Статья объясняет, что такое биссектриса треугольника, какие у неё ключевые свойства и как по ней вычислять длину. Вы узнаете, как биссектриса делит стороны, какие формулы применяются и как избегать типичных ошибок.
Что такое биссектриса треугольника: определение и основные понятия
Биссектриса угла треугольника — это отрезок, проведённый из вершины угла до противоположной стороны и делящий этот угол пополам. По определению биссектриса треугольника это отрезок, который начинается в вершине и заканчивается на стороне, противоположной этой вершине. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой, а в равностороннем треугольнике все три замечательные линии совпадают. Таким образом, фраза «биссектриса треугольника это медиана» верна только для特殊ных случаев, а в общем случае биссектриса отличается от медианы и высоты.
Для удобства обозначим треугольник \(ABC\) с вершиной \(A\), где проведём биссектрису \(AD\). Точка \(D\) лежит на стороне \(BC\). Основное свойство, которое следует из определения, записывается как
\[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. \]
Это соотношение будет использовано в дальнейшем для нахождения отрезков и длины биссектрисы.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Свойства биссектрисы: что она делит и как связано со сторонам
Свойство биссектрисы гласит, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Это означает, что если известны длины сторон \(AB\) и \(AC\), то отношение \(BD:DC\) будет таким же. Из этого следует, что биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена, только в том случае, когда прилежащие стороны равны (равнобедренный треугольник). В равнобедренном треугольникe биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой и медианой, поэтому утверждение «биссектриса равнобедренного треугольника это высота» является корректным.
В прямоугольном треугольнике биссектриса угла, отличного от прямого, не совпадает ни с высотой, ни с медианой, но всё равно сохраняет свойство деления стороны пропорционально прилежащим сторонам. биссектриса прямоугольного треугольника это отрезок, который делит гипотенузу на части, пропорциональные прилежащим катетам. В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны, поэтому биссектриса равностороннего треугольника это отрезок, который одновременно является высотой, медианой и bisector, а его длина связана со стороной через формулу
\[ l=\frac{a\sqrt3}{2}, \]
что также следует из утверждения «биссектриса равностороннего треугольника равна этого треугольника» (имеется в виду, что биссектриса равна высоте, а высота равна \(\frac{a\sqrt3}{2}\)).
Для нахождения отрезков \(BD\) и \(DC\) удобно ввести параметр \(x\):
\[ BD = \frac{AB}{AB+AC}\cdot BC,\qquad DC = \frac{AC}{AB+AC}\cdot BC. \]
Эти выражения непосредственно следуют из свойства биссектрисы и позволяют решить множество типовых задач.
основания биссектрис треугольника это точки D, E, F, где каждая биссектриса пересекает противоположную сторону.
Коротко
- Биссектриса делит сторону пропорционально прилежащим сторонам.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса к основанию совпадает с медианой и высотой.
- В равностороннем треугольнике биссектриса, медиана и высота совпадают и равны \(\frac{a\sqrt3}{2}\).
Формула длины биссектрисы и способы её нахождения
Длина биссектрисы можно выразить через стороны треугольника и прилежащий угол. Существует две эквивалентные формулы:
- 1. Через стороны и отрезки, на которые биссектриса делит сторону:
\[ l_a^2 = bc - BD\cdot DC, \]
где \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), а \(BD\) и \(DC\) — отрезки, определённые выше.
- 2. Через прилежащие стороны и угол \(\alpha\) при вершине \(A\):
\[ l_a = \frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}. \]
Эта формула удобна, когда известны две стороны и угол между ними.
Пример вычисления через теорему косинусов
Пусть в треугольнике \(ABC\) известны стороны \(AB=10\), \(AC=3\) и угол \(\angle A=60^\circ\). Требуется найти длину биссектрисы \(AD\).
