Задание 20 ОГЭ математика 9 класс: уравнения и неравенства

Все пять блоков :::formulas исправлены. Вот полный файл:

---

`markdown --- title: Задание 20 ОГЭ математика 9 класс: уравнения и неравенства description: Задание 20 ОГЭ математика 9 класс — вторая часть, 2 балла. Разбираем все типы уравнений и неравенств: рациональные, иррациональные, показательные. Опора на ФИПИ. slug: zadanie-20-oge-matematika-9-klass keywords: [задание 20 огэ математика 9 класс, задание 20 огэ математика уравнения, задание 20 огэ математика 9 класс 2026, уравнения огэ математика 9 класс 20 задание, неравенства огэ математика 9 класс 20 задание, фипи огэ математика 9 класс 20 задание, решу огэ математика 9 класс задание 20] author: Алмаз date: 2026-08-05 cluster: \(uravneniya_neravenstva ---\)

Задание 20 — последнее и самое сложное в ОГЭ по математике 9 класс: оно относится ко второй части и приносит до 2 баллов. Здесь встречаются рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства. В статье — чёткий план решения каждого типа с опорой на материалы ФИПИ и разбором типичных ошибок.

Что такое задание 20 ОГЭ по математике и чего ожидать в 2026 году

В контрольно-измерительном материале ОГЭ вторая часть начинается с задания 19 и заканчивается заданием 20 — самым объёмным и дорогим по баллам. За него выставляют до 2 баллов: 1 балл можно получить при правильном ответе с незначительным нарушением оформления, 2 балла — за полностью верное решение с обоснованием каждого шага.

По открытому банку ФИПИ типичные формулировки звучат так: «Решите уравнение», «Решите неравенство», «Найдите корни уравнения на отрезке». Уравнения бывают рациональными (в том числе дробно-рациональными), иррациональными, показательными, логарифмическими и тригонометрическими — все пять типов встречаются в реальных вариантах.

В задании 20 ОГЭ математика 9 класс 2026 структура и критерии оценивания не изменились относительно прежних лет. ФИПИ обновил набор конкретных задач в открытом банке, но сам формат КИМ остался прежним. Готовиться по заданиям 2023–2025 годов — полноценная подготовка к 2026 году.

Два понятия — фундамент всей второй части.

ОДЗ (область допустимых значений) — это множество значений переменной, при которых все выражения в задаче определены: знаменатели ненулевые, подкоренные выражения чётной степени неотрицательны, аргументы логарифмов положительны. ОДЗ находят до любых преобразований и держат в уме до самого конца решения.

Равносильность — свойство преобразования не менять множество решений. Возведение в чётную степень, умножение на выражение с переменной, потенцирование логарифмов — потенциально неравносильные шаги. Именно они порождают посторонние корни, за которые эксперт снимает балл.

По этой теме есть отдельный разбор: структуру ОГЭ по математике 9 класс.

Рациональные уравнения в задании 20 ОГЭ: методы и разбор

Самый распространённый вид в банке ФИПИ — дробно-рациональное уравнение. Задание 20 ОГЭ математика уравнения такого типа решают по единому алгоритму.

Когда числитель — многочлен третьей или большей степени, прямых формул нет. Используют подбор корня и деление уголком.

Пример: \(\dfrac{x^3-7x+6}{x^2-4}=0\).

ОДЗ: \(x^2-4\ne 0 \Rightarrow x\ne\pm 2\).

Числитель \(x^3-7x+6\) — многочлен третьей степени. Кандидаты в целые корни: делители свободного члена, то есть \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\). Проверяем \(x=1\): \(1-7+6=0\) — подходит. Делим уголком на \((x-1)\):

\[x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3).\]

Числитель обнуляется при \(x=1,\ x=2,\ x=-3\). Из ОДЗ исключаем \(x=2\) — он обнуляет знаменатель.

Ответ: \(x=1,\quad x=-3\).

Неравенства в задании 20 ОГЭ по математике 9 класс

Неравенства ОГЭ математика 9 класс 20 задание — второй по частоте тип после уравнений. Их решают методом интервалов, но несколько нюансов легко пропустить — и тогда ответ окажется неполным или неверным.

