Логарифмы

Логарифмы 10 класс: объяснение с нуля, формулы и примеры

Логарифмы 10 класс — объяснение с нуля для новичков и подготовки к ЕГЭ. Все формулы и свойства в таблице, самостоятельные работы и разобранные примеры.

13 мин чтения
#Логарифмы#логарифмы 10 класс объяснение#как решать логарифмы 10 класс#тема логарифмы 10 класс подробное объяснение#логарифмы 10 класс объяснение для чайников

Все три исправления применены. Вот полный исправленный файл:

---

`markdown --- title: Логарифмы 10 класс: объяснение с нуля, формулы и примеры description: Логарифмы 10 класс — объяснение с нуля для новичков и подготовки к ЕГЭ. Все формулы и свойства в таблице, самостоятельные работы и разобранные примеры. slug: logarifmy-10-klass-obyasnenie keywords: [логарифмы 10 класс объяснение, как решать логарифмы 10 класс, тема логарифмы 10 класс подробное объяснение, логарифмы 10 класс объяснение для чайников, логарифмы 10 класс самостоятельная работа, логарифмы 10 класс видеоурок, формулы логарифмы 11 класс, логарифмы 10 класс объяснение примеры] author: Алмаз date: 2026-08-07 cluster: logarifmy ---

Логарифмы — тема, которую многие считают сложной: непривычная запись, много формул, правило со знаком неравенства, которое легко перепутать. На самом деле всё строится на одной идее — обратной операции к возведению в степень. Статья даёт полное объяснение логарифмов для 10–11 класса с нуля: от определения до полной таблицы свойств и разбора задач каждого типа ЕГЭ. В конце — практика трёх уровней с ответами. Подходит и тем, кто только начинает, и тем, кто систематизирует знания перед экзаменом.

Что такое логарифм: объяснение для чайников (10 класс)

Логарифм отвечает на один вопрос: в какую степень нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\)?

\[\log_a b = c \iff a^c = b,\quad a>0,\ a\neq 1,\ b>0\]

Например, \(\log_2 8 = 3\) — потому что \(2^3 = 8\). Или \(\log_5 25 = 2\) — потому что \(5^2 = 25\). Логарифм — это показатель степени, не более.

Два особых случая. Логарифм по основанию 10 называют десятичным и записывают коротко: \(\lg b = \log_{10} b\). Логарифм по основанию \(e \approx 2{,}718\) — натуральным: \(\ln b = \log_e b\). Оба встречаются в заданиях ЕГЭ.

Область допустимых значений. Выражение \(\log_{a(x)} f(x)\) существует только при одновременном выполнении трёх условий:

\[f(x)>0,\quad a(x)>0,\quad a(x)\neq 1\]

Подлогарифмическое выражение обязательно строго положительно — ноль и отрицательные числа логарифмировать нельзя. Именно поэтому проверка ОДЗ — первое действие в любой задаче.

Опорные значения — запоминаются сразу и экономят время на экзамене:

Коротко

  • \(\log_a 1 = 0\) — логарифм единицы всегда ноль при любом допустимом основании
  • \(\log_a a = 1\) — логарифм числа, равного основанию, равен единице
  • \(\log_a a^k = k\) — логарифм степени основания равен показателю
  • \(\log_2 8 = 3\), \(\log_3 27 = 3\), \(\log_5 25 = 2\), \(\log_2 \tfrac{1}{4} = -2\)

Основное логарифмическое тождество — прямое следствие определения:

\[a^{\log_a b} = b,\quad a>0,\ a\neq 1,\ b>0\]

Если в степень основания подставить логарифм по тому же основанию, получим само число. Это тождество используется в каждом втором задании на вычисление.

Тема логарифмов в 10 классе строится последовательно: сначала определение → опорные значения → свойства → уравнения → неравенства. Перескакивать этапы не стоит: каждый следующий уровень использует предыдущий.

По этой теме есть отдельный разбор: что такое логарифм простыми словами.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Логарифмическая функция: свойства и график

Функция \(y = \log_a x\) определена для \(x > 0\) и принимает все действительные значения. Форма графика полностью определяется основанием.

При \(a > 1\): функция возрастает. График начинается около нуля внизу, пересекает ось \(Ox\) в точке \((1;\, 0)\) и поднимается вправо без ограничения. Примеры: \(\log_2 x\), \(\lg x\), \(\ln x\).

При \(0 < a < 1\): функция убывает. График проходит через ту же точку \((1;\, 0)\), но опускается вправо. Пример: \(\log_{0{,}5} x\).

Общие свойства обоих видов:

Монотонность — главное свойство для решения неравенств. При \(a > 1\) знак неравенства между аргументами сохраняется; при \(0 < a < 1\) — меняется на противоположный. Это различие лежит в основе большинства ошибок при решении логарифмических неравенств на ЕГЭ.

