Решение задач на движение по кругу — ЕГЭ задание 10

Теперь возвращаю полный файл статьи:

--- title: Решение задач на движение по кругу — ЕГЭ задание 10 description: Решение задач на движение по кругу в ЕГЭ: обгон на круг и часовые стрелки. Формулы, алгоритм и разбор задания 10 из реальных вариантов экзамена. slug: reshenie-zadach-na-dvizhenie-po-krugu keywords: [решение задач на движение по кругу, движение по кругу задачи, задачи на круговое движение егэ, задание 10 ЕГЭ профиль математика, часовые стрелки задачи ЕГЭ, обгон на круг задача ЕГЭ] author: Алмаз date: 2026-07-29 cluster: \(dvizhenie_rabota ---\)

Разбираем два главных типа задач на круговое движение в ЕГЭ по математике: обгон на круговой трассе и задачи про часовые стрелки. Даём формулы, пошаговый алгоритм и разбор реальных вариантов задания 10. После статьи эти задачи перестанут быть проблемой.

Что такое движение по кругу в задачах ЕГЭ

В задачах на движение по кругу объекты едут по замкнутому кольцу фиксированной длины \(L\) — треку, стадиону, круговой дорожке. Длина кольца не меняется, финиша нет: участники проходят одни и те же точки снова и снова.

Это главное отличие от прямолинейного движения. В прямолинейных задачах два объекта встречаются ровно один раз. На кольце встречи и обгоны повторяются через равные промежутки времени.

Два ключевых события:

• - Обгон — более быстрый участник оказывается в той же точке кольца, что и более медленный, но успел объехать его ровно на один (или несколько) кругов. Иначе говоря, разность пройденных путей стала кратна \(L\).
• - Встреча — участники движутся навстречу и оказываются в одной точке.

Для обоих событий используется понятие относительной скорости. Мысленно остановим одного участника — тогда второй движется относительно него:

\[ v_{\text{отн}} = v_1 - v_2 \quad \text{(движение в одну сторону)}, \qquad v_{\text{отн}} = v_1 + v_2 \quad \text{(навстречу)} \]

В прямолинейном движении относительная скорость определяет единственную встречу. На кольце она определяет, насколько быстро один участник «настигает» другого, повторяя это снова и снова.

Основные формулы кругового движения: сближение и обгон

Обгон или встреча происходят в тот момент, когда один участник «выигрывает» у другого ровно одну длину кольца \(L\). Это напрямую следует из определения относительной скорости.

Физический смысл через относительную скорость. «Остановим» медленного участника. Тогда быстрый движется к нему со скоростью \(v_1 - v_2\) и должен преодолеть расстояние \(L\), чтобы снова оказаться рядом. Время: \(\dfrac{L}{v_1 - v_2}\). При встречном движении — то же самое, но скорость сближения \(v_1 + v_2\).

Эти формулы дают интервал между последовательными событиями. Если участники стартуют из одной точки, первый обгон произойдёт ровно через \(\dfrac{L}{v_1 - v_2}\). Если из разных — начальное расстояние между ними учитывается отдельным слагаемым в уравнении.

Алгоритм решения задач на движение по кругу

Шаг 2 — принципиальный. Уравнение строится на разности путей, кратной \(L\), а не на сумме или равенстве путей, как в прямолинейных задачах. Это единственное концептуальное отличие, но именно оно ставит в тупик тех, кто решает движение по кругу впервые.

Обгон на круг: разбор типовых задач ЕГЭ

Задачи на круговое движение делятся на два подтипа в зависимости от начального расположения участников.

Подтип 1. Старт из одной точки

Задача. Два велосипедиста стартуют одновременно из одной точки трассы длиной 6 км в одном направлении. Скорость первого — 24 км/ч, скорость второго — 18 км/ч. Через сколько минут первый впервые обгонит второго?

Решение. Пусть через \(t\) часов произойдёт первый обгон. Первый проехал \(24t\) км, второй — \(18t\) км. Разность путей равна длине кольца:

\[ (24 - 18)\,t = 6 \] \[ 6t = 6 \quad \Rightarrow \quad t = 1 \text{ ч} = 60 \text{ мин} \]

Или сразу по формуле: \(t = \dfrac{6}{24 - 18} = 1\) ч.

Ответ: 60 минут.

---

Подтип 2. Старт из разных точек

Задача. Два бегуна движутся в одном направлении по дорожке длиной 400 м. Первый бежит 5 м/с, второй — 3 м/с. Они стартуют одновременно, но первый на 100 м позади второго. Через сколько секунд первый впервые поравняется со вторым?

