Теорема о средней линии трапеции: доказательство и формулировка

Разбираем, что называется средней линией трапеции, формулируем теорему и доказываем её двумя способами — геометрически и векторно. Материал охватывает программу ОГЭ и ЕГЭ и включает обратную теорему.

Что такое средняя линия трапеции

Определение. Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\) обозначим: \(M\) — середина \(AD\), \(N\) — середина \(BC\). Отрезок \(MN\) и есть средняя линия.

Принятые обозначения:

• - \(a = AB\) — нижнее (большее) основание,
• - \(b = CD\) — верхнее (меньшее) основание,
• - \(m = MN\) — средняя линия,
• - \(h\) — высота трапеции (расстояние между основаниями).

` D ·——b——· C | | M ···m··· N | | A ·——a——· B `

Средняя линия трапеции — не то же самое, что медиана треугольника или высота: это отдельный объект со своими свойствами.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства и признаки трапеции.

Формулировка теоремы о средней линии трапеции

Теорема о средней линии трапеции — одна из базовых в планиметрии и регулярно появляется в задачах ОГЭ и ЕГЭ.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Дано: трапеция \(ABCD\), \(AB \parallel CD\), \(AB = a\), \(CD = b\); \(M\) — середина \(AD\), \(N\) — середина \(BC\).

Доказать: \(MN \parallel AB\), \(MN \parallel CD\) и \(MN = \dfrac{a+b}{2}\).

Теорема утверждает сразу два факта: геометрический (параллельность основаниям) и метрический (формула длины). Оба следуют из единого доказательства.

Доказательство теоремы о средней линии трапеции (геометрическое)

Геометрическое доказательство теоремы о средней линии трапеции с доказательством строится через проведение диагонали и двукратное применение свойств подобных треугольников.

Построение. Проведём диагональ \(BD\). Обозначим \(P\) — середина \(BD\).

Теорема доказана. Вся цепочка держится на двух применениях свойств подобия треугольников к разным треугольникам одной диагонали.

Векторное доказательство теоремы о средней линии трапеции

Векторное доказательство теоремы о средней линии трапеции элегантно: и параллельность, и длина получаются из единого алгебраического выражения без вспомогательных построений.

Обозначим радиус-векторы вершин \(A, B, C, D\) как \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}\).

Радиус-векторы середин боковых сторон: \[ \vec{OM} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}, \qquad \vec{ON} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} \]

Вектор средней линии: \[ \overrightarrow{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - \vec{a} - \vec{d}}{2} \]

Из условия \(AB \parallel DC\) следует, что \(\overrightarrow{DC} = k\,\overrightarrow{AB}\) при некотором \(k > 0\), то есть: \[ \vec{c} - \vec{d} = k(\vec{b} - \vec{a}) \implies \vec{c} = \vec{d} + k(\vec{b} - \vec{a}) \]

Подставим в выражение для \(\overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{MN} = \frac{\vec{b} + \vec{d} + k(\vec{b}-\vec{a}) - \vec{a} - \vec{d}}{2} = \frac{(1+k)(\vec{b} - \vec{a})}{2} = \frac{1+k}{2}\,\overrightarrow{AB} \]

Из этого равенства следуют оба утверждения:

1. 1. \(\overrightarrow{MN}\) кратен \(\overrightarrow{AB}\), значит \(MN \parallel AB \parallel DC\).

1. 2. Из \(|DC| = k \cdot |AB|\) получаем \(k = b/a\), и тогда:

\[ |MN| = \frac{1+k}{2}\cdot a = \frac{1 + b/a}{2}\cdot a = \frac{a+b}{2} \]

По этой теме есть отдельный разбор: теория векторов для ЕГЭ профиль.

Обратная теорема о средней линии трапеции

Обратная теорема о средней линии трапеции отвечает на вопрос: если отрезок параллелен основаниям и соединяет точки на боковых сторонах, всегда ли он является средней линией?

Теорема (обратная). Если отрезок \(M'N'\) соединяет точку \(M'\) на стороне \(AD\) и точку \(N'\) на стороне \(BC\), и при этом \(M'N' \parallel AB\), то \(M'\) является серединой \(AD\), а \(N'\) — серединой \(BC\).

Доказательство от противного. Предположим, что \(M'\) — не середина \(AD\). По прямой теореме, через истинную середину \(M\) отрезка \(AD\) проходит единственная прямая, параллельная \(AB\) и пересекающая \(BC\) — это средняя линия \(MN\). По условию прямая \(M'N'\) тоже параллельна \(AB\). Две прямые, параллельные одной прямой и проходящие через различные точки \(M\) и \(M'\) на прямой \(AD\), пересекались бы, что противоречит параллельности. Значит, \(M' = M\). Аналогично \(N' = N\).

По этой теме есть отдельный разбор: признаки подобия треугольников.

Свойства средней линии трапеции и применение в задачах

Задача 1. Основания трапеции равны 7 и 13. Найдите среднюю линию.

Решение: \[ m = \frac{7 + 13}{2} = 10 \]

Задача 2. Площадь трапеции равна 60, высота — 5. Найдите среднюю линию и сумму оснований.

Решение: \[ m = \frac{S}{h} = \frac{60}{5} = 12, \qquad a + b = 2m = 24 \]

Задача 3. Средняя линия трапеции равна 9, меньшее основание — 5. Найдите большее основание.

Решение: \[ a = 2m - b = 2 \cdot 9 - 5 = 13 \]

Типичные ошибки при применении теоремы

Частые вопросы

Чем средняя линия трапеции отличается от средней линии треугольника?

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон и равна половине третьей стороны. Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и равна полусумме двух оснований. Формулы внешне похожи, но работают для разных фигур с разной логикой.

Можно ли найти среднюю линию, зная только площадь трапеции?

Нет. Из формулы \(S = m \cdot h\) средняя линия определяется лишь при известной высоте: \(m = S/h\). Одной только площади для этого недостаточно.

Верно ли, что средняя линия делит трапецию на две равновеликие части?

Не всегда. Средняя линия делит трапецию на две меньшие трапеции с одинаковой высотой \(h/2\), но с разными суммами оснований. Их площади совпадут лишь при специальном соотношении \(a\) и \(b\).

По этой теме есть отдельный разбор: средняя линия треугольника.