭ профиль — стартовый набор, от которого отталкиваются все остальные разделы.

---

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Формулы суммы, разности и двойного угла — задание 7 ЕГЭ профиль

Задание 7 — числовое: нужно упростить выражение до конкретного числа. Почти всегда это делается через формулы сложения или двойного угла, а ответ совпадает с табличным значением.

Косинус суммы
\[\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\]
Косинус разности
\[\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\]
Синус суммы
\[\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\]
Синус разности
\[\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\]
Тангенс суммы/разности
\[\tg(\alpha\pm\beta) = \dfrac{\tg\alpha\pm\tg\beta}{1\mp\tg\alpha\,\tg\beta}\]
Синус двойного угла
\[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\]
Косинус двойного угла
\[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha\]
Тангенс двойного угла
\[\tg 2\alpha = \dfrac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}\]

Обратите внимание на знак в формуле косинуса суммы: в аргументе плюс, а в правой части стоит минус. Путаница именно здесь — одна из самых частых ошибок.

Как задание 7 «намекает» на формулу — разбор примера.

Дано: вычислить \(\cos 75°\). Видим \(75 = 45 + 30\) — сигнал применить формулу косинуса суммы:

\[ \cos 75° = \cos(45°+30°) = \cos 45°\cos 30° - \sin 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \]

Другой сигнал — произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\): оно сразу сворачивается в \(\tfrac{1}{2}\sin 2\alpha\). Выражение \(1 - 2\sin^2\alpha\) указывает на одну из форм \(\cos 2\alpha\).

Именно эти формулы по тригонометрии для ЕГЭ математика профиль закрывают большинство задач первой части — задание 7 проверяет их в первую очередь.

---

Формулы понижения степени и преобразования суммы: ЕГЭ 2025–2026

Понижение степени и сумма-в-произведение — инструменты второй волны: включаются, когда формулы сложения уже применены, а в выражении ещё стоят \(\sin^2 x\), \(\cos^2 x\) или сумма двух синусов.

Понижение sin²
\[\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}\]
Понижение cos²
\[\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}\]
Произведение sin·cos
\[\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\sin 2\alpha\]
Сумма синусов
\[\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\]
Разность синусов
\[\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\]
Сумма косинусов
\[\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\]
Разность косинусов
\[\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\]
Произведение в сумму (sin·cos)
\[2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\]
Тройной угол (синус)
\[\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\]
Тройной угол (косинус)
\[\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\]

Навигатор по применению:

| Ситуация | Формула | Задание | |---|---|---| | Стоит \(\sin^2 x\) или \(\cos^2 x\) | Понижение степени | 13, 15 | | Сумма или разность двух синусов/косинусов | Сумма/разность в произведение | 13, 15 | | Произведение функций с разными аргументами | Произведение в сумму | 15 | | Кубы синуса или косинуса | Тройной угол | 15 (редко) |

В разности косинусов обязателен минус перед всем выражением — именно здесь стабильно теряют знак.

Перечень формул тригонометрии для ЕГЭ профиль 2026 не изменился по сравнению с 2025: ФИПИ сохранил список полностью, поменялись только формулировки задач.

---

Корни тригонометрических уравнений: формулы для задания 13

Задание 13 — уравнение с обязательным отбором корней на отрезке. Сначала нужно получить общую серию корней — для этого есть три готовых шаблона.

Два корня sin x = 1/2 на окружности (π/6 и 5π/6) — наглядная иллюстрация того, что даёт общая формула
Два корня sin x = 1/2 на окружности (π/6 и 5π/6) — наглядная иллюстрация того, что даёт общая формула
Косинус
\[\cos x = a \Rightarrow x = \pm\arccos a + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\]
Синус (компактная запись)
\[\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^k\arcsin a + \pi k,\quad k\in\mathbb{Z}\]
Синус (две серии)
\[\sin x = a \Rightarrow x = \arcsin a + 2\pi n \quad\text{или}\quad x = \pi - \arcsin a + 2\pi n\]
Тангенс
\[\tg x = a \Rightarrow x = \arctg a + \pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\]

Почему у косинуса знак «±», а у тангенса только «+».

На единичной окружности \(\cos x = a\) даёт две точки, симметричные относительно оси абсцисс: \(+\arccos a\) и \(-\arccos a\). Отсюда «±». У синуса симметрия другая — относительно оси ординат: вторая точка не \(-\arcsin a\), а \(\pi - \arcsin a\). Компактная запись через \((-1)^k\) учитывает это, но на экзамене надёжнее выписывать две серии явно. Тангенс — одна серия с шагом \(\pi\), потому что его период равен \(\pi\), а не \(2\pi\).

