Прямоугольный треугольник: свойства и признаки 7–9 класс

Файл не найден на диске — статья передана прямо в сообщении. Исправляю все три :::formulas блока: убираю \( \) вокруг TeX-формул.

--- title: Прямоугольный треугольник: свойства и признаки 7–9 класс description: Прямоугольный треугольник: свойства и признаки равенства, свойства высоты и медианы, все формулы. Теория для 7–9 класса, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. slug: pryamougolnyj-treugolnik-svojstva-i-priznaki keywords: [прямоугольный треугольник свойства и признаки, прямоугольный треугольник свойства 7 класс, прямоугольный треугольник свойства и формулы, прямоугольный треугольник свойства и признаки равенства, свойства и признаки прямоугольного треугольника, свойство и признак медианы прямоугольного треугольника, прямоугольный треугольник свойства высоты] author: Алмаз date: 2026-07-28 cluster: \(planimetriya_treug ---\)

Прямоугольный треугольник — фигура, с которой начинается вся практическая геометрия: теорема Пифагора, тригонометрия, подобие. Он встречается в 7 классе и не уходит из заданий вплоть до ЕГЭ. В статье разобраны определение с терминами, свойства и признаки прямоугольного треугольника, свойства высоты и медианы, четыре признака равенства, все ключевые формулы и задачи уровня ОГЭ/ЕГЭ.

---

Определение прямоугольного треугольника — 7 класс

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов равен \(90°\).

Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (обычно \(c\)). Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (\(a\) и \(b\)).

` C \(|\\) a | \(\\) c (гипотенуза) | \(\\) \(|_____\\) B b A ∟ `

Прямой угол в треугольнике может быть только один. Сумма внутренних углов любого треугольника:

\[ \alpha + \beta + \gamma = 180° \]

Если \(\angle C = 90°\), то на два оставшихся угла приходится ровно \(90°\) — оба они острые. При двух прямых углах сумма уже составила бы \(180°\), и на третий вершину не осталось бы.

Свойства и признаки прямоугольного треугольника в 7 классе изучают сразу после общих свойств треугольников: это первая «специализация», открывающая путь к тригонометрии и подобию.

---

Основные свойства прямоугольного треугольника

Ниже перечислены и доказаны пять главных свойств — именно их имеют в виду, когда говорят о свойствах и признаках прямоугольного треугольника.

Свойство 1. Сумма острых углов равна \(90°\).

Из условия \(\angle C = 90°\) и суммы углов треугольника немедленно следует \(\alpha + \beta = 90°\). Острые углы называют взаимно дополнительными: знание одного полностью определяет другой.

Свойство 2. Теорема Пифагора.

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Геометрическое доказательство: квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на катетах. Это следствие подобия трёх треугольников, возникающих при проведении высоты из вершины прямого угла.

Свойство 3. Гипотенуза — наибольшая сторона.

Прямой угол больше любого острого, а против большего угла лежит большая сторона, поэтому \(c > a\) и \(c > b\).

Свойство 4. Тригонометрические соотношения катетов.

Для острого угла \(\alpha\) (противолежащий катет \(a\), прилежащий \(b\), гипотенуза \(c\)):

Свойство 5. Особые окружности.

Центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, \(R = \dfrac{c}{2}\). Центр вписанной окружности находится внутри треугольника, \(r = \dfrac{a+b-c}{2}\). Оба факта подробно разобраны в разделе о формулах.

---

Свойства и признаки углов прямоугольного треугольника

Острые углы \(\alpha\) и \(\beta\) прямоугольного треугольника дополняют друг друга до \(90°\):

\[ \beta = 90° - \alpha \]

Отсюда вытекают соотношения, которые упрощают вычисления:

\[ \sin\alpha = \cos\beta, \quad \cos\alpha = \sin\beta, \quad \operatorname{tg}\alpha = \operatorname{ctg}\beta \]

Нахождение стороны по углу. Если известен острый угол \(\alpha\) и гипотенуза \(c\):

\[ a = c\sin\alpha, \quad b = c\cos\alpha \]

Если известен катет \(a\) и угол \(\alpha\):

\[ b = \frac{a}{\operatorname{tg}\alpha}, \quad c = \frac{a}{\sin\alpha} \]

Биссектриса прямого угла. Биссектриса угла \(C = 90°\) делит его пополам, образуя два угла по \(45°\). По формуле длины биссектрисы через угол:

\[ l_c = \frac{2ab\cos 45°}{a + b} = \frac{ab\sqrt{2}}{a + b} \]

Свойства и признаки углов прямоугольного треугольника включают и тот факт, что оба острых угла полностью определяют форму треугольника (с точностью до подобия): достаточно знать один из них.

