Формулы по алгебре 9 класс: полная шпаргалка к ОГЭ

Все 9 блоков исправлены. Вот полный файл:

--- title: Формулы по алгебре 9 класс: полная шпаргалка к ОГЭ description: Формулы по алгебре в 9 классе на одной странице: тождества, тригонометрия, функции и планиметрия — все темы ОГЭ. Подготовьтесь к экзамену по шпаргалке. slug: formuly-po-algebre-v-9-klasse keywords: [формулы по алгебре в 9 классе, формулы тригонометрия 9 класс, как решать графики функции 9 класс, основные фигуры факты и теоремы планиметрии, шпаргалка алгебра 9 класс ОГЭ] author: Алмаз date: 2026-08-31 cluster: ege ---

Формулы сокращённого умножения и степеней

Базовые тождества алгебры — первое, что стоит отработать при подготовке. Формулы по алгебре в 9 классе опираются именно на них: без уверенного знания сокращённого умножения трудно быстро справиться с задачами на разложение и упрощение.

Разность квадратов — самая частая: её применяют каждый раз, когда нужно разложить выражение вида \( A^2 - B^2 \). Квадрат суммы или разности нужен при раскрытии скобок и при выделении полного квадрата. Кубические формулы чаще встречаются в заданиях на разложение на множители.

Степени и корни

Квадратные уравнения и прогрессии

Квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) решается через дискриминант — им определяется не только значение корней, но и их количество.

Теорема Виета позволяет проверить корни или подобрать их для приведённого уравнения (\( a = 1 \)):

Арифметическая прогрессия — разность любых двух соседних членов постоянна и равна \( d \).

Геометрическая прогрессия — каждый следующий член получается умножением на знаменатель \( q \ne 0 \).

Формулы тригонометрии 9 класс

В курсе тригонометрии 9 класса sin, cos и tg определяются через стороны прямоугольного треугольника.

Основное тригонометрическое тождество — первое, что стоит проверить, когда нужно упростить выражение с квадратами тригонометрических функций:

\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]

Из него немедленно следуют: \( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \) и \( \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha \).

Значения для стандартных углов

| | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) | |---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | \(\sin\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | | \(\cos\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | | \(\operatorname{tg}\) | \(0\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | не определён |

Мнемоника для строки синуса: числитель под корнем растёт от 0 до 4 — \(\sqrt{0},\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\), делённые на 2. Строка косинуса — та же последовательность в обратном порядке.

Формулы приведения

Правило запоминания: операции с 90° меняют функцию (sin ↔ cos), операции со 180° — не меняют. Знак определяется по знаку исходной функции в соответствующем квадранте.

Графики функций 9 класс: как читать и решать задачи

Навык читать и решать задачи по графикам функций в 9 классе проверяется в нескольких заданиях каждого варианта ОГЭ. Достаточно уверенно знать вид пяти основных кривых.

Линейная функция \( y = kx + b \) — прямая линия; \( k \) — угловой коэффициент (наклон), \( b \) — смещение по оси \( Oy \). При \( k > 0 \) возрастает, при \( k < 0 \) — убывает. Нуль функции: \( x = -b/k \).

Квадратная функция \( y = ax^2 + bx + c \) — парабола с вершиной при \( x_0 = -b/(2a) \). При \( a > 0 \) ветви вверх (минимум), при \( a < 0 \) — вниз (максимум). Ось симметрии — вертикальная прямая \( x = x_0 \).

Обратная пропорциональность \( y = k/x \) — гипербола; не определена при \( x = 0 \). При \( k > 0 \) расположена в I и III четвертях, при \( k < 0 \) — во II и IV.

Функция \( y = \sqrt{x} \) — определена при \( x \ge 0 \), монотонно возрастает. Начинается из начала координат: правая ветвь «лежащей» параболы.

Функция \( y = |x| \) — V-образная форма с вершиной в начале координат. При \( x \ge 0 \) совпадает с \( y = x \), при \( x < 0 \) — с \( y = -x \).

Алгоритм решения задач по графику

Основные фигуры, факты и теоремы планиметрии

Основные фигуры, факты и теоремы планиметрии занимают значительную часть каждого варианта ОГЭ. Ниже — формулы, которые нужно знать наизусть (часть из них есть в справочном листе, но искать медленнее, чем помнить).

Площади и периметры

Теорема Пифагора — для прямоугольного треугольника с гипотенузой \( c \):

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Теорема косинусов — связывает стороны и угол произвольного треугольника:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \]

Теорема синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

где \( R \) — радиус описанной окружности; сторона всегда стоит напротив своего угла.

Признаки подобия треугольников

Как пользоваться шпаргалкой на экзамене

На ОГЭ по математике выдаётся справочный лист — в нём есть формулы площадей и объёмов геометрических тел. Алгебраических тождеств, тригонометрии и прогрессий там нет: эти формулы по алгебре нужно знать наизусть.

Что есть в справочном листе ОГЭ: площади треугольника, прямоугольника, трапеции; объёмы прямоугольного параллелепипеда, цилиндра, конуса, шара и их площади поверхностей. Алгебра и тригонометрия — только из памяти.

Как быстро вспомнить нужную формулу во время решения

Типичные ошибки при подстановке

Частые вопросы

Как решать задачи с графиками функций в 9 классе?

Определяем тип функции по форме кривой. Нули функции — точки пересечения с осью \(Ox\): просто смотрим, при каких \(x\) график проходит через ось. Пересечение двух графиков даёт решение уравнения \(f(x) = g(x)\): абсцисса общей точки и есть ответ. Промежутки, где один график выше другого, соответствуют неравенству \(f(x) > g(x)\).

Какие формулы обязательно нужно знать к ОГЭ по математике?

Из алгебры: формулы сокращённого умножения, дискриминант и формула корней, теорема Виета, формулы n-го члена и суммы для обеих прогрессий. Из тригонометрии: определения sin/cos/tg, основное тождество, таблица значений для 30°, 45°, 60°. Из геометрии: теорема Пифагора, площади основных фигур, теоремы синусов и косинусов.

Что такое основное тригонометрическое тождество и как его применять?

Это равенство \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \), верное для любого угла \(\alpha\). Применяют, когда в задаче дана одна функция, а нужна другая: если известен \(\sin\alpha\), то \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\), а сам \(\cos\alpha\) — квадратный корень из этого значения (знак определяется по условию задачи или квадранту).

Как найти нули функции по графику?

Нули функции — значения \(x\), при которых \(y = 0\). На графике это точки пересечения кривой с осью \(Ox\). Смотрим, где именно кривая проходит через горизонтальную ось, и записываем соответствующие значения \(x\). Если кривая касается оси, не пересекая её, этот нуль считается нулём чётной кратности.

Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?

В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности \(d\): \( a_n = a_1 + (n-1)d \). В геометрической — умножением на постоянный знаменатель \(q\): \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). Ключевой признак при определении типа: если разность соседних членов постоянна — прогрессия арифметическая; если постоянно их отношение — геометрическая.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы алгебры 8 класса.

По этой теме есть отдельный разбор: как строить графики функций.

По этой теме есть отдельный разбор: теорема косинусов и теорема синусов.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы по геометрии 9 класс ОГЭ.

---

Исправлено: во всех 9 блоках :::formulas удалены обёртки \( \) вокруг TeX — формулы теперь голый LaTeX без делимитеров. Всё остальное (frontmatter, тело, :::compare, :::keyfacts, :::steps, инлайн-формулы в тексте) не тронуто.