Объяснение с примерами поможет закрепить: большему логарифму при убывающей функции соответствует меньший аргумент — именно потому, что функция «перевернулась».

Формулы логарифмов 10–11 класс: полная таблица-шпаргалка

Все свойства, которые нужны для заданий 6, 9, 13 и 15, — в одной таблице. К каждой формуле добавлен мини-пример.

Логарифм произведения
\[\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y — пример: \log_2(4\cdot8)=\log_2 4+\log_2 8=2+3=5\]
Логарифм частного
\[\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y — пример: \log_3\dfrac{27}{9}=3-2=1\]
Логарифм степени
\[\log_a x^p = p\,\log_a x,\quad x>0 — пример: \log_2 32=\log_2 2^5=5\]
Переход к новому основанию
\[\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} — приводит разные основания к одному\]
Степень в основании
\[\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k}\log_a b — пример: \log_8 2=\log_{2^3}2=\dfrac{1}{3}\]
Степень в основании и аргументе
\[\log_{a^k} b^m = \dfrac{m}{k}\log_a b — пример: \log_4 25=\log_{2^2}5^2=\log_2 5\]
Взаимно обратные логарифмы
\[\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a} — пример: \log_2 3=\dfrac{1}{\log_3 2}\]
Основное тождество
\[a^{\log_a b} = b — степень и логарифм по одному основанию «уничтожают» друг друга\]
Тождество в обратном порядке
\[b^{\log_a c} = c^{\log_a b} — удобно при громоздких выражениях со степенями\]
Опорные значения
\[\log_a 1=0,\quad\log_a a=1,\quad\log_a a^k=k\]
Цепное свойство
\[\log_a c\cdot\log_c b=\log_a b — пример: \log_7 9\cdot\log_3 7=\log_3 9=2\]
Перестановка в произведении
\[\log_a b\cdot\log_c d=\log_a d\cdot\log_c b — меняем местами подлогарифмические выражения\]
Одинаковая степень в основании и аргументе
\[\log_{a^n}b^n=\log_a b — общий показатель сокращается\]
Модуль при чётной степени
\[\log_a x^2=2\log_a|x| — при x<0 левая часть определена, а \log_a x — нет\]

Свойства произведения и частного работают только для строго положительных аргументов. Логарифм суммы \(\log_a(x+y)\) на слагаемые не раскладывается — это самая частая ошибка в формулах, которая стоит баллов на ЕГЭ.

Как решать логарифмы 10 класс: разбор задач шаг за шагом

Пять типовых задач с полным разбором каждого шага — от вычисления до неравенства.

Задача 1. Вычисление: свойство частного

Вычислить \(\log_2 6 - \log_2 3\).

  1. Вычисление: логарифм частного
  2. Шаг 1: Применяем свойство разности: \(\log_2 6 - \log_2 3 = \log_2\dfrac{6}{3}\)
  3. Шаг 2: Упрощаем аргумент: \(\log_2 2\)
  4. Шаг 3: Опорное значение: \(\log_2 2 = 1\)
  5. Ответ: 1

Задача 2. Вычисление: приведение к одному основанию

Вычислить \(\log_4 8\).

  1. Вычисление: приведение к степеням двойки
  2. Шаг 1: Записываем как степени: \(4=2^2\), \(8=2^3\)
  3. Шаг 2: Применяем формулу \(\log_{a^k}b^m=\dfrac{m}{k}\log_a b\): \(\log_{2^2}2^3=\dfrac{3}{2}\)
  4. Ответ: \(\dfrac{3}{2}\)

Задача 3. Простейшее логарифмическое уравнение

Решить \(\log_3(2x-1) = 2\).

  1. Простейшее логарифмическое уравнение
  2. Шаг 1: Выписываем ОДЗ: \(2x-1>0 \Rightarrow x>\dfrac{1}{2}\)
  3. Шаг 2: По определению переходим к степени: \(2x-1 = 3^2 = 9\)
  4. Шаг 3: Решаем линейное уравнение: \(2x=10 \Rightarrow x=5\)
  5. Шаг 4: Проверяем ОДЗ: \(5>\tfrac{1}{2}\) — условие выполнено
  6. Ответ: \(x=5\)

Задача 4. Уравнение с заменой переменной

Решить \((\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0\).

  1. Метод замены переменной
  2. Шаг 1: ОДЗ: \(x>0\)
  3. Шаг 2: Вводим замену \(t=\log_2 x\); уравнение принимает вид \(t^2-3t+2=0\)
  4. Шаг 3: Решаем квадратное уравнение: \((t-1)(t-2)=0 \Rightarrow t=1\) или \(t=2\)
  5. Шаг 4: Возвращаемся к \(x\): при \(t=1\) — \(x=2^1=2\); при \(t=2\) — \(x=2^2=4\)
  6. Шаг 5: Оба значения удовлетворяют \(x>0\)
  7. Ответ: \(x=2,\quad x=4\)

Задача 5. Неравенство с основанием меньше единицы

Решить \(\log_{0{,}5}(x-1) > -2\).

