Вот исправленная статья целиком:
--- title: Формула куба суммы и разности: правила и примеры для 7 класса description: Формула куба суммы и разности — две формулы сокращённого умножения из программы 7 класса. Показываем (a+b)³ и (a−b)³, объясняем применение с примерами. slug: formula-kuba-summy-i-raznosti keywords: [формула куба суммы и разности, формулы кубов суммы и разности, формула куба суммы и разности 7 класс, формула куба суммы двух чисел, формула разложения куба суммы, формула куб суммы и разности примеры] author: Алмаз date: 2026-07-28 cluster: ege ---
Куб суммы и куб разности — две формулы сокращённого умножения из курса алгебры 7 класса. Они позволяют возвести двучлен в третью степень в одно действие — или, наоборот, свернуть многочлен обратно. Вот обе формулы сразу:
\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
\[ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
Формулы кубов суммы и разности двух чисел
Формулы кубов суммы и разности — парные: структура одинакова, знаки отличаются.
Каждая из них содержит ровно четыре члена. Разбор структуры по формуле куба суммы двух чисел:
- - \(a^3\) — куб первого слагаемого,
- - \(3a^2b\) — утроенный квадрат первого, умноженный на второе,
- - \(3ab^2\) — утроенное произведение первого на квадрат второго,
- - \(b^3\) — куб второго слагаемого.
Коэффициенты при каждом члене: 1, 3, 3, 1 — третья строка треугольника Паскаля. Это удобный способ их запомнить.
Коротко
- В кубе суммы все четыре члена стоят со знаком «плюс»
- В кубе разности знаки чередуются: +, −, +, −
- Коэффициенты 1–3–3–1 одинаковы для обеих формул
- Формула куба суммы и куба разности применимы к любым выражениям, не только к числам
Знаковая закономерность объясняется просто: в формуле куба разности \(b\) заменяется на \(-b\), и нечётные степени \(-b\) дают минус.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Вывод формулы куба суммы и разности — 7 класс
Формула куба суммы и разности в 7 классе выводится через последовательное раскрытие скобок: сначала возводят двучлен в квадрат, затем умножают результат ещё раз на исходный двучлен.
- Вывод формулы куба суммы
- Шаг 1: Записать куб как произведение: \((a+b)^3 = (a+b) \cdot (a+b)^2\)
- Шаг 2: Раскрыть квадрат суммы: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- Шаг 3: Умножить \((a+b)\) на \((a^2 + 2ab + b^2)\) построчно: \(a(a^2+2ab+b^2) + b(a^2+2ab+b^2)\)
- Шаг 4: Раскрыть скобки: \(a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3\)
- Шаг 5: Привести подобные члены: \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
Для куба разности вывод аналогичен — достаточно подставить \(-b\) вместо \(b\):
\[ (a-b)^3 = \bigl(a+(-b)\bigr)^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 \]
\[ = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
Нечётные степени \((-b)\) дают минус, чётные — плюс. Именно этим объясняется чередование знаков. Формула разности и суммы в алгебре куба входит в стандартный курс 7 класса и не требует никаких знаний сверх умения раскрывать скобки.
Формула разложения куба суммы: обратное применение
Формулу разложения куба суммы применяют «в обратную сторону»: видят многочлен и сворачивают его в куб.
- Алгоритм распознавания куба суммы
- Шаг 1: Найти \(a\) — извлечь кубический корень из первого члена
- Шаг 2: Найти \(b\) — извлечь кубический корень из последнего члена
- Шаг 3: Проверить средние члены: они должны равняться \(3a^2b\) и \(3ab^2\)
- Шаг 4: Если проверка прошла — записать \((a+b)^3\)
Пример. Дано \(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1\).
- - \(a = 2x\), поскольку \((2x)^3 = 8x^3\); \(b = 1\), поскольку \(1^3 = 1\).
- - Проверка: \(3(2x)^2 \cdot 1 = 12x^2\) ✓; \(3 \cdot 2x \cdot 1^2 = 6x\) ✓.
- - Ответ: \((2x+1)^3\).
Важно не путать куб суммы с суммой кубов — это принципиально разные выражения:
\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \quad \text{— куб суммы} \]
\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \quad \text{— сумма кубов} \]
Куб суммы — это степень двучлена; сумма кубов — это сумма двух выражений, и она раскладывается на множители совершенно иначе.
Примеры по формуле куба суммы и разности
Пример 1. Вычислить \(99^3\).