Типичная ошибка — путать прилежащий и противолежащий катет при записи синуса.

---

Свойства высоты прямоугольного треугольника к гипотенузе

Высота \(h\) из вершины прямого угла \(C\) на гипотенузу \(AB\) делит треугольник на два меньших. Каждый подобен исходному:

\[ \triangle ACH \sim \triangle CBH \sim \triangle ABC \]

Это утверждение — «высота из вершины прямого угла» — лежит в основе всех метрических соотношений.

Здесь \(c_a\) — проекция катета \(a\) на гипотенузу, \(c_b\) — проекция катета \(b\); при этом \(c_a + c_b = c\).

Свойства высоты прямоугольного треугольника к гипотенузе часто используют в задачах ЕГЭ: дана гипотенуза и одна проекция — катет находится за один шаг из \(a^2 = c \cdot c_a\).

Пример. Гипотенуза \(c = 10\), проекция катета \(a\) на гипотенузу \(c_a = 4\).

\[ a = \sqrt{10 \cdot 4} = 2\sqrt{10}, \quad c_b = 6, \quad h = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \]

---

По этой теме есть отдельный разбор: свойства высоты треугольника.

Свойство и признак медианы прямоугольного треугольника

Свойство. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

\[ m_c = \frac{c}{2} \]

Доказательство. Гипотенуза является диаметром описанной окружности (вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90°\)). Значит, центр описанной окружности совпадает с серединой \(M\) гипотенузы, а расстояние от \(M\) до каждой вершины равно \(R = \dfrac{c}{2}\). Медиана \(CM\) — это и есть это расстояние.

Обратный признак. Если медиана треугольника к некоторой стороне равна половине этой стороны, треугольник прямоугольный, а данная сторона — гипотенуза.

Свойство и признак медианы прямоугольного треугольника дают быстрый способ проверить прямоугольность: найти середину предполагаемой гипотенузы и сравнить три расстояния от неё до вершин.

Вывод из общей формулы. Для медианы к стороне \(a\):

\[ m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]

Применим к медиане на гипотенузу. Обозначим гипотенузу \(c\), катеты \(a\) и \(b\):

\[ m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]

Поскольку \(a^2 + b^2 = c^2\):

\[ m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2c^2 - c^2} = \frac{c}{2} \]

---

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Прямые углы в обоих треугольниках уже совпадают по условию, поэтому для равенства достаточно проверить меньше элементов, чем в общем случае. Ниже — все четыре признака равенства прямоугольных треугольников.

Признак 1. По двум катетам. Если \(a_1 = a_2\) и \(b_1 = b_2\), треугольники равны. Гипотенузы совпадут по теореме Пифагора автоматически.

Признак 2. По катету и острому углу. Если катет и один острый угол одного треугольника равны соответствующим элементам другого, треугольники равны. Так как прямые углы совпадают, а сумма острых равна \(90°\), второй острый угол тоже определён — работает признак «угол — сторона — угол».

Признак 3. По гипотенузе и катету. Если гипотенуза и один катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого, треугольники равны. Из \(c^2 = a^2 + b^2\) второй катет определяется однозначно.

Признак 4. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и один острый угол одного треугольника равны соответствующим элементам другого, треугольники равны. Второй острый угол — дополнение до \(90°\), дальше — признак «угол — сторона — угол».

---

По этой теме есть отдельный разбор: равнобедренный треугольник.

Формулы прямоугольного треугольника: площадь, теоремы, окружности

Сводная таблица — свойства и формулы прямоугольного треугольника в одном месте.

Почему \(R = c/2\) верно только для прямоугольного треугольника.

Гипотенуза является диаметром описанной окружности: по теореме о вписанном угле угол, опирающийся на диаметр, равен \(90°\). Именно поэтому \(R = c/2\). Для косоугольного треугольника формула другая:

\[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{a}{2\sin\alpha} \]

Вывод формулы вписанной окружности. Из \(r = S/p\), где \(S = ab/2\) и \(p = (a+b+c)/2\):

\[ r = \frac{ab/2}{(a+b+c)/2} = \frac{ab}{a+b+c} \]

Умножим числитель и знаменатель на \((a+b-c)\):

\[ r = \frac{ab(a+b-c)}{(a+b)^2 - c^2} = \frac{ab(a+b-c)}{a^2+2ab+b^2-c^2} \]

Так как \(a^2+b^2 = c^2\), знаменатель равен \(2ab\), и получаем:

\[ r = \frac{a+b-c}{2} \]

---

По этой теме есть отдельный разбор: теорему Пифагора.

