Как решать тригонометрические неравенства: ЕГЭ профиль

Тригонометрические неравенства: теория для ЕГЭ профиль

Тригонометрическое неравенство — это неравенство, в котором неизвестное стоит под знаком тригонометрической функции. Главное отличие от уравнения: решением является не набор отдельных точек, а промежуток (или объединение промежутков) на числовой оси.

Синус и косинус как координаты точки на единичной окружности — основа для записи неравенств.

Прежде чем переходить к алгоритму, стоит зафиксировать несколько понятий. Синус и косинус числа \(t\) — это координаты точки единичной окружности, отложенной от \((1;\,0)\) на дугу длиной \(|t|\):

\[ \cos t = x_M,\qquad \sin t = y_M,\qquad M \in \{x^2 + y^2 = 1\} \]

Тангенс и котангенс определяются через их соотношение и имеют ограничения области определения.

Тангенс и котангенс

\[\tg t=\dfrac{\sin t}{\cos t},\quad \ctg t=\dfrac{\cos t}{\sin t}\]

Основное тождество

\[\sin^2 t+\cos^2 t=1\]

Период синуса и косинуса

\[T=2\pi\]

Период тангенса и котангенса

\[T=\pi\]

Арксинус числа \(a \in [-1;\,1]\) лежит в \(\bigl[-\tfrac{\pi}{2};\,\tfrac{\pi}{2}\bigr]\), арккосинус — в \([0;\,\pi]\), арктангенс — в \(\bigl(-\tfrac{\pi}{2};\,\tfrac{\pi}{2}\bigr)\). Из этих отрезков берутся граничные точки при переходе от неравенства к ответу на окружности.

Коротко

Синус и косинус принимают значения в [-1; 1]. Если |a| > 1, уравнение sin x = a или cos x = a решений не имеет.
Знаки по четвертям: I — все «+»; II — sin > 0; III — tg и ctg > 0; IV — cos > 0.
Синусы 0, π/6, π/4, π/3, π/2 равны √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Косинус — в обратном порядке.
Тригонометрия в задачах ЕГЭ профиль строится на трёх формулах: корни уравнений для sin, cos и tg, плюс основное тождество.

---

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Алгоритм: как решать тригонометрические неравенства пошагово

Понять, как решать тригонометрические неравенства, помогает универсальная схема из четырёх шагов — она работает для любого типа функции.

Универсальный алгоритм решения тригонометрического неравенства
Шаг 1. Привести к простейшему виду — добиться формы sin x > a, cos x < a или tg x ≥ a с помощью алгебраических преобразований.
Шаг 2. Найти граничные точки — решить соответствующее уравнение (например, sin x = a) и получить одну или две точки на единичной окружности.
Шаг 3. Определить нужную дугу — отметить, на каком участке окружности выполняется исходное неравенство. Для «>» берётся дуга, где функция больше граничного значения.
Шаг 4. Записать ответ — перевести дугу в аналитическую запись с параметром n ∈ ℤ, учесть строгость знака неравенства при расстановке скобок.

Разбор на примере: \(\sin x > \tfrac{1}{2}\)

Шаг 1. Неравенство уже в простейшем виде.

Шаг 2. Граничные точки из \(\sin x = \tfrac{1}{2}\): это \(x_1 = \tfrac{\pi}{6}\) и \(x_2 = \pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{5\pi}{6}\).

Шаг 3. Синус больше \(\tfrac{1}{2}\) там, где точка на окружности выше горизонтали \(y = \tfrac{1}{2}\), — дуга от \(\tfrac{\pi}{6}\) до \(\tfrac{5\pi}{6}\).

Шаг 4. Ответ с периодом \(2\pi\):

\[ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Граничные точки не включены — неравенство строгое.

---

Виды тригонометрических неравенств и схемы решения на окружности

Уравнения и неравенства на ЕГЭ профиль делятся по типу тригонометрической функции. Для каждого вида — своя логика выбора дуги на окружности.

