Теорема косинусов доказательство и теорема синусов 9 класс

Что такое теоремы синусов и косинусов: место в геометрии 9 класса

Теорема Пифагора работает только для прямоугольного треугольника. В задачах ОГЭ треугольники чаще всего острые или тупоугольные, и теорема Пифагора там не применима напрямую. Именно здесь в программу 9 класса входят теорема синусов и косинусов — два инструмента, которые обобщают теорему Пифагора на произвольный треугольник.

Обе теоремы решают одну задачу: найти неизвестные элементы треугольника по известным. Но каждая работает в своей ситуации. В курсе геометрии 9 класса теорема синусов и косинусов изучается вместе с доказательствами — знание доказательства входит в требования кодификатора ОГЭ.

Задачи, которые охватывают эти теоремы:

• - найти сторону треугольника по двум другим сторонам и углу между ними;
• - найти угол по трём сторонам;
• - найти радиус описанной окружности;
• - найти сторону по двум углам и одной стороне.

---

Теорема косинусов: формула для треугольника и три её записи

Формулировка. В треугольнике \(ABC\) с углами \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) и противолежащими им сторонами \(a\), \(b\), \(c\):

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \]

Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема косинусов для треугольника записывается симметрично для каждой из трёх сторон:

В каждой записи угол в косинусе — это угол, лежащий напротив стороны в левой части.

Из той же формулы выражается угол, если известны все три стороны:

\[ \cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

Связь с теоремой Пифагора. При \(\gamma = 90^\circ\) имеем \(\cos 90^\circ = 0\), и последнее слагаемое исчезает:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2 \]

Это в точности теорема Пифагора. Таким образом, теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов.

---

Доказательство теоремы косинусов: классическое и через координаты

Приведём два доказательства теоремы косинусов: классическое через высоту и через координаты.

Первое доказательство теоремы косинусов: через высоту

Доказываем: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\).

Остроугольный треугольник.

В треугольнике \(ABC\) пусть \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\), \(\gamma = \angle ACB\). Опустим из вершины \(A\) высоту \(AH\) на прямую \(BC\). При остром \(\gamma\) точка \(H\) лежит между \(B\) и \(C\).

В прямоугольном треугольнике \(ACH\) (прямой угол в \(H\)):

\[ CH = b\cos\gamma, \qquad AH = b\sin\gamma \]

Тогда \(BH = BC - CH = a - b\cos\gamma\).

По теореме Пифагора для треугольника \(ABH\):

\[ c^2 = AH^2 + BH^2 = (b\sin\gamma)^2 + (a - b\cos\gamma)^2 \]

Раскрываем:

\[ c^2 = b^2\sin^2\gamma + a^2 - 2ab\cos\gamma + b^2\cos^2\gamma = a^2 + b^2(\sin^2\gamma + \cos^2\gamma) - 2ab\cos\gamma = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \]

Тупоугольный треугольник.

Если \(\gamma > 90^\circ\), высота \(AH\) падает на продолжение стороны \(BC\) за точку \(C\). Порядок точек: \(B\), \(C\), \(H\).

В треугольнике \(ACH\) угол при \(C\) равен \(180^\circ - \gamma\), поэтому:

\[ CH = b\cos(180^\circ - \gamma) = -b\cos\gamma \]

Так как \(\cos\gamma < 0\) при тупом \(\gamma\), длина \(CH = -b\cos\gamma > 0\).

\[ BH = BC + CH = a + (-b\cos\gamma) = a - b\cos\gamma \] \[ AH = b\sin(180^\circ - \gamma) = b\sin\gamma \]

По теореме Пифагора:

\[ c^2 = AH^2 + BH^2 = (b\sin\gamma)^2 + (a - b\cos\gamma)^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \]

Формула работает для любого треугольника. В этом состоит теорема косинусов для треугольника: доказательство не зависит от вида угла.

