Производительность и формулы для задач на совместную работу
Задачи на работу устроены точно так же, как задачи на движение. Достаточно заменить «расстояние» на «объём работы», «скорость» на «производительность» — и вся логика переносится один к одному.
Производительность — это доля работы, выполняемая за единицу времени:
\[ p = \frac{A}{t} \]
Если маляр красит комнату за 4 часа, его производительность — \(\frac{1}{4}\) комнаты в час. Два маляра работают вместе — их производительности складываются, как скорости машин, движущихся в одном направлении. Именно это и даёт нам три главные формулы для задач на совместную работу.
Ключевая аналогия: складывают скорости, а не времена в пути — и точно так же складывают производительности, а не времена работы. Путаница именно здесь порождает самую частую ошибку.
---
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Как решать задачи на совместную работу: метод A=1 (алгоритм для 8 класса)
Центральный приём — принять весь объём работы за 1. Тогда производительность каждого исполнителя сразу выражается простой дробью \(\frac{1}{t_i}\), а уравнение составляется из одной идеи: сумма долей работы, выполненных за время \(t\), равна 1.
Именно так решают задачи на совместную работу в 8 классе и на ОГЭ — без каких-либо дополнительных приёмов.
- Метод A=1
- Шаг 1. Принять полный объём работы за 1.
- Шаг 2. Записать производительность каждого исполнителя: \( p_i = \dfrac{1}{t_i} \), где \( t_i \) — время работы в одиночку.
- Шаг 3. Совместная производительность — сумма: \( p = p_1 + p_2 \).
- Шаг 4. Время совместной работы: \( t = \dfrac{1}{p_1 + p_2} \).
- Шаг 5. Убедиться, что \( t > 0 \) и \( t < \min(t_1,\, t_2) \) — вместе всегда быстрее самого быстрого.
Разбор примера. Первый рабочий выполняет задание за 6 часов, второй — за 4 часа. За сколько они справятся вместе?
Принимаем объём работы за 1.
Производительность первого: \(\dfrac{1}{6}\) за час. Производительность второго: \(\dfrac{1}{4}\) за час.
Совместная производительность: \[ p = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12} \]
Время совместной работы: \[ t = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5} = 2{,}4 \text{ ч} \]
Ответ: 2 ч 24 мин.
Контрольный признак правильного ответа: \(2{,}4 < 4\) — меньше самого быстрого из двух. Если получилось больше, значит где-то ошибка в знаменателях.
---
Трубы и бассейны — та же совместная работа: разбор ОГЭ-задач
Труба, наполняющая бассейн, — это рабочий с положительной производительностью. Труба, через которую вода вытекает, — «антирабочий» с отрицательной. Метод не меняется: складываем и вычитаем производительности с нужными знаками.
Именно в таком виде задачи на совместную работу встречаются на ОГЭ: два крана, один наполняет, другой опустошает — найти время наполнения.
Пример. Одна труба наполняет бассейн за 6 часов, через другую бассейн пустеет за 10 часов. Обе трубы открыты одновременно. За сколько часов наполнится бассейн?
Принимаем объём бассейна за 1.
Производительность первой трубы: \(+\dfrac{1}{6}\) за час. Производительность второй трубы: \(-\dfrac{1}{10}\) за час.
Суммарная производительность: \[ p = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \]
Время наполнения: \[ t = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15 \text{ ч} \]
Ответ: 15 часов.
Перед решением стоит убедиться, что \( p > 0 \): наполняющая труба должна быть быстрее опустошающей (\( t_{\text{нап}} < t_{\text{оп}} \)). Если суммарная производительность отрицательна или равна нулю, бассейн не наполнится.
Коротко
- Наполняющая труба — производительность \( +\dfrac{1}{t} \).
- Опустошающая труба — производительность \( -\dfrac{1}{t} \).
- Если \( p_{\text{общ}} \leq 0 \), бассейн не наполнится — задача не имеет смысла.
- Метод A=1 работает для любого числа труб: складываем все слагаемые с нужными знаками.
---
Задачи на совместную работу в ЕГЭ профиль: уравнения и три исполнителя
На профильном ЕГЭ те же принципы, но сложнее оформление: появляется разность времён (квадратное уравнение), три исполнителя заданы попарно, или состав бригады меняется в процессе работы.
Тип 1. Разность времён
Условие «один делает на \(\Delta t\) часов дольше» даёт уравнение, которое после приведения к общему знаменателю становится квадратным.
Пример. Первый рабочий выполнил задание на 3 часа быстрее второго. Вместе они справляются за 2 часа. Сколько часов тратит каждый в одиночку?
Пусть первый тратит \( x \) часов, второй — \( x + 3 \) часов. Принимаем работу за 1: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{2} \]
Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{(x+3) + x}{x(x+3)} = \frac{1}{2} \implies 2(2x+3) = x(x+3) \] \[ x^2 - x - 6 = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0 \]
Так как \( x > 0 \), берём \( x = 3 \).
Ответ: первый — 3 часа, второй — 6 часов. Проверка: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \). Верно.
Тип 2. Три исполнителя, заданные попарно
Если известны времена работы каждой из трёх пар, суммарную производительность находят по формуле:
\[ p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{t_{12}} + \frac{1}{t_{13}} + \frac{1}{t_{23}}\right) \]
Совместное время трёх: \( t = \dfrac{1}{p_1 + p_2 + p_3} \).