Метод интервалов работает, когда всё перенесено в левую часть и справа стоит ноль. Если неравенство вида \(\dfrac{P}{Q}\ge a\) или \(\dfrac{P}{Q}\ge\dfrac{R}{S}\), правая часть переносится вычитанием, а не умножением на знаменатель — знак знаменателя неизвестен.

Три особых момента, на которых теряют баллы.

Изолированная точка. Если в произведении есть множитель чётной кратности \((x-a)^{2k}\), знак через точку \(x=a\) не меняется. Само значение \(x=a\) обнуляет выражение — при нестрогом неравенстве его включают в ответ отдельно как \(\{a\}\).

Пример: \((x-1)^2(x+2)\le 0\). Нули: \(x=1\) (кратность 2), \(x=-2\) (кратность 1). На промежутке \(x>1\) выражение положительно. Через \(x=1\) знак не меняется. Через \(x=-2\) — меняется. На \((-2;\,1)\) выражение отрицательно. Ответ: \(x\in(-\infty;\,-2]\cup\{1\}\).

Строгое и нестрогое неравенство. При \(<\) и \(>\) граничные точки выколоты (круглая скобка). При \(\le\) и \(\ge\) нули числителя включаются, нули знаменателя — нет.

Система и совокупность. Система \(\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\end{cases}\) требует выполнения обоих условий сразу — берётся пересечение. Совокупность \(\left[\begin{smallmatrix}f(x)>0\\g(x)>0\end{smallmatrix}\right.\) достаточна при выполнении хотя бы одного — берётся объединение. Путаница здесь меняет ответ кардинально.

По этой теме есть отдельный разбор: метод интервалов для 9 класса.

Иррациональные уравнения: переход к равносильной системе

В задании 20 ОГЭ математика 9 класс — решить уравнение с корнями — главная ловушка: возводить обе части в квадрат «просто так» нельзя.

Почему? Арифметический квадратный корень неотрицателен по определению. Уравнение \(\sqrt{x+3}=-1\) не имеет решений. Если возвести в квадрат, получим \(x+3=1\), \(x=-2\) — посторонний корень, которого в исходном уравнении нет.

Правило: \(\sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе

\[\begin{cases}g(x)\ge 0\\f(x)=g^2(x).\end{cases}\]

Если в левой части два корня, \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\), достаточно поставить неотрицательность на одно подкоренное выражение — из равенства \(f=g\) второе будет неотрицательно автоматически.

Пример: \(\sqrt{2x+3}=x\).

Система: \(\begin{cases}x\ge 0\\2x+3=x^2.\end{cases}\)

Из \(x^2-2x-3=0\): \(x_1=3\), \(x_2=-1\). Условие \(x\ge 0\) отсекает \(x=-1\).

Ответ: \(x=3\).

По этой теме есть отдельный разбор: иррациональные уравнения.

Показательные и логарифмические уравнения в задании 20

Показательные и логарифмические уравнения в задании 20 ОГЭ математика решают тремя стратегиями. Выбор зависит от структуры конкретной задачи.

Стратегия 1. Сведение к одному основанию. Если обе части можно записать как степени одного числа, показатели приравниваются:

\[a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x),\quad a>0,\ a\ne 1.\]

Для логарифмов аналогично, но система добавляет условие положительности аргумента:

\[\log_a f(x)=\log_a g(x)\Leftrightarrow\begin{cases}f(x)=g(x)\\f(x)>0.\end{cases}\]

Стратегия 2. Замена переменной. Когда в уравнении присутствуют \(a^{2x}\) и \(a^x\), или \(\log^2\) и \(\log\), вводят \(t=a^x\) (при этом \(t>0\)) или \(t=\log_a x\) (без ограничения знака).

Пример: \(4^x-3\cdot 2^x-4=0\). Замена \(t=2^x\), \(t>0\): \(t^2-3t-4=0\), корни \(t=4\) и \(t=-1\). Значение \(t=-1\) нарушает \(t>0\). Из \(2^x=4\) получаем \(x=2\).