Второе доказательство: координатный метод

Разместим вершину \(C\) в начале координат, а сторону \(CA\) — вдоль положительной полуоси \(Ox\):

\[ C = (0,\; 0), \quad A = (b,\; 0), \quad B = (a\cos\gamma,\; a\sin\gamma) \]

Координаты \(B\) записаны исходя из того, что \(CB = a\) и угол между \(CB\) и осью \(Ox\) равен \(\gamma\).

Вычислим \(c^2 = AB^2\) по формуле расстояния:

\[ c^2 = (a\cos\gamma - b)^2 + (a\sin\gamma - 0)^2 \]

\[ = a^2\cos^2\gamma - 2ab\cos\gamma + b^2 + a^2\sin^2\gamma \]

\[ = a^2(\cos^2\gamma + \sin^2\gamma) + b^2 - 2ab\cos\gamma \]

\[ = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \]

Координатный метод не требует разбора острого и тупого случаев отдельно — формула получается сразу для любого угла \(\gamma\).

---

По этой теме есть отдельный разбор: теорему Пифагора.

Теорема синусов: формулировка и связь с описанной окружностью

Формулировка. В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:

\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \]

где \(R\) — радиус окружности, описанной около треугольника.

Что означает \(2R\). Константа \(2R\) — это диаметр окружности, описанной вокруг треугольника. Теорема синусов утверждает: отношение любой стороны к синусу противолежащего угла постоянно для данного треугольника и равно его диаметру описанной окружности. Если известна хотя бы одна пара «сторона — противолежащий угол», \(R\) вычисляется немедленно.

Формулы теоремы синусов и косинусов в геометрии 9 класса вместе перекрывают практически все задачи на решение треугольников.

---

Доказательство теоремы синусов

Докажем, что \(\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R\).

Пусть треугольник \(ABC\) вписан в окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\). Через вершину \(B\) проведём диаметр \(BD = 2R\).

Острый случай (\(\alpha < 90^\circ\)).

Вписанный угол \(\angle BAC = \alpha\) опирается на дугу \(BC\) (не содержащую \(A\)). Вписанный угол \(\angle BDC\) опирается на ту же дугу с той же стороны, поэтому по теореме о вписанном угле:

\[ \angle BDC = \angle BAC = \alpha \]

В треугольнике \(BDC\) угол \(\angle BCD = 90^\circ\) как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Из этого прямоугольного треугольника:

\[ \sin\alpha = \sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R} \]

Откуда \(\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R\).

Тупой случай (\(\alpha > 90^\circ\)).

Точка \(D\) оказывается на той же дуге \(BC\), что и \(A\). Тогда вписанные углы \(\angle BAC\) и \(\angle BDC\) опираются на одну хорду \(BC\) с разных сторон, и их сумма равна \(180^\circ\):

\[ \angle BDC = 180^\circ - \alpha \]

\[ \sin(\angle BDC) = \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha \]

\[ \frac{a}{2R} = \sin\alpha \implies \frac{a}{\sin\alpha} = 2R \]

Результат совпадает с острым случаем. Аналогично, проведя диаметры из вершин \(A\) и \(C\), доказываются равенства \(\dfrac{b}{\sin\beta} = 2R\) и \(\dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R\).

---

Когда применять теорему косинусов, а когда синусов: схема выбора

Выбор теоремы целиком определяется тем, какие данные известны.

| Что известно | Что найти | Теорема | |---|---|---| | Три стороны \(a, b, c\) | Любой угол | Косинусов | | Две стороны и угол между ними | Третья сторона | Косинусов | | Два угла и любая сторона | Остальные стороны | Синусов | | Две стороны и угол, не между ними | Угол или сторона | Синусов (осторожно!) | | Сторона и противолежащий угол | Радиус \(R\) | Синусов: \(R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}\) |

Предупреждение об «неоднозначном случае». Если из теоремы синусов вычисляется угол через \(\sin\alpha = k\), уравнение может иметь два решения: острый \(\alpha_1\) и тупой \(\alpha_2 = 180^\circ - \alpha_1\). Если оба дают сумму углов, не превышающую \(180^\circ\), задача имеет два решения — это нужно проверять и указывать явно.