Пример. Первый и второй вместе делают работу за 6 ч, первый и третий — за 4 ч, второй и третий — за 12 ч. За сколько справятся все трое?
\[ p_1+p_2+p_3 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2+3+1}{12} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
\[ t = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 \text{ ч} \]
Тип 3. Смена условий в процессе работы
Здесь применяют метод вспомогательной неизвестной: вводят \( x \) — время одного из этапов — и выражают долю работы на каждом этапе.
- Метод вспомогательной неизвестной
- Шаг 1. Обозначить за \( x \) не итоговый ответ, а величину, через которую условие записывается проще (например, время одного из этапов).
- Шаг 2. Выразить долю работы на каждом этапе: \( \text{доля} = p \cdot t \).
- Шаг 3. Составить уравнение: сумма долей равна 1.
- Шаг 4. Решить уравнение, отобрать корни при условии \( x > 0 \).
- Шаг 5. Пересчитать \( x \) в реально запрошенную величину и проверить, что ответ разумен.
---
По этой теме есть отдельный разбор: текстовых задачах ЕГЭ профиль (задание 10).
Частые ошибки при решении задач на совместную работу
---
Разбор задачи с бригадами: пример из ОГЭ и ЕГЭ с решением
Задача 1 — уровень ОГЭ
Условие. Бригада A красит забор за 8 часов, бригада B — за 12 часов. За сколько часов они покрасят забор вместе?
Решение.
Принимаем объём работы (забор) за 1.
Производительность бригады A: \(\dfrac{1}{8}\) за час. Производительность бригады B: \(\dfrac{1}{12}\) за час.
Совместная производительность: \[ p = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24} \]
Время совместной работы: \[ t = \frac{1}{\frac{5}{24}} = \frac{24}{5} = 4{,}8 \text{ ч} \]
Ответ: 4 ч 48 мин.
---
Задача 2 — уровень ЕГЭ (изменение состава)
Условие. Бригада A выполняет весь объём работы за 10 часов, бригада B — за 15 часов. Сначала работала только бригада A, затем к ней присоединилась бригада B, и оставшуюся часть они сделали вместе. Всего работа заняла 9 часов. Сколько часов работала только бригада A?
Решение.
Вводим вспомогательную неизвестную: пусть бригада A работала одна \( x \) часов. Тогда обе вместе работали \( (9 - x) \) часов.
Доля работы, выполненная бригадой A одной: \[ \frac{x}{10} \]
Совместная производительность бригад: \[ \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \]
Доля работы, выполненная вместе: \[ \frac{1}{6}(9 - x) \]
Сумма долей равна 1: \[ \frac{x}{10} + \frac{9-x}{6} = 1 \]
Умножаем на 30: \[ 3x + 5(9 - x) = 30 \] \[ 3x + 45 - 5x = 30 \] \[ -2x = -15 \] \[ x = 7{,}5 \]
Проверка: \( 9 - 7{,}5 = 1{,}5 \) ч работы вместе. Доля A одной: \(\frac{7{,}5}{10} = 0{,}75\). Доля вместе: \(\frac{1{,}5}{6} = 0{,}25\). Итого: \(0{,}75 + 0{,}25 = 1\). Верно.
Ответ: 7 ч 30 мин работала только бригада A.
---
Частые вопросы
Как решать задачи на совместную работу в ОГЭ?
Принять объём работы за 1, записать производительность каждого исполнителя как \(\frac{1}{t}\), сложить производительности и разделить 1 на их сумму. Для труб: наполняющие берут с плюсом, опустошающие — с минусом. Если суммарная производительность оказалась отрицательной, задача не имеет смысла в исходных условиях.
Как решать задачи на совместную работу в 8 классе?
Метод A=1 покрывает весь стандартный материал 8 класса: принять работу за единицу, найти производительности \(\frac{1}{t_i}\), составить уравнение. Дополнительных приёмов для базовых задач не нужно.
Как решать задачи на совместную работу в ЕГЭ профиль?
На профильном уровне встречаются три усложнения. Разность времён — приводит к квадратному уравнению, из которого берут только положительный корень. Три исполнителя, заданные попарно, — используют формулу суммы производительностей через попарные времена. Смена состава в процессе работы — вводят вспомогательную переменную и составляют уравнение из долей работы.
Какие формулы нужны для задач на совместную работу?
Три основные: \(A = p \cdot t\), совместная производительность \(p_{\text{общ}} = p_1 + p_2\), время при \(A=1\): \(t = \dfrac{1}{p_1+p_2}\). Для трёх исполнителей, заданных попарно: \(p_1+p_2+p_3 = \dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{1}{t_{12}}+\dfrac{1}{t_{13}}+\dfrac{1}{t_{23}}\right)\).
Почему нельзя складывать времена в задачах на совместную работу?
Потому что совместная работа ускоряет процесс, а не замедляет. Если один делает за 6 ч, другой за 3 ч, вместе они тратят 2 ч — меньше, чем самый быстрый из них. Сложение времён дало бы 9 ч, что противоречит здравому смыслу. Складываются именно производительности — доли работы в единицу времени.
Как решать задачи с тремя исполнителями, заданными попарно?
Использовать формулу: суммарная производительность трёх равна половине суммы попарных производительностей. Вычислить \(p_1+p_2+p_3\) по этой формуле, затем найти совместное время: \(t = \dfrac{1}{p_1+p_2+p_3}\).
По этой теме есть отдельный разбор: задачах на движение.
По этой теме есть отдельный разбор: задачах на смеси и сплавы.
По этой теме есть отдельный разбор: систему уравнений.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.