Представим \(99 = 100 - 1\) и применим формулу куба разности:
\[ 99^3 = (100-1)^3 = 100^3 - 3 \cdot 100^2 \cdot 1 + 3 \cdot 100 \cdot 1^2 - 1^3 \]
\[ = 1\,000\,000 - 30\,000 + 300 - 1 = 970\,299 \]
Пример 2. Вычислить \(101^3\).
\[ 101^3 = (100+1)^3 = 100^3 + 3 \cdot 100^2 \cdot 1 + 3 \cdot 100 \cdot 1^2 + 1^3 \]
\[ = 1\,000\,000 + 30\,000 + 300 + 1 = 1\,030\,301 \]
Пример 3. Раскрыть скобки: \((2x+3)^3\).
Здесь \(a = 2x\), \(b = 3\):
\[ (2x+3)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 + 3^3 \]
\[ = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 \]
Пример 4. Упростить \((x-2)^3 + 8\).
Раскроем куб разности:
\[ (x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 4 - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \]
\[ (x-2)^3 + 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 + 8 = x^3 - 6x^2 + 12x \]
На экзамене все промежуточные шаги записывают явно: указывают, чему равны \(a\) и \(b\), подставляют в формулу и только потом вычисляют. Пропуск шага — источник ошибок со знаками.
Куб суммы и квадрат разности: как не перепутать формулы
Формулы куба суммы и квадрата разности на первый взгляд похожи — обе содержат скобку со знаком «минус» или «плюс». Но результаты у них разные.
| Выражение | Результат | Членов | Максимальная степень | |---|---|---|---| | \((a+b)^2\) | \(a^2 + 2ab + b^2\) | 3 | 2 | | \((a-b)^2\) | \(a^2 - 2ab + b^2\) | 3 | 2 | | \((a+b)^3\) | \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) | 4 | 3 | | \((a-b)^3\) | \(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) | 4 | 3 |
Быстрый способ не перепутать: если показатель степени равен 3 и членов четыре — куб суммы или разности; если показатель 2 и членов три — квадрат.
Самая распространённая ошибка — «перенос» куба по слагаемым:
Проверить на числах: \((1+1)^3 = 8\), но \(1^3 + 1^3 = 2\). Разница очевидна.
Такая же ошибка возникает при возведении в квадрат: \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). В обоих случаях корень один — степень распределяется только над умножением, но не над сложением.
По этой теме есть отдельный разбор: формулы сокращённого умножения.
По этой теме есть отдельный разбор: разложить многочлен на множители.
По этой теме есть отдельный разбор: теорема Безу.
FAQ
Чем куб суммы отличается от суммы кубов?
Куб суммы — это \((a+b)^3\), степень двучлена; результат содержит четыре члена: \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Сумма кубов — это \(a^3 + b^3\), и она раскладывается на множители по другой формуле: \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\). Подменять одно другим — грубая ошибка.
Как запомнить знаки в формуле куба разности?
Знаки чередуются: \(+, -, +, -\). Это следствие подстановки \(-b\): нечётные степени \((-b)\) дают минус (\(-b\), \(-b^3\)), чётные — плюс (\((-b)^2 = b^2\)). Запомнить проще всего через треугольник Паскаля: коэффициенты 1–3–3–1 стоят неизменно, а знаки в кубе разности ставятся по нечётности позиции.
Сколько членов у куба суммы?
Ровно четыре: \(a^3\), \(3a^2b\), \(3ab^2\), \(b^3\). Если при раскрытии скобок получилось три члена или пять — допущена ошибка в умножении или приведении подобных.
Можно ли применять формулу куба суммы к буквенным выражениям, а не только к числам?
Да. \(a\) и \(b\) могут быть любыми выражениями: одночленами, дробями, корнями. Например, \((\sqrt{x}+2)^3\) раскрывается по той же формуле с \(a = \sqrt{x}\), \(b = 2\).
Как проверить, правильно ли раскрыт куб суммы?
Подставьте простые числа, например \(a = 1\), \(b = 1\): левая часть даёт \(2^3 = 8\), правая должна тоже давать \(8\). Если значения совпадают — формула применена верно. Этот приём работает и для промежуточной проверки коэффициентов.
---
Добавлен раздел ## FAQ с пятью вопросами в конце статьи. Все остальные разделы, формулы и компоненты ::: сохранены без изменений.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.