---

Типичные ошибки в теореме косинусов и теореме синусов

На ОГЭ три ошибки встречаются особенно часто.

---

По этой теме есть отдельный разбор: геометрии на ОГЭ.

Задачи на теоремы синусов и косинусов с полным разбором

Задача 1. Найти сторону по двум сторонам и углу между ними

Условие. В треугольнике \(ABC\): \(a = 7\), \(b = 5\), \(\gamma = 60^\circ\). Найти сторону \(c\).

Решение.

Угол \(\gamma = 60^\circ\) заключён между сторонами \(a\) и \(b\) — применяем теорему косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ \]

\[ = 74 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39 \]

\[ c = \sqrt{39} \]

Ответ: \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}24\).

---

Задача 2. Найти угол по трём данным сторонам

Условие. В треугольнике \(ABC\): \(a = 8\), \(b = 6\), \(c = 7\). Найти угол \(\gamma\) (противолежащий стороне \(c\)).

Решение.

Из теоремы косинусов выразим \(\cos\gamma\):

\[ \cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{64 + 36 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 6} = \frac{51}{96} = \frac{17}{32} \]

\[ \gamma = \arccos\frac{17}{32} \approx 57{,}9^\circ \]

Ответ: \(\gamma = \arccos\dfrac{17}{32}\).

---

Задача 3. Найти сторону по двум углам и одной стороне

Условие. В треугольнике \(ABC\): \(\alpha = 45^\circ\), \(\beta = 75^\circ\), \(a = 4\). Найти сторону \(b\).

Решение.

Из суммы углов треугольника: \(\gamma = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ\).

Применяем теорему синусов:

\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \implies b = a \cdot \frac{\sin\beta}{\sin\alpha} = 4 \cdot \frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} \]

Вычислим значения:

\[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, \qquad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ b = 4 \cdot \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4}{\sqrt{2}/2} = 4 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3} + 2 = 2(\sqrt{3}+1) \]

Ответ: \(b = 2(\sqrt{3}+1) \approx 5{,}46\).

---

Частые вопросы

Чем отличается теорема синусов от теоремы косинусов?

Теорема косинусов связывает три стороны и один угол: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\). Теорема синусов связывает пары «сторона — синус противолежащего угла» через общую константу \(2R\). Косинусов применяют, когда в условии фигурируют три стороны или две стороны и угол между ними; синусов — когда известны сторона и противолежащий ей угол, либо два угла.

Является ли теорема Пифагора частным случаем теоремы косинусов?

Да. При \(\gamma = 90^\circ\) выражение \(2ab\cos\gamma = 0\), и теорема косинусов принимает вид \(c^2 = a^2 + b^2\). Теорема Пифагора — это теорема косинусов при прямом угле.

Как доказать теорему косинусов через координаты?

Вершина \(C\) помещается в начало координат, сторона \(CA\) направляется вдоль оси \(Ox\). Тогда \(C=(0,0)\), \(A=(b,0)\), \(B=(a\cos\gamma,\, a\sin\gamma)\). Расстояние \(AB^2\) вычисляется по формуле и после раскрытия скобок даёт \(a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\) — без разбора острого и тупого случаев отдельно.

Что означает \(2R\) в теореме синусов?

\(2R\) — диаметр описанной окружности треугольника. Теорема утверждает, что отношение каждой стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон и равно этому диаметру. Это позволяет немедленно найти \(R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}\) по любой паре «сторона — угол».

Когда нельзя применять теорему синусов для нахождения угла?

Когда из уравнения \(\sin\alpha = k\) получается два значения — острый \(\alpha_1\) и тупой \(\alpha_2 = 180^\circ - \alpha_1\), — нужно проверить оба. Если сумма \(\alpha_2 + \beta > 180^\circ\), тупой вариант отбрасывается. Если оба укладываются в \(180^\circ\), задача имеет два решения и это следует указать явно.

По этой теме есть отдельный разбор: описанную окружность треугольника.

По этой теме есть отдельный разбор: задачи на треугольники в ЕГЭ.