Базовый ЕГЭ по математике проверяет умение решать уравнения шести типов: линейные, квадратные, показательные, тригонометрические, рациональные и иррациональные. Они встречаются в нескольких заданиях первой части и в задании 13, где нужно не только найти общее решение, но и отобрать корни на отрезке. Знание минимального набора алгоритмов и умение не делать технических ошибок — этого достаточно для зачёта. В статье разобран каждый тип с примерами и собраны ошибки, которые обнуляют правильно начатое решение.
Уравнения в ЕГЭ база 2026: что проверяют и сколько баллов
В варианте ЕГЭ по математике базового уровня 21 задание. Первые двадцать — с кратким ответом, каждое оценивается в один первичный балл; задание 21 — развёрнутое. Уравнения входят в алгебраический блок первой части и в задание 13, посвящённое тригонометрии. Именно здесь концентрируются баллы, критичные для порога зачёта.
Уравнения ЕГЭ база математика 2026 по структуре идентичны варианту 2025: те же шесть типов, тот же формат задания 13. Меняются числа и сюжеты задач, но не методы. Поэтому разбор уравнений ЕГЭ база математика 2025 года — полноценная подготовка к 2026-му.
Три понятия сопровождают все типы уравнений от начала до конца.
ОДЗ (область допустимых значений) — множество \(x\), при которых все выражения уравнения определены: знаменатели не равны нулю, подкоренные выражения неотрицательны, аргументы логарифмов положительны. ОДЗ находят до преобразований. Корни, не вошедшие в ОДЗ, — посторонние и отбрасываются.
Равносильность — два уравнения равносильны, если множества их решений совпадают. Равносильный переход не теряет и не добавляет корней. Возведение в чётную степень и умножение на выражение с переменной — потенциально неравносильные операции: требуют проверки через ОДЗ или систему.
Отбор корней — заключительный шаг задания 13: из общей серии решений выбирают те, что принадлежат заданному отрезку. Именно здесь теряется балл при правильном общем решении.
Коротко
- ОДЗ находят до преобразований и держат до конца — не после
- Равносильный переход сохраняет все корни и не добавляет лишних
- Отбор корней — отдельный шаг задания 13, оценивается отдельно
- Логарифмические уравнения в базовом ЕГЭ встречаются редко и только в упрощённом виде
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Линейные уравнения в ЕГЭ база: алгоритм и примеры
Линейное уравнение — вида \(ax + b = 0\). На ЕГЭ оно может быть замаскировано скобками или числовыми дробями, но после раскрытия сводится к этой форме. ОДЗ — все вещественные числа, ограничений нет.
Алгоритм состоит из трёх равносильных переходов:
- Решение линейного уравнения
- Шаг 1. Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые на каждой части
- Шаг 2. Перенести члены с переменной влево, числа — вправо
- Шаг 3. Разделить обе части на коэффициент при переменной (он не равен нулю)
Пример: \(3(x - 2) + 5 = 2x - 1\)
\[3x - 6 + 5 = 2x - 1 \implies 3x - 1 = 2x - 1 \implies x = 0\]
Каждый переход равносилен: прибавление числа к обеим частям и деление на ненулевое число не меняют множество корней. Именно это означает понятие равносильности на практике.
Когда коэффициент при \(x\) обнуляется после приведения подобных — два частных случая:
- - \(0 \cdot x = c\) при \(c \ne 0\) — решений нет;
- - \(0 \cdot x = 0\) — решение любое \(x \in \mathbb{R}\).
В заданиях базового ЕГЭ линейные уравнения, как правило, имеют единственный корень.
Квадратные уравнения в ЕГЭ база: три способа решить
Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) решается тремя методами. Выбор зависит от вида уравнения и от того, насколько удобно разложить трёхчлен.
Метод 1: дискриминант
При \(D > 0\) — два различных корня, при \(D = 0\) — один двукратный, при \(D < 0\) — действительных корней нет.
Пример: \(x^2 - 5x + 6 = 0\), \(D = 25 - 24 = 1\)
\[x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2\]
Метод 2: разложение на множители
Квадратный трёхчлен раскладывается как \(a(x - x_1)(x - x_2)\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
- Метод разложения на множители
- Шаг 1. Перенести всё в левую часть
- Шаг 2. Разложить трёхчлен на множители (подбор, группировка, формулы сокращённого умножения)
- Шаг 3. Каждый множитель приравнять к нулю
- Шаг 4. Объединить корни и проверить по ОДЗ
Пример: \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2\) или \(x = 3\).
Этот метод быстрее формулы, когда корни — целые числа или простые дроби.