Неравенства с синусом

Синус — ордината точки. Условие \(\sin x > a\) выполняется там, где точка расположена выше горизонтали \(y = a\).

sin x > a (строгое)

\[\arcsin a + 2\pi n < x < \pi - \arcsin a + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\]

sin x < a (строгое)

\[\pi - \arcsin a + 2\pi n < x < 2\pi + \arcsin a + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\]

sin x ≥ a (нестрогое)

\[\arcsin a + 2\pi n \le x \le \pi - \arcsin a + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\]

Неравенства с косинусом

Косинус — абсцисса точки. Условие \(\cos x > a\) — точка находится правее вертикали \(x = a\) на окружности. Здесь корни уравнения косинуса дают симметричную пару: \(x = \pm\arccos a + 2\pi n\), и дуга решений строится соответственно.

cos x > a (строгое)

\[-\arccos a + 2\pi n < x < \arccos a + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\]

cos x < a (строгое)

\[\arccos a + 2\pi n < x < 2\pi - \arccos a + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\]

Неравенства с тангенсом

Тангенс монотонно возрастает на каждом промежутке \(\bigl(-\tfrac{\pi}{2} + \pi n;\;\tfrac{\pi}{2} + \pi n\bigr)\). Неравенство решается в пределах одной ветви — период здесь \(\pi\), а не \(2\pi\).

tg x > a (строгое)

\[\arctg a + \pi n < x < \dfrac{\pi}{2} + \pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\]

tg x < a (строгое)

\[-\dfrac{\pi}{2} + \pi n < x < \arctg a + \pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\]

Строгое и нестрогое: где важна скобка

| Знак | Граничные точки | Скобки в ответе | |---|---|---| | \(>\) или \(<\) | Исключены | Круглые \((\,)\) | | \(\geq\) или \(\leq\) | Включены | Квадратные \([\,]\) |

При нестрогом знаке дуга замыкается в граничных точках — это различие принципиально при записи ответа.

---

По этой теме есть отдельный разбор: тригонометрические уравнения в задании 6 ЕГЭ профиль.

ОДЗ в тригонометрических уравнениях и неравенствах — ЕГЭ профиль

Для чистых неравенств с синусом или косинусом ОДЗ не нужна: эти функции определены при любом \(x\). Но в ряде типов задач без неё решение будет неполным или ошибочным.

Тангенс и котангенс не определены там, где касательная параллельна радиусу — отсюда ОДЗ.

Когда ОДЗ обязательна

Тригонометрические уравнения с ОДЗ на ЕГЭ профиль чаще всего встречаются в трёх ситуациях:

1. В задаче присутствует тангенс — ограничение \(\cos x \neq 0\), то есть \(x \neq \tfrac{\pi}{2} + \pi n\).
2. Присутствует котангенс — ограничение \(\sin x \neq 0\), то есть \(x \neq \pi n\).
3. Под знаком корня стоит тригонометрическое выражение — подкоренное выражение обязано быть \(\geq 0\).

Учёт ОДЗ при решении неравенства
Шаг 1. До начала решения выписать ограничения: cos x ≠ 0, sin x ≠ 0, знаменатели ≠ 0.
Шаг 2. Записать запрещённые точки сериями (например, x ≠ π/2 + πn).
Шаг 3. Найти решение неравенства стандартным способом.
Шаг 4. Исключить из области решений запрещённые точки — пересечь с ОДЗ.
Шаг 5. Записать финальный ответ только из оставшейся части.

Пример: \(\tg x \geq 1\)

ОДЗ: \(\cos x \neq 0\), то есть \(x \neq \tfrac{\pi}{2} + \pi n\).

Решение без учёта ОДЗ: \(\tfrac{\pi}{4} + \pi n \leq x \leq \tfrac{\pi}{2} + \pi n\).

Правая граница \(\tfrac{\pi}{2} + \pi n\) запрещена по ОДЗ, поэтому финальный ответ:

\[ \frac{\pi}{4} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Правая скобка стала круглой. Именно этот шаг теряется чаще всего.

Связь тангенса и косинуса

\[1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\quad (\cos\alpha\neq 0)\]

---

Как решать тригонометрические уравнения неравенством: метод отбора корней

Задание 13 профильного ЕГЭ часто требует не просто найти общий ответ, а выбрать конкретные корни на заданном промежутке. Именно здесь применяется подход, который называют методом отбора: как решать тригонометрические уравнения неравенством относительно параметра \(n\).

Пример отбора корней: оба решения sin x = 1/2 на окружности и проверка нужного промежутка.

Отбор корней на промежутке [a; b]
Шаг 1. Записать общий ответ уравнения с параметром n ∈ ℤ — каждую серию отдельно.
Шаг 2. Для каждой серии составить двойное неравенство a ≤ x(n) ≤ b и решить его относительно n.
Шаг 3. Выбрать только целые значения n из найденного промежутка.
Шаг 4. Вычислить конкретные значения x для каждого допустимого n и убедиться, что они принадлежат исходному промежутку.

