Как найти угол между прямыми по координатам: формулы

Исправляю все три блока :::formulas — убираю \( \) из формул (правило распространяется на весь компонент).

---

`markdown --- title: Как найти угол между прямыми по координатам: формулы description: Как найти угол между прямыми по координатам — три способа: через направляющие векторы, коэффициенты наклона и уравнения прямых. Формулы и примеры для ЕГЭ/ОГЭ. slug: kak-najti-ugol-mezhdu-pryamymi-po-koordinatam keywords: [как найти угол между прямыми по координатам, как найти угол между прямыми на плоскости, как найти угол между прямыми заданными уравнениями, как найти угол между прямыми формула, угол между прямыми, формула угла между прямыми] author: Алмаз date: 2026-07-31 cluster: \(vektory_koord ---\)

Что такое угол между прямыми на плоскости

Когда две прямые пересекаются, они образуют четыре угла — два острых (или прямых) и два тупых (или прямых). Угол между прямыми на плоскости принято считать наименьшим из двух смежных: он всегда лежит в диапазоне от \(0°\) до \(90°\).

Два частных случая стоит запомнить отдельно:

• - параллельные прямые образуют угол \(0°\) — направляющие векторы коллинеарны: \(\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{b} = k\vec{a}\);
• - перпендикулярные прямые образуют угол \(90°\).

Геометрически это выглядит так: при пересечении прямых выбирают один из двух несмежных углов — тот, что не тупой. Если оба угла прямые, результат однозначен.

Ключевую роль в вычислениях играет направляющий вектор — любой вектор, параллельный прямой. У каждой прямой таких векторов бесконечно много, но все они коллинеарны, и для подстановки в формулу подойдёт любой из них.

---

Как найти угол между прямыми по координатам: метод векторов

Это основной инструмент для задач, где прямые заданы координатами точек. Чтобы найти угол между прямыми по координатам, достаточно пяти шагов.

Модуль в числителе — не опциональный шаг. Направляющий вектор прямой можно задать в двух противоположных направлениях, и угол между самими векторами может оказаться тупым. Модуль косинуса «переворачивает» тупой угол в острый, возвращая угол именно между прямыми.

Пример. Прямая \(\ell_1\) проходит через \(A(1;\,0)\) и \(B(4;\,3)\), прямая \(\ell_2\) — через \(C(0;\,2)\) и \(D(3;\,0)\).

\[ \vec{a} = \overrightarrow{AB} = \{4-1;\;3-0\} = \{3;\;3\},\quad \vec{b} = \overrightarrow{CD} = \{3-0;\;0-2\} = \{3;\;-2\}. \]

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3\cdot3 + 3\cdot(-2) = 9 - 6 = 3. \]

\[ |\vec{a}| = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2},\quad |\vec{b}| = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}. \]

\[ \cos\varphi = \frac{|3|}{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{13}} = \frac{3}{3\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}. \]

\[ \varphi = \arccos\frac{\sqrt{26}}{26} \approx 78{,}7°. \]

---

Формула угла между прямыми через коэффициенты наклона

Если прямые записаны в виде \(y = k_1 x + b_1\) и \(y = k_2 x + b_2\), формула через угловые коэффициенты часто быстрее.

Вывод формулы прозрачен: направляющие векторы прямых равны \(\{1;\,k_1\}\) и \(\{1;\,k_2\}\), скалярное произведение даёт \(1 + k_1 k_2\), а «векторное» (псевдоскалярное) произведение — \(k_1 - k_2\). Отношение — и есть тангенс угла между ними.

Частные случаи:

• - \(k_1 = k_2\) — числитель нулевой, \(\tan\varphi = 0\), прямые параллельны (\(\varphi = 0°\)).
• - \(k_1 \cdot k_2 = -1\) — знаменатель нулевой, \(\tan\varphi \to \infty\), прямые перпендикулярны (\(\varphi = 90°\)).

Пример. Найти угол между прямыми \(y = 3x - 1\) и \(y = \tfrac{1}{2}x + 4\).

\[ \tan\varphi = \left|\frac{3 - \tfrac{1}{2}}{1 + 3 \cdot \tfrac{1}{2}}\right| = \left|\frac{\tfrac{5}{2}}{\tfrac{5}{2}}\right| = 1. \]

\[ \varphi = \arctan 1 = 45°. \]

---

Как найти угол между прямыми, заданными уравнениями

Прямая вида \(Ax + By + C = 0\) задаёт нормальный вектор \(\vec{n} = \{A;\,B\}\) — вектор, перпендикулярный прямой. Направляющий вектор получается поворотом нормального на \(90°\): \(\vec{d} = \{-B;\,A\}\).

Для двух прямых \(A_1 x + B_1 y + C_1 = 0\) и \(A_2 x + B_2 y + C_2 = 0\) угол между нормалями совпадает с углом между самими прямыми (или является его дополнением до \(180°\) — потому модуль снова обязателен).

