Что такое задание 23 ОГЭ по математике 2026
Задание 23 — последняя задача второй части экзамена. В структуре ОГЭ-2026 по математике это единственная геометрическая задача повышенного уровня: за полное верное решение начисляют 2 балла, за частичное с правильным методом — 1 балл. Ответ записывается развёрнуто с обоснованием каждого шага — без пояснений эксперт может снять балл даже при верном числе.
В условии всегда присутствует треугольник. Он бывает прямоугольным, равнобедренным, равносторонним или произвольным — конкретный тип определяет, какую формулу нужно применить. Требования варьируются: найти длину отрезка, площадь фигуры или радиус вписанной (описанной) окружности.
Прежде чем переходить к формулам, важно твёрдо знать четыре базовых понятия.
Медиана — отрезок из вершины треугольника в середину противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся ею в отношении \(2:1\) от вершины.
Биссектриса — отрезок, делящий угол треугольника пополам. Делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам: \(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\).
Высота — перпендикуляр из вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Три высоты пересекаются в ортоцентре.
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон. Параллельна третьей стороне и равна её половине: \(MN = \dfrac{1}{2}a\).
Сумма внутренних углов любого треугольника: \(\alpha + \beta + \gamma = 180°\).
---
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Все типы задания 23 ОГЭ по математике — полная классификация
Зная классификацию заранее, проще выбрать метод сразу после прочтения условия. Задание 23 ОГЭ по математике 9 класс 2026 охватывает шесть стандартных подтипов:
| № | Тип / ситуация | Типичное условие | Ключевая теорема или формула | |---|---|---|---| | 1 | Прямоугольный треугольник | Найти катет, высоту к гипотенузе или проекции | Теорема Пифагора, \(\sin\alpha=\dfrac{a}{c}\), \(h_c=\dfrac{ab}{c}\) | | 2 | Равнобедренный треугольник | Найти высоту, площадь или угол по боковой и основанию | \(h=\sqrt{a^2-\dfrac{b^2}{4}}\), \(S=\dfrac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}\) | | 3 | Равносторонний треугольник | Найти \(r\), \(R\), площадь по стороне | \(h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\), \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\), \(R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) | | 4 | Произвольный треугольник (две стороны + угол или три стороны) | Найти третью сторону или угол | Теорема косинусов | | 5 | Вписанная или описанная окружность | Найти \(r\) или \(R\) | Формула Герона → \(r=\dfrac{S}{p}\), \(R=\dfrac{abc}{4S}\) | | 6 | Медиана, биссектриса, высота | Найти длину линии или отношение отрезков | Формула медианы, свойство биссектрисы, теорема синусов |
В огэ математика 2026 задания типа 23 чаще всего встречаются подтипы 1, 4 и 5. Типы 2 и 3 решаются быстрее — дополнительная симметрия снижает число шагов. Тип 6 — самый трудоёмкий: требует уверенного знания формул медианы и биссектрисы наизусть.
Алгоритм выбора метода: есть прямой угол → теорема Пифагора и соотношения; дан угол без прямого → теорема косинусов или синусов; три стороны → Герон; слово «биссектриса» → свойство деления стороны; слово «медиана» → формула медианы или свойство центроида.
---
Прототипы задания 23 ОГЭ 2026 из банка ФИПИ
Все варианты ОГЭ строятся на задачах из открытого банка. Чтобы найти прототипы 23 задания ОГЭ по математике 2026 самостоятельно:
- 1. Зайти на сайт ФИПИ → «Открытый банк заданий ОГЭ» → «Математика».
- 2. В фильтре «Номер задания в варианте» выставить 23.
- 3. В разделе «Тема» выбрать «Треугольник» или «Окружность».
Ниже — шесть характерных условий задание 23 ОГЭ математика ФИПИ, сгруппированных по подтипам.
---
Подтип А — прямоугольный треугольник, основные соотношения
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90°\)) катет \(AC = 5\), гипотенуза \(AB = 13\). Найдите \(BC\) и площадь треугольника.
Ключевая формула: \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}\), затем \(S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\).