Подобие прямоугольных треугольников: признаки и свойства

Два прямоугольных треугольника подобны, если совпадает хотя бы один острый угол: второй острый угол тогда тоже совпадёт как дополнение до \(90°\).

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

1. 1. По острому углу. Один острый угол одного треугольника равен острому углу другого.
2. 2. По катетам. Катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого: \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}\).
3. 3. По гипотенузе и катету. \(\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{a_1}{a_2}\).

Подобие прямоугольных треугольников — их признаки и свойства — особенно наглядны в классическом разбиении высотой.

Разбиение высотой на два подобных треугольника.

Высота \(CH\) из вершины прямого угла даёт:

\[ \triangle ACH \sim \triangle ABC, \quad \triangle CBH \sim \triangle ABC \]

В первой паре общий угол \(\angle A\), оба прямоугольные — значит, подобие по двум углам. Из пропорции сторон:

\[ \frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB} \quad \Rightarrow \quad AC^2 = AH \cdot AB \quad \Rightarrow \quad a^2 = c_a \cdot c \]

Аналогично для второй пары: \(b^2 = c_b \cdot c\).

Коэффициент подобия \(k\) определяет соотношение площадей: \(\dfrac{S_1}{S_2} = k^2\).

---

Задачи на свойства и признаки прямоугольного треугольника

Задача 1. Найти катет по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(13\), один катет \(5\). Найти второй катет.

Решение:

\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]

Ответ: \(12\).

---

Задача 2. Площадь через угол.

Гипотенуза \(c = 10\), острый угол \(\alpha = 30°\). Найти площадь треугольника.

Решение: Катеты через тригонометрические соотношения прямоугольного треугольника:

\[ a = c\sin 30° = 5, \quad b = c\cos 30° = 5\sqrt{3} \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5\sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3}}{2} \]

Ответ: \(\dfrac{25\sqrt{3}}{2}\).

---

Задача 3. Высота к гипотенузе, метод площадей.

Катеты прямоугольного треугольника равны \(6\) и \(8\). Найти высоту, опущенную на гипотенузу.

Решение. Гипотенуза: \(c = \sqrt{36 + 64} = 10\). Площадь двумя способами:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \quad \text{и} \quad S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \]

\[ h = \frac{2S}{c} = \frac{48}{10} = 4{,}8 \]

Ответ: \(4{,}8\).

---

Задача 4. Медиана и достраивание до прямоугольника.

Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе равна \(6{,}5\). Найти гипотенузу.

Решение. По свойству медианы: \(m_c = \dfrac{c}{2}\), значит:

\[ c = 2 \cdot 6{,}5 = 13 \]

Ответ: \(13\).

---

Частые вопросы

Может ли прямоугольный треугольник быть тупоугольным?

Нет. Если один угол равен \(90°\), два оставшихся в сумме дают \(90°\) — оба строго меньше \(90°\), то есть острые. Тупой угол и прямой угол в одном треугольнике невозможны: сумма трёх углов превысила бы \(180°\).

Может ли прямоугольный треугольник быть равнобедренным?

Да — это единственный случай совместимости. Тогда оба катета равны, а острые углы по \(45°\). Такой треугольник называют равнобедренным прямоугольным.

Как быстро найти радиус вписанной окружности, не вычисляя площадь?

Использовать формулу \(r = \dfrac{a + b - c}{2}\), где \(a, b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза. Она короче общей формулы \(r = S/p\) и выводится из неё подстановкой \(c^2 = a^2 + b^2\).

Почему медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы?

Гипотенуза — диаметр описанной окружности. Её середина является центром этой окружности, и расстояние от центра до каждой вершины равно радиусу \(R = c/2\). Медиана из вершины прямого угла до середины гипотенузы совпадает с радиусом описанной окружности.

Какой из признаков равенства прямоугольных треугольников встречается в задачах чаще всего?

По гипотенузе и катету — он чаще всего применяется при работе с диагоналями прямоугольников и ромбов, которые разбиваются на пары прямоугольных треугольников.

По этой теме есть отдельный разбор: медиана треугольника.

---

Исправлено: в трёх блоках :::formulas убраны делimitеры \( \) вокруг формул — теперь TeX идёт напрямую без обёртки. Всё остальное (структура, frontmatter, :::keyfacts, :::compare, :::steps, формулы вне блоков) не тронуто.