Метод 3: замена переменной
Когда уравнение содержит \(x^4\) и \(x^2\) (или другую повторяющуюся конструкцию), вводят замену \(t = x^2\):
Замена \(t = x^2\) превращает \(x^4 - 5x^2 + 6 = 0\) в \(t^2 - 5t + 6 = 0\), откуда \(t = 2\) или \(t = 3\).
Обратная замена: \(x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}\); \(x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}\). Отрицательные \(t\) сразу отбрасываются, так как \(x^2 \ge 0\).
Частая ошибка при формальном применении свойств логарифма к уравнениям с квадратом переменной:
По этой теме есть отдельный разбор: решить квадратное уравнение через дискриминант.
Показательные уравнения в ЕГЭ база: сведение к основанию и замена
Показательное уравнение содержит переменную в показателе степени: \(2^x = 8\), \(9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0\). В заданиях ЕГЭ база математика 2026 такой тип решается двумя методами.
Метод 1: сведение к одному основанию
Если обе части уравнения выражаются как степени одного основания — показатели приравнивают:
Пример: \(4^x = 8\)
\[2^{2x} = 2^3 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}\]
Переход равносилен, потому что показательная функция при \(a \ne 1\) строго монотонна.
Метод 2: замена переменной \(t = a^x\)
Когда уравнение содержит \(a^{2x}\) и \(a^x\), вводят замену и получают квадратное уравнение относительно \(t\).
- Замена переменной в показательном уравнении
- Шаг 1. Ввести \(t = a^x\) и сразу зафиксировать ограничение \(t > 0\)
- Шаг 2. Переписать уравнение относительно \(t\) и решить
- Шаг 3. Отбросить все \(t \le 0\) — показательная функция положительна
- Шаг 4. Для оставшихся \(t\) сделать обратную замену: \(x = \log_a t\)
Пример: \(9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0\), замена \(t = 3^x > 0\):
\[t^2 - 10t + 9 = 0 \implies t = 1 \text{ или } t = 9\]
Оба значения положительны. Обратная замена: \(3^x = 1 \implies x = 0\); \(3^x = 9 = 3^2 \implies x = 2\).
Тригонометрические уравнения в ЕГЭ база: формулы и отбор корней
Тригонометрические уравнения ЕГЭ база — это задание 13. Оно состоит из двух пунктов: а) найти общее решение, б) отобрать корни из заданного отрезка. Баллы за пункты начисляются отдельно.
Формулы общих решений
Косинус даёт две серии (с \(+\) и \(-\)), синус — одну с \((-1)^k\). Это различие критично при отборе корней.
Приведение к простейшему виду
Если уравнение не является простейшим, применяют тождества для сведения к одной функции:
Пример: \(2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\). Замена \(t = \cos x\), \(|t| \le 1\):
\[2t^2 - t - 1 = 0 \implies t = 1 \text{ или } t = -\frac{1}{2}\]
Оба значения принадлежат \([-1;\, 1]\). Далее решают два простейших уравнения: \(\cos x = 1\) и \(\cos x = -\tfrac{1}{2}\), применяя формулу для косинуса.
Отбор корней на отрезке
- Отбор корней (задание 13)
- Шаг 1. Найти ОДЗ (если уравнение содержит тангенс, дробь или логарифм)
- Шаг 2. Выписать все общие серии корней с параметром \(n \in \mathbb{Z}\)
- Шаг 3. Для каждой серии составить двойное неравенство \(a \le x_n \le b\)
- Шаг 4. Решить неравенство относительно целого \(n\), найти допустимые значения
- Шаг 5. Подставить найденные \(n\) и вычислить конкретные корни
- Шаг 6. Записать оба ответа: общее решение и отобранные корни
Типичная ошибка, которая встречается именно в задании 13:
По этой теме есть отдельный разбор: тригонометрические уравнения с помощью единичной окружности.
Рациональные уравнения в ЕГЭ база: ОДЗ и метод интервалов
Рациональное уравнение содержит переменную в знаменателе. ОДЗ — знаменатель не равен нулю. Главное правило:
Корень числителя, обращающий знаменатель в нуль, — посторонний.
Пример: \(\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0\)
\[\begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ x - 2 \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = \pm 2 \\ x \ne 2 \end{cases} \implies x = -2\]
Корень \(x = 2\) посторонний — отбрасывается.
Когда встречается дробно-рациональное неравенство, дробь на знаменатель с переменной не умножают. Применяют метод интервалов:
- Метод интервалов для дробно-рационального неравенства
- Шаг 1. Перенести всё в левую часть, справа оставить нуль (не умножать на знаменатель!)