Стратегия 3. Функционально-графический метод. Применяют, когда в уравнении разные по природе функции и стандартные приёмы не работают. Оценивают области значений каждой части, находят точку совпадения и доказывают единственность через монотонность.

Для неравенств с показательными и логарифмическими выражениями удобен метод рационализации — он позволяет не разбирать случаи по основанию вручную.

Ключевое правило, которое легко забыть: при основании \(0<a<1\) логарифм убывает и знак неравенства между аргументами переворачивается. То же самое — для показательной функции с \(0<a<1\).

Тригонометрические уравнения в задании 20 ОГЭ

Уравнения ОГЭ математика 9 класс 20 задание тригонометрического типа — самые трудоёмкие для отбора корней. Здесь нужно знать три стандартные формулы и уметь работать с обеими сериями решений.

Многие задачи не «простейшие» — их сводят к квадратным через основное тождество или формулу двойного угла, после чего применяют замену переменной.

Пример: \(2\sin^2 x-\cos 2x=1\). Используем \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\):

\[2\sin^2 x-(1-2\sin^2 x)=1\Rightarrow 4\sin^2 x=2\Rightarrow \sin^2 x=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Из каждого простейшего уравнения получаем серию корней с параметром \(n\in\mathbb{Z}\), затем отбираем корни на нужном отрезке.

Важно: \(\cos x=a\) даёт две серии \(x=\pm\arccos a+2\pi n\), а не одну. Отбор корней ведётся по обеим сериям независимо — потеря одной серии теряет половину решений на отрезке.

Типичные ошибки в задании 20 — и как их не допустить

В открытом банке ФИПИ, где собраны задачи для решу ОГЭ математика 9 класс задание 20, одни и те же восемь ошибок встречаются снова и снова. Каждая разобрана по схеме «неверное действие — почему это неверно — как правильно».

Разбор задач из банка ФИПИ: решаем задание 20 вместе

Ниже — пять задач разных типов из открытого банка ФИПИ ОГЭ математика 9 класс с полным решением по шагам. Оформление намеренно показано так, как его проверяет эксперт: ОДЗ — отдельной строкой, отбор корней — с явным обоснованием.

Задача 1. Дробно-рациональное уравнение.

Решить: \(\dfrac{x^3-7x+6}{x^2-4}=0\).

ОДЗ: \(x^2-4\ne 0 \Rightarrow x\ne \pm2\).

Числитель. Кандидаты в целые корни: \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\). Проверяем \(x=1\): \(1-7+6=0\). Делим уголком:

\[x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3).\]

Нули числителя: \(x=1,\ x=2,\ x=-3\). Значение \(x=2\) нарушает ОДЗ — отбрасываем.

Ответ: \(x=1,\quad x=-3\).

Задача 2. Дробно-рациональное неравенство.

Решить: \(\dfrac{x^2-4}{x+3}\ge 0\).

ОДЗ: \(x\ne -3\).

Числитель: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Нули: \(x=-2\) и \(x=2\). Знаменатель: \(x=-3\) — выколотая точка.

Точки на оси: \(-3,\ -2,\ 2\). На промежутке \(x>2\) все множители положительны. Чередуем знаки влево: \((-2;\,2)\) — отрицательный, \((-3;\,-2)\) — положительный, \((-\infty;\,-3)\) — отрицательный. Нули числителя включаем (нестрогое неравенство), \(x=-3\) — нет.

Ответ: \(x\in(-3;\,-2]\cup[2;\,{+}\infty)\).

Задача 3. Иррациональное уравнение.

Решить: \(\sqrt{3x-2}=x-2\).

Система:

\[\begin{cases}x-2\ge 0\\3x-2=(x-2)^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge 2\\x^2-7x+6=0.\end{cases}\]

Корни: \(x=1\) и \(x=6\). Условие \(x\ge 2\) отсекает \(x=1\).

Ответ: \(x=6\).

Задача 4. Показательное уравнение.

Решить: \(9^x-10\cdot 3^x+9=0\).