Пример: корни \(\cos x = \tfrac{1}{2}\) на промежутке \([0;\,3\pi]\)

Общий ответ: \(x = \pm\tfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\)

Серия 1: \(x = \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n\). Неравенство \(0 \leq \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n \leq 3\pi\) даёт \(-\tfrac{1}{6} \leq n \leq \tfrac{4}{3}\), то есть \(n = 0\) и \(n = 1\). Корни: \(\tfrac{\pi}{3}\) и \(\tfrac{7\pi}{3}\).

Серия 2: \(x = -\tfrac{\pi}{3} + 2\pi n\). Неравенство \(0 \leq -\tfrac{\pi}{3} + 2\pi n \leq 3\pi\) даёт \(\tfrac{1}{6} \leq n \leq \tfrac{5}{3}\), то есть \(n = 1\). Корень: \(\tfrac{5\pi}{3}\).

Ответ: \(\tfrac{\pi}{3},\;\tfrac{5\pi}{3},\;\tfrac{7\pi}{3}\).

Подбор \(n\) «на глаз» вместо решения неравенства стабильно приводит к пропуску корней у границ промежутка или включению лишних значений — это одна из самых частых потерь баллов.

---

Сложные неравенства: замена переменной и преобразования тригонометрии ЕГЭ профиль

Часть задач — уравнения и неравенства на ЕГЭ профиль — содержит квадраты функций или их произведения и не сводится сразу к простейшему виду. Для таких случаев есть несколько стандартных приёмов.

Замена переменной

Если в неравенстве присутствует только одна тригонометрическая функция, вводят замену и решают алгебраически.

Замена переменной (сведение к квадратному)
Шаг 1. Привести всё к одной функции с помощью тождества sin² x + cos² x = 1.
Шаг 2. Ввести замену t = sin x (или t = cos x) с ограничением t ∈ [-1; 1].
Шаг 3. Решить квадратное неравенство относительно t и отбросить значения вне [-1; 1].
Шаг 4. Для каждого допустимого t решить простейшее тригонометрическое неравенство и объединить серии.

Пример: \(\sin^2 x + \sin x - 2 > 0\)

Замена \(t = \sin x\), \(t \in [-1;\,1]\):

\[ t^2 + t - 2 > 0 \implies (t + 2)(t - 1) > 0 \implies t < -2 \text{ или } t > 1 \]

Ни одно из условий не достигается при \(t \in [-1;\,1]\), поэтому решений нет.

Понижение степени

При наличии \(\sin^2 x\) или \(\cos^2 x\) применяют формулы понижения, которые переводят неравенство к линейному по \(\cos 2x\) или \(\sin 2x\):

Понижение степени синуса

\[\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}\]

Понижение степени косинуса

\[\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}\]

Произведение

\[\sin x\cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x\]

Разложение на множители

Если неравенство приводится к виду \(A \cdot B > 0\), составляют таблицу знаков каждого множителя и ищут, при каких \(x\) произведение принимает нужный знак.

Однородные неравенства

Если все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень по \(\sin x\) и \(\cos x\), то после проверки, что \(\cos x = 0\) не является решением, делят на \(\cos^2 x\) и получают квадратное неравенство относительно \(\tg x\).

Однородное неравенство второй степени
Шаг 1. Проверить: является ли cos x = 0 решением исходного неравенства.
Шаг 2. Если нет — разделить обе части на cos² x, который строго положителен там, где он ненулевой.
Шаг 3. Получить квадратное неравенство относительно tg x.
Шаг 4. Решить его и записать ответ с периодом π через arctg.

Универсальная подстановка \(t = \tg\tfrac{x}{2}\) сводит уравнение к рациональному, но при замене теряется серия \(x = \pi + 2\pi n\) — её всегда проверяют отдельно:

Универсальная подстановка

\[t=\tg\dfrac{x}{2}:\quad \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\]

---

Типичные ошибки в тригонометрических неравенствах на ЕГЭ 2026

Список ошибок не меняется год от года. Тригонометрия на ЕГЭ профиль 2026 воспроизводит одни и те же шаблоны — ниже шесть наиболее характерных.