Задача в стиле ЕГЭ. Найти угол между прямыми \(3x + 4y - 5 = 0\) и \(x - 2y + 1 = 0\).

Нормальные векторы: \(\vec{n}_1 = \{3;\,4\}\), \(\vec{n}_2 = \{1;\,-2\}\).

\[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 3\cdot1 + 4\cdot(-2) = 3 - 8 = -5. \]

\[ |\vec{n}_1| = \sqrt{9+16} = 5,\quad |\vec{n}_2| = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}. \]

\[ \cos\varphi = \frac{|-5|}{5\cdot\sqrt{5}} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}. \]

\[ \varphi = \arccos\frac{\sqrt{5}}{5} \approx 63{,}4°. \]

---

Типичные ошибки при нахождении угла между прямыми

---

Разбор задач ЕГЭ и ОГЭ: угол между прямыми на плоскости

Задача 1. Прямые заданы координатами точек (ОГЭ-формат)

Прямая \(\ell_1\) проходит через \(A(0;\,4)\) и \(B(3;\,1)\), прямая \(\ell_2\) — через \(C(1;\,0)\) и \(D(4;\,6)\). Найти угол между прямыми.

Решение.

\[ \vec{a} = \overrightarrow{AB} = \{3-0;\;1-4\} = \{3;\;-3\},\quad \vec{b} = \overrightarrow{CD} = \{4-1;\;6-0\} = \{3;\;6\}. \]

\[ \vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot3 + (-3)\cdot6 = 9 - 18 = -9. \]

\[ |\vec{a}| = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2},\quad |\vec{b}| = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}. \]

\[ \cos\varphi = \frac{|-9|}{3\sqrt{2}\cdot3\sqrt{5}} = \frac{9}{9\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}. \]

\[ \varphi = \arccos\frac{\sqrt{10}}{10} \approx 71{,}6°. \]

Проверка: скалярное произведение — число (−9), модуль взят до деления, ответ меньше \(90°\). Оформление корректно.

---

Задача 2. Прямые заданы уравнениями (ЕГЭ-формат)

Найти угол между прямыми, как найти угол между прямыми, заданными уравнениями \(x + \sqrt{3}\,y - 2 = 0\) и \(\sqrt{3}\,x - y + 5 = 0\).

Решение.

Нормальные векторы: \(\vec{n}_1 = \{1;\,\sqrt{3}\}\), \(\vec{n}_2 = \{\sqrt{3};\,-1\}\).

\[ \vec{n}_1\cdot\vec{n}_2 = 1\cdot\sqrt{3} + \sqrt{3}\cdot(-1) = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0. \]

Скалярное произведение равно нулю — прямые перпендикулярны, \(\varphi = 90°\).

Проверка через угловые коэффициенты: из первого уравнения \(k_1 = -\tfrac{1}{\sqrt{3}}\), из второго \(k_2 = \sqrt{3}\). Произведение \(k_1 \cdot k_2 = -\tfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3} = -1\) — условие перпендикулярности выполнено.

---

Частые вопросы

Как найти угол между прямыми по координатам?

Берут две точки каждой прямой, строят направляющие векторы по правилу «конец минус начало», вычисляют скалярное произведение и длины векторов, подставляют в формулу \(\cos\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\). Модуль в числителе обязателен — без него при тупом угле между векторами ответ окажется неверным.

Как найти угол между прямыми на плоскости, если они параллельны или перпендикулярны?

Параллельные прямые дают угол \(0°\): их направляющие векторы коллинеарны (\(\tfrac{a_x}{b_x} = \tfrac{a_y}{b_y}\)), \(|\cos\varphi| = 1\). Перпендикулярные — угол \(90°\): скалярное произведение направляющих или нормальных векторов равно нулю, \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\).

Как найти угол между прямыми, заданными уравнениями \(Ax + By + C = 0\)?

Из каждого уравнения читают нормальный вектор \(\{A;\,B\}\) и подставляют в формулу \(\cos\varphi = \dfrac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2}}\). Это та же формула косинуса угла между векторами, только для нормалей.

Какую формулу угла между прямыми использовать в ЕГЭ?

Выбор зависит от условия. Прямые заданы точками — используют направляющие векторы и формулу косинуса. Прямые в виде \(y = kx + b\) — формулу \(\tan\varphi = \left|\dfrac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2}\right|\). Общие уравнения \(Ax + By + C = 0\) — формулу через нормальные векторы. Во всех случаях итоговый угол должен быть в пределах от \(0°\) до \(90°\).

По этой теме есть отдельный разбор: направляющий вектор прямой.

По этой теме есть отдельный разбор: угловой коэффициент k прямой.

По этой теме есть отдельный разбор: арктангенс модуля разности коэффициентов.

По этой теме есть отдельный разбор: угол между прямыми в кубе на ЕГЭ. `

Исправлено: во всех трёх блоках :::formulas убраны обёртки \( \) вокруг TeX-формул. Остальное не тронуто.