---
Подтип Б — высота к гипотенузе
В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла на гипотенузу. Проекции катетов равны 4 и 9. Найдите высоту и катеты.
Ключевая формула: \(h = \sqrt{c_a \cdot c_b}\), \(a^2 = c \cdot c_a\).
---
Подтип В — произвольный треугольник, теорема косинусов
В треугольнике \(ABC\): \(AB = 7\), \(AC = 5\), \(\angle A = 60°\). Найдите \(BC\) и площадь.
Ключевая формула: \(BC^2 = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60°\), затем \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \sin 60°\).
---
Подтип Г — три стороны, вписанная окружность
В треугольнике со сторонами 6, 8, 10 найдите радиус вписанной окружности.
Ключевая формула: \(p = 12\), \(S = 24\), \(r = \dfrac{S}{p} = 2\). (Попутно: стороны 6–8–10 — пифагорова тройка, \(r = \dfrac{a+b-c}{2}\) даёт тот же ответ.)
---
Подтип Д — биссектриса делит сторону
В треугольнике \(ABC\): \(AB = 6\), \(AC = 4\), \(BC = 5\). Биссектриса \(AD\) из вершины \(A\). Найдите \(BD\) и \(DC\).
Ключевая формула: \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{2}\), откуда \(BD = 3\), \(DC = 2\).
---
Подтип Е — медиана и центроид
В треугольнике \(ABC\) медиана \(AM = 9\). Найдите расстояние от \(A\) до точки пересечения медиан.
Ключевая формула: \(AG = \dfrac{2}{3} \cdot 9 = 6\).
---
Числа в реальных вариантах будут другими, но структура и нужная формула остаются теми же — именно поэтому разбор по прототипам эффективнее, чем попытка запомнить отдельные задачи.
---
Разбор задания 23 ОГЭ по математике 2026: решения шаг за шагом
Четыре подробных решения — по одному на каждый основной подтип. Каждое построено по схеме: условие → план → вычисления → ответ.
---
Задача 1. Прямоугольный треугольник: высота к гипотенузе
Условие. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90°\)) катеты \(AC = 6\), \(BC = 8\). Из вершины \(C\) опущена высота \(CH\) на гипотенузу \(AB\). Найдите \(CH\) и отрезок \(AH\).
Чертёж: прямоугольный треугольник, \(H\) на \(AB\), высота делит \(AB\) на \(AH\) и \(HB\).
План: (1) теорема Пифагора → гипотенуза; (2) формула высоты к гипотенузе; (3) формула проекции катета.
Вычисления:
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \]
\[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4{,}8 \]
\[ AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{36}{10} = 3{,}6 \]
Проверка: \(CH^2 = AH \cdot HB = 3{,}6 \cdot 6{,}4 = 23{,}04 = 4{,}8^2\). ✓
Ответ: \(CH = 4{,}8\), \(AH = 3{,}6\).
---
Задача 2. Произвольный треугольник: теорема косинусов
Условие. В треугольнике \(ABC\): \(AB = 5\), \(BC = 7\), \(\angle B = 120°\). Найдите \(AC\) и площадь треугольника.
Чертёж: треугольник с тупым углом \(\angle B = 120°\), стороны \(AB\) и \(BC\) образуют этот угол.
План: (1) теорема косинусов для стороны \(AC\); (2) площадь через две стороны и угол.
Вычисления:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \]
\[ AC^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 120° = 74 - 70 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = 74 + 35 = 109 \]
\[ AC = \sqrt{109} \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4} \]
Ответ: \(AC = \sqrt{109}\), \(S = \dfrac{35\sqrt{3}}{4}\).
---
Задача 3. Вписанная окружность: метод площадей
Условие. В треугольнике со сторонами \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 15\) найдите радиус вписанной окружности.
Чертёж: произвольный треугольник, вписанная окружность касается всех трёх сторон.
План: (1) полупериметр; (2) площадь по формуле Герона; (3) \(r = S/p\).
Вычисления:
\[ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \]
\[ S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \]
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4 \]
Ответ: \(r = 4\).
