Таблица перевода радиан в градусы и обратно: формула

Углы можно измерять двумя способами: в градусах и в радианах. Градусы привычны со школы, радианы встречаются в задачах ЕГЭ по математике, в физике и в любой программе, которая вычисляет тригонометрические функции. Без понимания связи между единицами легко ошибиться — получить неверный знак или бессмысленное число. Ниже — простая формула перевода, готовая таблица основных углов со значениями синуса, косинуса и тангенса, разбор типичных задач и три ошибки, которые встречаются чаще всего.

Что такое радиан: геометрический смысл

Представим окружность радиуса \( r \). Если отложить по ней дугу длиной, равной радиусу, центральный угол, опирающийся на эту дугу, и есть 1 радиан.

Длина всей окружности равна \( 2\pi r \), поэтому полный оборот укладывает \( 2\pi \) таких дуг. Отсюда фундаментальное соотношение:

\[ 2\pi \text{ рад} = 360°, \quad \pi \text{ рад} = 180° \]

Именно это равенство — источник обеих формул перевода.

Связь с тригонометрическими функциями прямая. На единичной окружности (\( r = 1 \)) точка, соответствующая дуге длиной \( t \), имеет координаты \( (\cos t,\ \sin t) \). Это и есть определение синуса и косинуса числа: \( \cos t = x_M \), \( \sin t = y_M \), где точка \( M \) лежит на окружности \( x^2 + y^2 = 1 \). Аргумент функции — длина дуги, то есть угол в радианах. Поэтому когда пишут \( \sin\tfrac{\pi}{6} \), имеют в виду угол \( 30° \), выраженный в радианах.

По этой теме есть отдельный разбор: тригонометрическую окружность.

Формула: как радианы перевести в градусы

Из равенства \( \pi \text{ рад} = 180° \) следует, что 1 радиан равен \( \tfrac{180°}{\pi} \). Значит, чтобы перевести любой угол из радиан в градусы, нужно умножить его на \( \tfrac{180}{\pi} \):

Мнемоническое правило: умножь на 180, раздели на π.

Пример 1. Перевести \( \dfrac{\pi}{3} \) рад в градусы.

Пример 2. Перевести \( \dfrac{5\pi}{4} \) рад в градусы.

Формула: как градусы перевести в радианы

Обратная операция: делим на 180 и умножаем на π.

Разберём пять основных углов — их стоит знать наизусть:

| Градусы | Вычисление | Радианы | |---------|-----------|---------| | 30° | \( 30 \times \tfrac{\pi}{180} \) | \( \dfrac{\pi}{6} \) | | 45° | \( 45 \times \tfrac{\pi}{180} \) | \( \dfrac{\pi}{4} \) | | 60° | \( 60 \times \tfrac{\pi}{180} \) | \( \dfrac{\pi}{3} \) | | 90° | \( 90 \times \tfrac{\pi}{180} \) | \( \dfrac{\pi}{2} \) | | 180° | \( 180 \times \tfrac{\pi}{180} \) | \( \pi \) |

Полезно помнить: период синуса и косинуса равен \( 2\pi \) рад, что соответствует \( 360° \). Период тангенса и котангенса — \( \pi \) рад, то есть \( 180° \). Это напрямую следует из определения: \( f(t + T) = f(t) \) при наименьшем положительном \( T \).

Таблица перевода радиан в градусы

Сводная таблица перевода радиан в градусы с значениями основных тригонометрических функций — главный инструмент при решении задач ЕГЭ.

| Радианы | Градусы | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tg\) | |---------|---------|----------|----------|---------| | \(0\) | \(0°\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(30°\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) | | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(45°\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) | | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(60°\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(90°\) | \(1\) | \(0\) | не опр. | | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(120°\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\dfrac{1}{2}\) | \(-\sqrt{3}\) | | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | \(135°\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-1\) | | \(\pi\) | \(180°\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(270°\) | \(-1\) | \(0\) | не опр. | | \(2\pi\) | \(360°\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |

Тангенс не определён там, где \( \cos t = 0 \), то есть при \( \dfrac{\pi}{2} \) и \( \dfrac{3\pi}{2} \): \( \tg t = \dfrac{\sin t}{\cos t} \), деление на ноль запрещено.

Запомнить колонку синусов удобно по схеме: \( \sin \) для углов \( 0°, 30°, 45°, 60°, 90° \) равен \( \dfrac{\sqrt{0}}{2},\ \dfrac{\sqrt{1}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{4}}{2} \). Значения косинуса читаются в обратном порядке.

Примеры перевода: разбор задач ЕГЭ

Задача 1. Найти значение \( \sin\dfrac{7\pi}{6} \).

Задача 2. Вычислить \( \tg\dfrac{5\pi}{3} \).

Задача 3. Задан \( \arccos\dfrac{1}{2} \). Выразить ответ в градусах.

Задача 4. Проверить, определён ли \( \tg\dfrac{3\pi}{2} \).

Радианы в градусы: калькулятор и быстрый способ

Инженерный калькулятор (физический или приложение на смартфоне) имеет два режима: DEG (degree, градусы) и RAD (radian, радианы). Переключение обычно выполняется кнопкой MODE или DRG.

Если нужно вычислить \( \sin\dfrac{\pi}{3} \) на калькуляторе в режиме RAD, вводят sin(π/3) — результат \( 0{,}866 \). В режиме DEG та же клавиатурная последовательность sin(60) даёт то же число. Путаница режимов — одна из самых частых причин неверного ответа на экзамене.

Если под рукой только обычный калькулятор без режима RAD, можно перевести вручную прямо при вводе:

\[ \alpha^{\circ} = \alpha_{\text{рад}} \times \frac{180}{\pi} \approx \alpha_{\text{рад}} \times 57{,}2958 \]

Например, \( 1{,}2 \text{ рад} \times 57{,}2958 \approx 68{,}75° \). Множитель \( 57{,}2958 \) — это и есть значение 1 радиана в градусах, закруглять до 57 не стоит: погрешность накапливается.

На смартфоне (стандартное приложение «Калькулятор» в научном режиме) переключатель DEG/RAD находится в верхнем углу экрана. Перед вычислением всегда проверяйте, какой режим активен.

Типичные ошибки при переводе единиц

Частые вопросы

Как радианы перевести в градусы?

Умножить угол в радианах на \( \dfrac{180}{\pi} \). Например, \( \dfrac{\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = 45° \). Если угол содержит π как множитель, π сокращается и остаётся целое число или простая дробь.

Как перевести градусы в радианы?

Умножить угол в градусах на \( \dfrac{\pi}{180} \). Например, \( 120° \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3} \). Для «некруглых» углов результат оставляют в виде дроби с π.

Чему равен 1 радиан в градусах?

Ровно \( \dfrac{180°}{\pi} \approx 57{,}2958° \). Это иррациональное число, поэтому 1 радиан не соответствует ни одному «целому» числу градусов.

Как настроить калькулятор для работы с радианами?

На инженерном калькуляторе нажать MODE и выбрать RAD. В приложении-калькуляторе на смартфоне переключатель DEG/RAD обычно находится в верхней части экрана в горизонтальном (научном) режиме. После переключения проверьте: sin(π/2) должен давать ровно 1.

Какие углы в радианах обязательно знать для ЕГЭ?

Шесть значений покрывают большинство задач: \( 0,\ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi \). К ним добавляют \( \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{6} \) для второй четверти и соответствующие углы третьей и четвёртой четвертей. Все они получаются из таблицы выше применением формул приведения.

По этой теме есть отдельный разбор: таблицу значений тригонометрических функций.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы приведения.