❌ ошибка\(\cos x=\tfrac{1}{2} \Rightarrow x=\arccos\tfrac{1}{2}+2\pi n\)

✅ верно\(x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi n\)

У косинуса две симметричные серии. Без знака «минус» теряется половина корней.

❌ ошибка\(\sin x=1{,}2 \Rightarrow x=\arcsin 1{,}2+\ldots\)

✅ верноРешений нет: \(|1{,}2|>1\)

Синус и косинус по модулю не превосходят единицы. Arcsin от числа больше 1 не определён.

❌ ошибкаОтвет для tg x=1 записывают без проверки ОДЗ

✅ верноУказать cos \(x\neq 0\) и исключить \(x=\tfrac{\pi}{2}+\pi n\) из ответа

Без ОДЗ в задании 13 появляются посторонние корни или неверный промежуток.

❌ ошибка\(\sqrt{\sin^2 x}=\sin x\)

✅ верно\(\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|\)

Квадратный корень из квадрата даёт модуль. Без этого теряются или появляются лишние корни в зависимости от четверти.

❌ ошибкаПри отборе значение n подбирают на глаз

✅ верноРешать двойное неравенство \(a\le x(n)\le b\) относительно n, брать только целые n

Прикидка даёт ошибки у границ промежутка — пропуск корней или включение лишних.

❌ ошибкаОднородное уравнение делят на cos x без проверки

✅ верноСначала убедиться, что cos x=0 не является решением, и только потом делить на \(cos^2 x\)

Деление на выражение, которое может быть нулём, уничтожает часть корней.

Коротко

Косинус даёт ±, синус — множитель \((-1)^k\), тангенс — только +πn.
Если |a| > 1, то sin x = a и cos x = a решений не имеют — проверять в самом начале.
Тангенс: ОДЗ cos x ≠ 0 обязательна до записи ответа.
√(sin² x) = |sin x|, а не sin x.
Отбор корней — через неравенство относительно n, не подбором на глаз.
Однородное: делят на cos² x только после проверки, что cos x = 0 не корень.

---

Частые вопросы

Как решать тригонометрические неравенства?

Четыре шага: привести к простейшему виду (\(\sin x > a\), \(\cos x < a\) или \(\tg x \geq a\)) → найти граничные точки, решив соответствующее уравнение → определить нужную дугу на единичной окружности → записать ответ промежутком с параметром \(n \in \mathbb{Z}\). Для строгого знака граничные точки не включаются, для нестрогого — включаются. Шаблон ответа зависит от вида функции: для синуса дуга горизонтальная, для косинуса — симметричная относительно оси \(x\), для тангенса — в пределах одной ветви с периодом \(\pi\).

Как решать тригонометрические уравнения неравенством?

Метод отбора корней: записать общий ответ уравнения с параметром \(n\), подставить в двойное неравенство с границами промежутка и решить относительно \(n\). Брать только целые \(n\), вычислить конкретные значения \(x\) и убедиться, что они принадлежат заданному отрезку. Подбор \(n\) «на глаз» регулярно даёт ошибки у границ — особенно когда корень стоит ровно на конце промежутка.

Как учитывать ОДЗ при решении тригонометрических неравенств на ЕГЭ?

ОДЗ нужна при наличии тангенса (\(\cos x \neq 0\)), котангенса (\(\sin x \neq 0\)) или выражений под корнем. Порядок: сначала выписать ОДЗ, затем решить неравенство, потом исключить запрещённые точки из найденной области. При нестрогом знаке неравенства граница может совпасть с запрещённой точкой — и её нужно открыть, даже если знак \(\leq\) предполагает включение.

Какие виды тригонометрических неравенств встречаются на ЕГЭ профиль 2026?

На профильном экзамене встречаются: простейшие неравенства с синусом, косинусом и тангенсом; неравенства, сводимые к квадратным через замену переменной; задачи с ОДЗ (тангенс, котангенс, дроби с тригонометрией); однородные неравенства второй степени; задачи на отбор корней уравнения на заданном промежутке. Большинство задач решается базовым алгоритмом; замена переменной и однородные неравенства нужны для задач повышенного уровня сложности.

По этой теме есть отдельный разбор: с помощью тригонометрической окружности.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы тригонометрии для ЕГЭ профиль.

По этой теме есть отдельный разбор: другие типы неравенств в ЕГЭ профиль.

PDF бесплатно