---
Задача 4. Биссектриса: свойство деления стороны
Условие. В треугольнике \(ABC\): \(AB = 6\), \(AC = 4\), \(BC = 5\). Биссектриса \(AD\) из вершины \(A\). Найдите \(BD\), \(DC\) и длину \(AD\).
Чертёж: треугольник, биссектриса делит \(BC\) на \(BD\) и \(DC\).
План: (1) свойство биссектрисы → отношение отрезков; (2) система \(BD + DC = 5\); (3) длина биссектрисы по формуле \(l^2 = bc - BD \cdot DC\).
Вычисления:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]
Из \(BD + DC = 5\) и \(BD : DC = 3 : 2\) получаем: \(BD = 3\), \(DC = 2\).
\[ AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC = 6 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 24 - 6 = 18 \]
\[ AD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
Ответ: \(BD = 3\), \(DC = 2\), \(AD = 3\sqrt{2}\).
---
Формулы для задания 23 ОГЭ: шпаргалка по треугольникам
Всё, что нужно в задании 23 ОГЭ по математике — разбито по пяти блокам. Формулы из листа с формулами на экзамене не выдаются, поэтому их нужно знать наизусть.
Прямоугольный треугольник
Произвольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Подобие и средняя линия
---
Типичные ошибки в задании 23 ОГЭ и как их не допустить
Разбор 23 задания ОГЭ по математике 2026 показывает, что большинство потерянных баллов приходится на семь повторяющихся ошибок. К каждой — правило-запоминалка.
Коротко
- Теорема косинусов — всегда минус: c² = a² + b² − 2ab·cos γ
- Центроид делит медиану 2:1 от вершины, не пополам
- Площади подобных треугольников — как k², периметры — как k
- Синус = противолежащий/гипотенуза; косинус = прилежащий/гипотенуза
- R = c/2 только для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза)
- Перед решением — проверить неравенство треугольника
- Биссектриса внешнего угла делит сторону внешним образом
---
Частые вопросы
Сколько баллов даёт задание 23 ОГЭ 2026?
За полное верное решение — 2 балла. За решение с правильным методом, но ошибкой в вычислениях — 1 балл. Задание проверяет эксперт, поэтому оформление и обоснования напрямую влияют на итоговый балл: записанный план и промежуточные выводы повышают шансы получить 1 балл даже при неверном ответе.
Обязательно ли рисовать чертёж?
Формально отсутствие чертежа не снимает балл. Однако без рисунка вероятность перепутать стороны, углы или отрезки резко возрастает. Чертёж занимает 30 секунд и экономит несколько минут на разбор задачи.
Нужно ли знать формулу медианы наизусть?
Да. Формула \(m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}\) в листе с формулами не предусмотрена. Её нужно знать наизусть или уметь выводить: записать теорему косинусов для двух половин треугольника, разбитых медианой, и сложить уравнения.
Что делать, если сразу не понятно, какой метод применить?
Алгоритм: (1) есть прямой угол → теорема Пифагора и соотношения в прямоугольном треугольнике; (2) дан угол без прямого → теорема косинусов; (3) три стороны → формула Герона, затем \(r\) или \(R\); (4) слово «биссектриса» → свойство деления стороны; (5) слово «медиана» → формула медианы или свойство центроида.
Разрешён ли калькулятор на ОГЭ по математике?
Нет, калькулятор не разрешён. Все вычисления выполняются вручную, поэтому полезно заранее знать квадраты и квадратные корни до 20, а также значения \(\sin 30°, \cos 60°, \sin 45°, \sin 60°\) и производные от них.
Насколько часто в задании 23 встречается вписанная окружность?
По открытому банку ФИПИ, задачи на вписанную и описанную окружности составляют около трети всех прототипов. Схема «Герон → площадь → \(r = S/p\)» повторяется почти дословно, меняются только числа — это делает данный подтип наиболее предсказуемым на экзамене.
По этой теме есть отдельный разбор: формулы по геометрии для ОГЭ 9 класса.
По этой теме есть отдельный разбор: признаки подобия треугольников.
По этой теме есть отдельный разбор: теорема косинусов и теорема синусов.
По этой теме есть отдельный разбор: вся геометрия ОГЭ 2026.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.