Свойства обратных функций — нужны при упрощении ответа:

\[ \arcsin(-a) = -\arcsin a, \quad \arccos(-a) = \pi - \arccos a, \quad \arctg(-a) = -\arctg a \]

Арксинус и арктангенс нечётные, арккосинус — нет. Ошибка здесь: написать \(-\arccos a\) вместо \(\pi - \arccos a\).

Частные случаи записывают короткой формулой:

cos x = 0
\[x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n\]
cos x = 1
\[x = 2\pi n\]
cos x = -1
\[x = \pi + 2\pi n\]
sin x = 0
\[x = \pi n\]
sin x = 1
\[x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\]
sin x = -1
\[x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\]

Это базовые формулы тригонометрии для ЕГЭ профиль применительно к уравнениям — шаблоны, которые воспроизводятся без раздумий.

---

Методы для задания 15: сложные уравнения и отбор корней на отрезке

Задание 15 даёт 4 балла и строится так: сначала решить уравнение, затем выбрать корни на заданном отрезке. Сложность первой части — в выборе метода.

Алгоритм выбора:

  1. Алгоритм выбора метода для задания 15
  2. Шаг 1: Только одна тригонометрическая функция (или всё сводится через sin²+cos²=1 к одной) → замена переменной, сведение к квадратному уравнению.
  3. Шаг 2: Есть общий множитель или сумма/разность синусов и косинусов → разложение на множители через формулы суммы-в-произведение.
  4. Шаг 3: Все слагаемые одной степени по sin и cos → однородное уравнение, делить на cos²x.
  5. Шаг 4: Уравнение вида a·sin x + b·cos x = c → метод вспомогательного угла.
  6. Шаг 5: Ничего из выше не подошло → универсальная подстановка t = tg(x/2).

Ключевые формулы для пятого шага:

Универсальная подстановка
\[t = \tg\dfrac{x}{2},\quad \sin x = \dfrac{2t}{1+t^2},\quad \cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}\]
Метод вспомогательного угла
\[a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\]
Тангенс половинного угла
\[\tg\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\]

Ловушка универсальной подстановки: при \(t = \tg\frac{x}{2}\) теряется серия \(x = \pi + 2\pi n\) — там \(\cos\frac{x}{2} = 0\). Эту серию нужно проверить подстановкой в исходное уравнение отдельно.

Отбор корней на отрезке — строго через неравенство, не подбором:

  1. Отбор корней на отрезке [a; b]
  2. Шаг 1: Записать каждую серию в виде x = f(n), где n ∈ ℤ.
  3. Шаг 2: Составить двойное неравенство: a ≤ f(n) ≤ b.
  4. Шаг 3: Решить неравенство относительно n, выбрать целые значения.
  5. Шаг 4: Подставить каждое допустимое n и вычислить конкретный корень.
  6. Шаг 5: Проверить, что найденные значения удовлетворяют ОДЗ — исключить запрещённые точки.

В заданиях по формулам тригонометрии для ЕГЭ профиль 2026, где в уравнении стоит тангенс или котангенс, до отбора обязательно выписать запрещённые точки и исключить их из серий.

---

Типичные ошибки в тригонометрии на ЕГЭ профиль: как не терять баллы

Восемь ошибок, которые стабильно стоят баллов. Каждая — с правильным вариантом рядом.