Решение. Обозначим искомое время \(t\). Первый быстрее, значит нагоняет второго. Чтобы поравняться, ему нужно «выиграть» ровно 100 м — величину начального отставания:

\[ (5 - 3)\,t = 100 \] \[ 2t = 100 \quad \Rightarrow \quad t = 50 \text{ с} \]

Проверка: за 50 с первый пробежит 250 м, второй — 150 м. Начальный разрыв был 100 м в пользу второго. Итого первый обогнал второго на 250 − 150 − 100 = 0 м — они сошлись. Верно.

Ответ: 50 секунд.

---

Разница между подтипами только в уравнении: начальный разрыв либо добавляется к \(L\) (если быстрый сзади), либо вычитается (если быстрый уже впереди). Алгоритм и формула остаются одинаковыми.

Часы со стрелками: движение по кругу в задании 10 ЕГЭ

Задачи про стрелки часов — это задачи на круговое движение, где «кольцо» — циферблат с 60 минутными делениями. Часовая и минутная стрелки играют роль двух участников, движущихся в одном направлении.

В момент 12:00 обе стрелки на нуле. Через \(t\) минут минутная стрелка на позиции \(t\), часовая — на \(\dfrac{t}{12}\). Разность их позиций: \(\dfrac{11t}{12}\) делений. Это и есть «путь, который минутная стрелка прошла относительно часовой».

Вид 1. Стрелки совпадают (разность = 0, 60, 120, ...):

\[ \frac{11t}{12} = 60k, \quad k = 0, 1, 2, \ldots \quad \Rightarrow \quad t = \frac{720k}{11} \]

При \(k = 1\): \(t = \dfrac{720}{11} \approx 65{,}5\) мин (около 1:05:27).

Вид 2. Стрелки напротив (разность = 30 делений, угол 180°):

\[ \frac{11t}{12} = 30 + 60k \quad \Rightarrow \quad t = \frac{360 + 720k}{11} \]

При \(k = 0\): \(t = \dfrac{360}{11} \approx 32{,}7\) мин (около 12:32:44).

Вид 3. Стрелки под прямым углом (разность = 15 или 45 делений, угол 90°):

\[ \frac{11t}{12} = 15 + 60k \quad \Rightarrow \quad t = \frac{180 + 720k}{11} \] \[ \frac{11t}{12} = 45 + 60k \quad \Rightarrow \quad t = \frac{540 + 720k}{11} \]

Два уравнения потому, что 90° достигается с двух сторон. В течение 12 часов стрелки образуют прямой угол ровно 22 раза.

Во всех трёх видах алгоритм одинаков: приравнять разность позиций нужному количеству делений, решить линейное уравнение. Главное — правильно учесть начальное расположение стрелок, если задача начинается не с 12:00.

Типичные ошибки в задачах на круговое движение

Третья ошибка особенно распространена в задачах на круговое движение, когда вводят вспомогательную переменную: например, обозначают скорость медленного участника, а задача спрашивает длину кольца или скорость быстрого.

Задание 10 ЕГЭ: примеры на круговое движение с решением

Пример 1 (базовый)

Условие. Два мотоциклиста выехали одновременно из одной точки кольцевой трассы длиной 15 км в одном направлении. Через 1 час 15 минут первый впервые обогнал второго. Скорость первого — 60 км/ч. Найдите скорость второго мотоциклиста.

Решение. Переводим время: 1 ч 15 мин \(= \dfrac{5}{4}\) ч. Пусть скорость второго \(v\) км/ч.

За \(\dfrac{5}{4}\) ч первый опередил второго ровно на длину кольца:

\[ \left(60 - v\right) \cdot \frac{5}{4} = 15 \] \[ 60 - v = 12 \quad \Rightarrow \quad v = 48 \text{ км/ч} \]

Ловушка этого варианта: время дано в формате «часы + минуты». Кто подставляет 75 (минуты) вместо \(\dfrac{5}{4}\) (часы) — получает \(60 - v = \dfrac{15}{75} = 0{,}2\), то есть \(v = 59{,}8\) км/ч. Это числовая бессмыслица: при такой разнице скоростей первый обгон займёт 75 часов, а не 75 минут.

Ответ: 48 км/ч.

---

Пример 2 (средний)

Условие. Два спортсмена бегут по круговой дорожке в противоположных направлениях. Первый делает полный круг за 5 мин, второй — за 8 мин. Стартуя одновременно из одной точки, через сколько минут они встретятся в первый раз?

Решение. Длина дорожки \(L\) не задана — введём её как параметр. Скорости: \(v_1 = \dfrac{L}{5}\) и \(v_2 = \dfrac{L}{8}\).