  1. Логарифмическое неравенство: основание из (0; 1)
  2. Шаг 1: ОДЗ: \(x-1>0 \Rightarrow x>1\)
  3. Шаг 2: Число \(-2\) превращаем в логарифм того же основания: \(-2=\log_{0{,}5}(0{,}5)^{-2}=\log_{0{,}5}4\)
  4. Шаг 3: Неравенство: \(\log_{0{,}5}(x-1)>\log_{0{,}5}4\); основание \(<1\) — функция убывает, знак между аргументами меняется: \(x-1<4\)
  5. Шаг 4: Решаем: \(x<5\)
  6. Шаг 5: Пересекаем с ОДЗ: \(x>1\) и \(x<5\)
  7. Ответ: \(x\in(1;\,5)\)

Для тех, кто лучше воспринимает материал в формате видеоурока по логарифмам 10 класса, — разбор задач на экране помогает отследить, как один шаг вытекает из другого в реальном темпе. Особенно это заметно при замене переменной и составных неравенствах, где цепочка рассуждений длиннее.

Типичные ошибки при решении логарифмов — и как их избежать

❌ ошибкаРешают \(\log_a f(x)=c\), сразу пишут \(f(x)=a^c\) и не проверяют ОДЗ
✅ верноСначала выписать \(f(x)>0\), затем перейти к \(f(x)=a^c\) и отобрать корни
Логарифм существует только при положительном аргументе; без проверки можно включить в ответ «посторонний» корень
❌ ошибкаИз \(\log_{0{,}5}f>\log_{0{,}5}g\) делают вывод \(f>g\)
✅ верноПри \(0<a<1\) знак между аргументами меняется: из \(\log_{0{,}5}f>\log_{0{,}5}g\) следует \(0<f<g\)
Функция при основании из \((0;1)\) убывает; большему значению функции соответствует меньший аргумент
❌ ошибкаПишут \(\log_a x^2=2\log_a x\) без оговорок
✅ верноВерно: \(\log_a x^2=2\log_a|x|\)
При \(x<0\) выражение \(x^2\) положительно и логарифм определён, а \(\log_a x\) — нет; без модуля теряется часть ОДЗ
❌ ошибкаРаскрывают \(\log_a(x+y)\) как \(\log_a x+\log_a y\)
✅ верноСвойство работает только для произведения: \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\). Логарифм суммы не раскладывается
Свойства логарифма связывают его с произведением и частным, но не с суммой аргументов
❌ ошибкаВ уравнении \(\log_x(2x-1)=1\) забывают условие на основание
✅ верноНужно потребовать \(x>0\), \(x\neq1\), \(2x-1>0\) — все три условия одновременно, затем решать
Когда основание содержит переменную, к обычному ОДЗ обязательно добавляются \(a>0\) и \(a\neq1\)
❌ ошибкаПосле замены \(t=\log_a x\) находят \(t\) и записывают его как ответ
✅ верноОбязательно возвращаются к \(x=a^t\) и проверяют ОДЗ
Искомая величина — переменная \(x\), а не вспомогательная \(t\); замена лишь промежуточный инструмент

Логарифмы и ОГЭ: есть ли они в программе 9 класса?

В ОГЭ логарифмов нет. Это тема курса алгебры и начал анализа 10–11 класса; в программу ОГЭ она не входит ни в каком виде.

В базовом ЕГЭ логарифмы тоже практически не встречаются в явном виде. Профильный ЕГЭ — другое дело: логарифмические задачи присутствуют в заданиях 6, 9, 13 и 15.

Девятиклассникам, которые планируют профильный экзамен и хотят начать заранее:

  1. 1. Убедиться, что степени и корни не вызывают затруднений — без них логарифмы не идут.
  2. 2. Разобрать определение и опорные значения: \(\log_a a=1\), \(\log_a 1=0\), \(\log_a a^k=k\).
  3. 3. Выучить три базовых свойства: логарифм произведения, частного, степени.
  4. 4. Перейти к уравнениям и неравенствам уже в 10 классе — в рамках стандартного курса.

Спешить не нужно: хорошее понимание определения плюс базовая таблица дают фундамент, с которым в 10-м классе стартуешь увереннее.

Тренажёр по логарифмам: самостоятельные работы с ответами

Три уровня сложности: от вычислений по определению до задач с заменой переменной и неравенствами. Удобно использовать как самостоятельную работу по логарифмам в 10 классе или для онлайн-самопроверки.