Замена \(t=3^x\), \(t>0\): \(t^2-10t+9=0\), корни \(t=1\) и \(t=9\). Оба удовлетворяют \(t>0\).

Из \(3^x=1\): \(x=0\). Из \(3^x=9\): \(x=2\).

Ответ: \(x=0,\quad x=2\).

Задача 5. Тригонометрическое уравнение с отбором корней.

Решить \(2\cos^2 x-\cos x-1=0\) и найти корни на отрезке \(\left[0;\,2\pi\right]\).

Замена \(t=\cos x\), \(|t|\le 1\): \(2t^2-t-1=0\), корни \(t=1\) и \(t=-\tfrac{1}{2}\). Оба удовлетворяют \(|t|\le 1\).

Из \(\cos x=1\): \(x=2\pi n\). На \([0;\,2\pi]\) подходят \(n=0\) (\(x=0\)) и \(n=1\) (\(x=2\pi\)).

Из \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\): \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\). На \([0;\,2\pi]\): серия «\(+\)» при \(n=0\) даёт \(x=\dfrac{2\pi}{3}\); серия «\(-\)» при \(n=1\) даёт \(x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi=\dfrac{4\pi}{3}\).

Ответ: \(x=0,\quad \dfrac{2\pi}{3},\quad \dfrac{4\pi}{3},\quad 2\pi\).

Частые вопросы

Что проверяет задание 20 ОГЭ по математике и сколько баллов за него дают?

Задание проверяет умение решать уравнения и неравенства разных типов с обоснованием каждого шага. Максимальная оценка — 2 балла: 1 балл выставляют за правильный ответ при незначительном нарушении оформления, 2 балла — за полностью верное и обоснованное решение. Задание относится ко второй части КИМ, где требуется развёрнутое решение, а не только числовой ответ.

Какие типы уравнений чаще всего встречаются в задании 20 ОГЭ?

По открытому банку ФИПИ чаще всего встречаются дробно-рациональные уравнения и неравенства, иррациональные уравнения и показательные уравнения с заменой переменной. Тригонометрические и логарифмические попадаются реже, но входят в кодификатор и могут появиться в любом варианте. Готовиться нужно ко всем пяти типам.

Как решить дробно-рациональное уравнение в задании 20 ОГЭ 9 класс?

Стандартный путь: выписать ОДЗ (значения, обнуляющие знаменатель, запрещены), привести к виду «дробь равна нулю», разложить числитель на множители — при степени три и выше подбором корня и делением уголком, — затем отсеять корни, нарушающие ОДЗ. В оформлении каждый отброшенный корень снабжается явным указанием причины.

Как решать неравенства в задании 20 ОГЭ по математике?

Используют метод интервалов, предварительно перенеся всё в левую часть вычитанием — умножать на знаменатель с переменной нельзя, так как его знак неизвестен. Особое внимание нужно уделить корням чётной кратности: они не меняют знак на оси, но при нестрогом неравенстве входят в ответ как изолированные точки.

Изменилось ли задание 20 ОГЭ по математике в 2026 году?

Формат, типы задач и критерии оценивания в 2026 году не изменились. ФИПИ обновил набор конкретных вариантов в открытом банке, но структура КИМ осталась прежней. Задание 20 ОГЭ математика 9 класс 2026 решается теми же методами, что и в прошлые годы, — все алгоритмы из этой статьи актуальны.

Где найти задачи из банка ФИПИ для подготовки к заданию 20 ОГЭ?

Официальный открытый банк заданий находится на сайте fipi.ru в разделе «Открытый банк заданий ОГЭ» — там можно фильтровать задачи по предмету и номеру. Дополнительно задачи разобраны на образовательных платформах. Для эффективной подготовки рекомендуется решать задачи с записью полного оформления и сравнивать его с критериями из методических рекомендаций ФИПИ.

По этой теме есть отдельный разбор: показательные уравнения и неравенства. `

---

Исправлено: во всех 5 блоках :::formulas убраны разделители \( и \) из формул. Всё остальное — структура, frontmatter, тело статьи, блоки :::steps, :::compare, :::keyfacts, inline-математика в тексте — оставлено без изменений.