- Шаг 2. Разложить числитель и знаменатель на множители
- Шаг 3. Найти нули числителя (кандидаты во включение при \(\le\) или \(\ge\)) и нули знаменателя (всегда выколоты)
- Шаг 4. Разметить точки на числовой оси, учесть кратность корней
- Шаг 5. Определить знак выражения на крайнем правом промежутке, чередовать знаки влево
- Шаг 6. Выписать промежутки нужного знака, аккуратно учесть граничные точки
Иррациональные уравнения в ЕГЭ база: система и отбор корней
Иррациональное уравнение содержит переменную под знаком квадратного корня. Прямое возведение в квадрат неравносильно: появляются посторонние корни. Корректный путь — переход к равносильной системе.
- Переход к равносильной системе
- Шаг 1. Записать условие ОДЗ: подкоренное выражение \(\ge 0\)
- Шаг 2. Поставить условие на правую часть уравнения: \(g(x) \ge 0\)
- Шаг 3. Заменить уравнение системой: правая часть \(\ge 0\) и уравнение в квадрате
- Шаг 4. Решить каждое условие системы
- Шаг 5. Взять пересечение всех решений — посторонние корни уже исключены
Пример: \(\sqrt{x + 6} = x\)
\[\begin{cases} x \ge 0 \\ x + 6 = x^2 \end{cases} \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies x = 3 \text{ или } x = -2\]
Проверка по первому условию: \(x = 3\) подходит; \(x = -2\) не подходит. Ответ: \(x = 3\).
Посторонний корень \(x = -2\) появился из-за возведения в квадрат — без системы он попал бы в ответ.
Типичные ошибки в уравнениях ЕГЭ база 2026: разбор по типам
Каждая ошибка ниже встречается в реальных работах и лишает балла при правильном методе. В скобках — тип уравнения из предыдущих разделов.
Коротко
- ОДЗ ищут первым делом — половина ошибок в уравнениях ЕГЭ база от забытого ОДЗ
- Дробь на знаменатель с переменной не умножают — только метод интервалов
- cos x = a даёт две серии (±), sin x = a — одну с \((−1)^k\), не путать
- Замена t = aˣ требует t > 0; замена t = sin x или cos x требует |t| ≤ 1
- Возведение в чётную степень допустимо только при неотрицательности обеих частей — иначе система
- В задании 13 для каждой серии корней перебирать n отдельно, двойным неравенством
- Система — пересечение решений, совокупность — объединение
Частые вопросы
Какие типы уравнений встречаются в ЕГЭ по математике базового уровня в 2026 году?
В базовом ЕГЭ шесть типов: линейные, квадратные, показательные, тригонометрические, рациональные (дробные) и иррациональные. Линейные и квадратные проверяются в алгебраических заданиях первой части; тригонометрические вынесены в задание 13, где помимо общего решения требуется отбор корней на заданном отрезке.
Нужно ли знать логарифмические уравнения для ЕГЭ база?
Логарифмические уравнения как отдельный тип практически не встречаются в базовом ЕГЭ — это область профильного уровня. Для зачёта достаточно знать шесть перечисленных типов. Свойства логарифма могут косвенно пригодиться, но специально готовиться к логарифмическим уравнениям ради базы не нужно.
Как правильно записывать общий ответ тригонометрического уравнения на ЕГЭ база?
Для косинуса: \(x = \pm \arccos a + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\). Для синуса: \(x = (-1)^k \arcsin a + \pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\). Параметр и его принадлежность \(\mathbb{Z}\) указывать обязательно. При «табличных» значениях аргументов арккосинус и арксинус записывают точно в радианах: например, \(\arccos \tfrac{1}{2} = \tfrac{\pi}{3}\).
Что такое ОДЗ и обязательно ли её проверять в уравнениях?
ОДЗ — область допустимых значений: множество \(x\), при которых все выражения уравнения определены. Проверка обязательна для рациональных, иррациональных уравнений и уравнений с логарифмами — там возможны посторонние корни. Для линейных, квадратных и показательных уравнений без дробей и корней ОДЗ — все вещественные числа, и отдельно записывать её не нужно.
Как избежать посторонних корней при решении иррациональных уравнений?
Использовать метод равносильной системы: вместо прямого возведения в квадрат записывать \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) как систему \(\{g(x) \ge 0,\; f(x) = g^2(x)\}\). Условие \(g(x) \ge 0\) гарантирует, что правая часть неотрицательна до возведения в квадрат — посторонние корни не появляются.
Чем отличаются уравнения в ЕГЭ база 2026 от варианта 2025?
По методам решения — ничем: структура экзамена, типы уравнений и критерии оценивания одинаковы в обоих вариантах. Меняются конкретные числа и формулировки задач. Разбор уравнений ЕГЭ база математика 2025 года в полной мере подходит для подготовки к 2026-му.
По этой теме есть отдельный разбор: все формулы ЕГЭ математика база 2026.
По этой теме есть отдельный разбор: тренировочные варианты ЕГЭ база 2026.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.