Уровень 1. Базовый — вычисления по определению

Вычислить:

  1. 1. \(\log_3 81\)
  2. 2. \(\log_5 1\)
  3. 3. \(\log_2 64\)
  4. 4. \(\lg 0{,}001\)
  5. 5. \(\log_4 2\)

Ответы: \(4\);\quad \(0\);\quad \(6\);\quad \(-3\);\quad \(\tfrac{1}{2}\)

---

Уровень 2. ЕГЭ-профиль — вычисления и простейшие уравнения

Вычислить / решить:

  1. 1. \(\log_6 4 + \log_6 9\)
  2. 2. \(\log_2 96 - \log_2 3\)
  3. 3. \(3^{\log_3 7}\)
  4. 4. \(\log_{27} 3\)
  5. 5. \(\log_4 8 + \log_8 4\)
  6. 6. Решить: \(\log_2(x+3)=4\)
  7. 7. Решить: \(\log_5(x^2-4)=\log_5 5\)

Ответы: \(2\);\quad \(5\);\quad \(7\);\quad \(\tfrac{1}{3}\);\quad \(\tfrac{13}{6}\);\quad \(x=13\);\quad \(x=\pm3\)

Пояснение к задаче 7: из \(x^2-4=5\) получаем \(x=\pm3\); ОДЗ требует \(x^2-4>0\), то есть \(|x|>2\) — оба значения подходят.

---

Уровень 3. Продвинутый — замена переменной и неравенства

  1. 1. Решить: \((\log_3 x)^2 - \log_3 x - 2 = 0\)
  2. 2. Решить: \(\log_2 x + \log_x 2 = 2\)
  3. 3. Решить неравенство: \(\log_3(x-2) > 1\)
  4. 4. Решить неравенство: \(\log_{0{,}2}(x+1) \leq \log_{0{,}2}(2x-1)\)
  5. 5. Решить: \(\log_4(x^2-1) = 1\)

Ответы:

  1. 1. \(x=9\) или \(x=\dfrac{1}{3}\)
  2. 2. \(x=2\)
  3. 3. \(x\in(5;\,+\infty)\)
  4. 4. \(x\in\bigl(\dfrac{1}{2};\,2\bigr]\)
  5. 5. \(x=\pm\sqrt{5}\)

---

Частые вопросы

Как решать логарифмы в 10 классе — с чего начать?

Начать стоит с определения: логарифм — это показатель степени. Разобравшись с опорными значениями (\(\log_a 1=0\), \(\log_a a=1\), \(\log_a a^k=k\)), можно переходить к свойствам — произведение, частное, степень. После этого открываются вычисления, затем уравнения и неравенства. Пропускать шаги не стоит: каждый следующий уровень опирается на предыдущий.

Какие формулы логарифмов обязательно знать для ЕГЭ?

Семь обязательных: логарифм произведения, частного, степени, переход к новому основанию, степень в основании, взаимно обратные логарифмы и основное тождество \(a^{\log_a b}=b\). Цепное свойство и перестановка в произведении встречаются реже, но в сложных задачах задания 9 дают заметное преимущество.

Есть ли логарифмы в ОГЭ?

Нет. Логарифмы — тема 10–11 класса; в программу ОГЭ они не входят ни в базовую, ни в профильную часть.

Почему нужно проверять ОДЗ в логарифмических уравнениях?

Логарифм определён только при положительном аргументе. При переходе от логарифмического уравнения к алгебраическому могут появиться корни, при которых исходное выражение не существует. Без проверки ОДЗ такие «посторонние» корни попадают в ответ, и задание засчитывается как неверное.

Как объяснить логарифм простыми словами?

Логарифм — ответ на вопрос: «в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить данное число». Если \(2^3=8\), то \(\log_2 8=3\). Это просто другая запись показателя степени, не более.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства и график логарифмической функции.

По этой теме есть отдельный разбор: логарифмические неравенства с переменным основанием.

По этой теме есть отдельный разбор: логарифмы на ЕГЭ 2026: уравнения и неравенства. `

---

Что исправлено:

  1. 1. :::formulas — удалены все \( и \) из каждой строки блока (14 строк), TeX теперь голый.
  2. 2. "логарифмы 10 класс видеоурок" — добавлено «10 класса» в абзац про видеоурок: «в формате видеоурока по логарифмам 10 класса».
  3. 3. keywords — добавлен ключ логарифмы 10 класс видеоурок в список.
  4. 4. "логарифмы 10 класс самостоятельная работа" — уже присутствовал в тексте («как самостоятельную работу по логарифмам в 10 классе») и в keywords; дополнительных изменений не потребовалось.
PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Таблица Брадиса: логарифмы и тригонометрия — как читать2026-08-07Что такое логарифм простыми словами: свойства, формулы и примеры2026-07-16Логарифмическая функция ее свойства и график: определения и примеры2026-07-23Логарифмические задачи ЕГЭ: как не запутаться в сложных примерах2026-07-07