При встречном движении время до первой встречи:

\[ t = \frac{L}{v_1 + v_2} = \frac{L}{\dfrac{L}{5} + \dfrac{L}{8}} = \frac{L}{L \cdot \dfrac{13}{40}} = \frac{40}{13} \approx 3{,}08 \text{ мин} \]

Ловушка этого варианта: \(L\) не задана числом. Те, кто пытаются придумать конкретную длину дорожки, теряют время. Правильный путь — параметр \(L\) вводится и сокращается.

Ответ: \(\dfrac{40}{13}\) мин ≈ 3 мин 5 с.

---

Пример 3 (задача про стрелки)

Условие. В котором часу минутная и часовая стрелки образуют прямой угол в первый раз после 3:00?

Решение. В 3:00 часовая стрелка стоит на отметке 15 минутных делений, минутная — на 0. Угол между ними уже равен 90° (15 делений × 6° = 90°). Нужно найти следующий момент.

Пусть прошло \(t\) минут после 3:00. Тогда:

• - минутная стрелка на позиции \(t\) делений,
• - часовая на позиции \(15 + \dfrac{t}{12}\) делений.

Опережение минутной относительно часовой:

\[ \Delta = t - \left(15 + \frac{t}{12}\right) = \frac{11t}{12} - 15 \]

При \(t = 0\): \(\Delta = -15\) (часовая впереди на 15 делений). Нам нужно, чтобы \(|\Delta| = 15\) делений.

Первый случай: минутная обогнала часовую и стала впереди на 15 делений (\(\Delta = +15\)):

\[ \frac{11t}{12} - 15 = 15 \quad \Rightarrow \quad \frac{11t}{12} = 30 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{360}{11} \approx 32{,}7 \text{ мин} \]

Это 3:32:44.

Второй случай: \(\Delta = -45\) (часовая впереди на 45 делений, что тоже даёт 90°) — соответствует \(t < 0\), не подходит.

Ловушка этого варианта: в 3:00 стрелки уже стоят под 90°, но задача просит следующий раз. Кто применяет формулу «от 12:00» без учёта начального положения часовой стрелки, получает \(t = \dfrac{180}{11}\) от 12:00 — это 12:16, а не 3:32.

Ответ: в 3:32:44, то есть через \(\dfrac{360}{11}\) мин после 3:00.

Частые вопросы (FAQ)

В чём принципиальное отличие кругового движения от прямолинейного?

В прямолинейных задачах два объекта встречаются ровно один раз, а формула строится на равенстве путей или суммарного пути. На кольце встречи и обгоны повторяются периодически: уравнение строится на разности путей, кратной длине кольца \(L\). Это единственное концептуальное отличие, но именно оно меняет вид уравнения.

Что делать, если длина кольца в задаче не задана?

Ввести \(L\) как параметр и составить уравнение. В большинстве случаев \(L\) сокращается — так происходит в задачах, где даны периоды обращения (время одного круга), а не сами скорости. Если \(L\) не сокращается, значит условие предполагает числовой ответ и нужно проверить, не пропущено ли данное.

Сколько раз в сутки минутная и часовая стрелки совпадают?

22 раза за 12 часов, то есть 44 раза в сутки. Интуиция подсказывает 24 (по числу часов), но в 12:00 и 0:00 совпадение засчитывается один раз на границе периода, и итог оказывается на два меньше. Формула: \(t_k = \dfrac{720k}{11}\), при \(k = 0, 1, \ldots, 10\) — 11 моментов за 12 часов, не считая начала следующего периода.

Как понять, складывать или вычитать скорости?

Правило одно: мысленно остановите одного участника. Если второй при этом движется к первому — скорости складываются (встречное движение). Если удаляется или нагоняет сзади — вычитаются (попутное движение, обгон). Знак относительной скорости определяет направление «догони», знак не меняется в зависимости от формы трассы.

Может ли первый обгон произойти раньше, чем \(\dfrac{L}{v_1 - v_2}\)?

Нет, если участники стартовали из одной точки одновременно. Формула \(\dfrac{L}{v_1 - v_2}\) даёт точное время первого обгона при старте из одной точки. Если старт из разных точек, первый обгон может произойти раньше или позже в зависимости от начального разрыка и направления движения.

По этой теме есть отдельный разбор: текстовые задачи задания 10 ЕГЭ профиль.

По этой теме есть отдельный разбор: задачи на движение в ОГЭ по математике.

По этой теме есть отдельный разбор: другие типы текстовых задач задания 10.

---

Добавлен раздел ## Частые вопросы (FAQ) с пятью вопросами перед финальными ссылками. Все остальные разделы, формулы и компоненты ::: сохранены без изменений.