Шаг 1. Находим сторону \(BC\) по теореме косинусов:
\[ BC^2 = AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos60^\circ = 10^2+3^2-2\cdot10\cdot3\cdot\frac12 = 100+9-30 = 79, \] \[ BC = \sqrt{79}. \]
Шаг 2. По свойству биссектрисы делим сторону \(BC\) пропорционально сторонам \(AB\) и \(AC\):
\[ BD = \frac{AB}{AB+AC}\cdot BC = \frac{10}{13}\sqrt{79},\qquad DC = \frac{3}{13}\sqrt{79}. \]
Шаг 3. Применяем формулу \(l_a^2 = bc - BD\cdot DC\):
\[ l_a^2 = 10\cdot3 - \left(\frac{10}{13}\sqrt{79}\right)\!\left(\frac{3}{13}\sqrt{79}\right) = 30 - \frac{30\cdot79}{169} = 30\left(1-\frac{79}{169}\right) = 30\cdot\frac{90}{169} = \frac{2700}{169}, \] \[ l_a = \sqrt{\frac{2700}{169}} = \frac{\sqrt{2700}}{13} = \frac{30\sqrt3}{13}. \]
Ответ: длина биссектрисы равна \(\displaystyle \frac{30\sqrt3}{13}\).
Пример вычисления через теорему синусов
Если известны две стороны и угол, противолежащий одной из них, удобно сначала найти недостающий угол через теорему синусов, а затем применить формулу длины биссектрисы через угол.
Шаг 1. По теореме синусов находим угол \(\beta\) или \(\gamma\). Шаг 2. Вычисляем \(\frac{\alpha}{2}\) и подставляем в
\[ l_a = \frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}. \]
Шаг 3. Получаем численное значение.
Подобные расчёты показывают, что знание свойства биссектрисы и умение пользоваться теоремой косинусов и синусов позволяют решать задачи типа «найдите биссектрису этого треугольника» без лишних затруднений.
- Решение через теорему косинусов
- Шаг 1: Обозначьте стороны a, b, c и углы α, β, γ так, чтобы искомая сторона лежала против известного угла.
- Шаг 2: Для стороны подставьте \(c^2=a^2+b^2-2ab\cosγ\) и извлеките корень.
- Шаг 3: Для угла выразите \(cosγ=(a^2+b^2-c^2)/(2ab\)) и найдите угол через арккосинус.
- Шаг 4: Проверьте разумность: против большего угла должна лежать большая сторона.
- Решение через теорему синусов
- Шаг 1: Найдите недостающий угол из условия α+β+γ=180°, если известны два угла.
- Шаг 2: Запишите пропорцию a/sinα = b/sinβ и выразите искомую сторону.
- Шаг 3: Для радиуса используйте a/sinα=2R, откуда R=a/(2sinα).
- Шаг 4: Следите за случаем двух решений (тупой/острый угол), если дана сторона против меньшего угла.
Коротко
- Длина биссектрисы через стороны: \(l_a^2=bc-\dfrac{a^2bc}{(b+c)^2}\).
- Длина биссектрисы через угол: \(l_a=\dfrac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}\).
- В равнобедренном треугольнике биссектриса к основанию равна высоте: \(h=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}\).
- В равностороннем треугольнике биссектриса = медиана = высота = \(\frac{a\sqrt3}{2}\).
Частые вопросы
Вопрос? Может ли биссектриса быть одновременно медианой и высотой в произвольном треугольнике? Ответ: Только в равнобедренном треугольнике, когда биссектриса проведена к основанию, она совпадает с медианой и высотой. В общем случае эти три линии различны.
Вопрос? Как найти отрезки, на которые биссектриса делит сторону, если известны только стороны треугольника? Ответ: Используйте свойство биссектрисы \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\) и тот факт, что \(BD+DC=BC\). Тогда \(BD=\frac{AB}{AB+AC}\cdot BC\), \(DC=\frac{AC}{AB+AC}\cdot BC\).
Вопрос? Нужно ли запоминать обе формулы длины биссектрисы? Ответ: Да, обе формулы полезны. Первая удобна, когда известны стороны и отрезки, вторая — когда известны две стороны и прилежащий угол. Выбирайте ту, которая требует меньше промежуточных вычислений.
По этой теме есть отдельный разбор: медиана треугольника.
По этой теме есть отдельный разбор: описанная окружность треугольника.
По этой теме есть отдельный разбор: планиметрия ЕГЭ профиль.
Утверждение, что биссектриса прямоугольного треугольника это гипотенуза, верно только в вырожденном случае, когда треугольник вырождается в отрезок.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.