❌ ошибка\(\cos x = \tfrac{1}{2} \Rightarrow x = \arccos\tfrac{1}{2} + 2\pi n\)
✅ верноx = \(\pm\arccos\tfrac{1}{2} + 2\pi n = \pm\tfrac{\pi}{3} + 2\pi n\)
У косинуса две симметричные серии — без знака «±» теряется ровно половина корней.
❌ ошибкаДелят однородное на \(\cos x\) без проверки
✅ верноСначала проверить, что \(\cos x = 0\) не корень, и только потом делить на \(\cos^2 x\)
Деление на выражение, которое может быть нулём, теряет корни или даёт неверный переход.
❌ ошибка\(\sin x = 1{,}2 \Rightarrow x = \arcsin 1{,}2 + \ldots\)
✅ верноРешений нет: \(|1{,}2| > 1\)
Синус и косинус не выходят за \([-1;\,1\)]; арксинус от числа вне этого отрезка не определён.
❌ ошибкаПосле \(\tg x = 1\) записывают ответ без ОДЗ
✅ верноУказать ОДЗ: \(\cos x \neq 0\), и проверить, что ни один из найденных корней её не нарушает
Тангенс не определён при \(\cos x = 0\); игнорирование ОДЗ приводит к посторонним корням.
❌ ошибка\(\sqrt{\sin^2 x} = \sin x\)
✅ верно\(\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|\)
Квадратный корень из квадрата — всегда модуль; знак зависит от четверти, иначе часть корней теряется или появляются лишние.
❌ ошибкаПри отборе n подбирают на глаз
✅ верноРешать неравенство a \(\le x(n) \le b\) относительно n, брать только целые значения
Подбор без неравенства пропускает граничные корни или включает лишние.
❌ ошибка\(\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha + \sin\beta\)
✅ верно\(\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)
Тригонометрические функции нелинейны; сумму в аргументе раскрывают только по формуле сложения.
❌ ошибка\(\cos 2\alpha = 2\cos\alpha,\quad \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\)
✅ верно\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha,\quad \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)
Цифра 2 стоит при аргументе, а не при значении функции; двойной угол раскрывается по своим формулам.

Тригонометрические формулы для ЕГЭ можно знать безупречно — и всё равно потерять баллы именно на этих восьми местах. По каждому стоит написать один собственный пример и разобрать его до конца.

Коротко

  • Косинус даёт «±», синус — множитель \((-1)^k\) или две серии, тангенс — просто +πn.
  • Период sin и cos равен 2π, tg и ctg — π.
  • Если |a| > 1, то sin x = a и cos x = a решений не имеют.
  • √(sin²x) = |sin x|, а не sin x.
  • arccos(−a) = π − arccos a — арккосинус нечётным не является.
  • Однородное уравнение: сначала проверить cos x = 0, потом делить на cos²x.
  • Отбор корней делать через неравенство относительно n, не подбором.
  • В разности косинусов не терять знак минус перед скобкой.

---

FAQ: частые вопросы о формулах тригонометрии для ЕГЭ профиль

Нужно ли учить формулы тригонометрии наизусть или на ЕГЭ дают справочник?

На ЕГЭ профиль справочник с формулами не выдают — всё должно быть в голове. В бланке КИМ есть только таблица значений табличных углов, но формулы сложения, двойного угла и общие решения уравнений нужно воспроизводить самостоятельно.

Какие формулы тригонометрии для ЕГЭ самые важные?

Стартовый минимум: основное тождество \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), формулы косинуса и синуса суммы, двойной угол и три шаблона общих решений (для синуса, косинуса, тангенса). С ними закрывается задание 7 полностью и около 60% задания 13.

Изменились ли формулы тригонометрии для ЕГЭ в 2025 году по сравнению с 2026-м?

Нет. Тригонометрия — формулы для ЕГЭ 2025 и 2026 года совпадают полностью: ФИПИ не менял перечень. Изменились только формулировки задач и числовые данные, но не сами тождества и шаблоны решений уравнений.

Сколько первичных баллов приносит тригонометрия на ЕГЭ профиль?

Непосредственно тригонометрия встречается в заданиях 7 (1 балл), 13 (2 балла) и 15 (4 балла). Итого — до 7 первичных баллов, причём задание 15 при неполном решении частично засчитывается даже без окончательного ответа.

Почему у синуса две серии решений, а у тангенса одна?

Период тангенса равен \(\pi\), поэтому все решения \(\tg x = a\) описываются одной серией \(x = \arctg a + \pi n\). У синуса период \(2\pi\), а на единичной окружности значение \(a\) достигается в двух разных точках — отсюда два шаблона: \(x = \arcsin a + 2\pi n\) и \(x = \pi - \arcsin a + 2\pi n\).

По этой теме есть отдельный разбор: все формулы тригонометрии для ЕГЭ в таблицах.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы двойного угла.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы приведения.

По этой теме есть отдельный разбор: тригонометрические уравнения в ЕГЭ профиль.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Тригонометрические формулы 10 класс алгебра: шпаргалка-таблица2026-07-31Тригонометрические уравнения на ЕГЭ: лайфхаки быстрых решений2026-07-07Тригонометрия ЕГЭ 2026: все формулы в таблицах и как решать уравнения2026-07-07Что такое арксинус и арккосинус: объяснение простыми словами2026-07-29