Задание 21 — единственная задача в ОГЭ по математике, где недостаточно числового ответа: нужно составить уравнение и показать полное решение. За это полагается до 3 первичных баллов — максимум среди заданий второй части. В этой статье разобраны все типы по кодификатору ФИПИ: задачи на движение (встреча, вдогонку, по воде, по кольцу), проценты, растворы и сплавы — каждый с формулой, алгоритмом и числовым примером.
Что такое задание 21 ОГЭ: формат, баллы и требования ФИПИ
Задание 21 стоит в конце части 2 и оценивается по трёхбалльной шкале:
- - 1 балл — уравнение составлено верно, но решение содержит ошибку;
- - 2 балла — решение верное, но обоснование неполное;
- - 3 балла — полное решение с выводом и проверкой.
Это единственное задание экзамена, где ответ без хода решения не принимается. Огэ математика задачи 21 представлены в кодификаторе ФИПИ четырьмя видами: движение, совместная работа, проценты и растворы/сплавы. В вариантах 2026 года задача на движение встречается чаще всего.
От задания 9 задание 21 отличается требованием к оформлению: в задании 9 достаточно числового ответа, здесь обязательны переменная, уравнение, решение и формулировка ответа. Потеря даже одного из этих элементов снижает балл.
- Универсальный алгоритм текстовой задачи
- Шаг 1. Прочитать условие и выделить вопрос задачи.
- Шаг 2. Ввести переменную x с единицами измерения: «пусть x км/ч — скорость автобуса».
- Шаг 3. Составить таблицу: объект — путь/работа — скорость/производительность — время.
- Шаг 4. Найти в условии «связующую» величину (сумма или разность времён, суммарный путь) и записать уравнение.
- Шаг 5. Решить уравнение, отбросить корни, противоречащие смыслу (скорость и время строго положительны).
- Шаг 6. Ответить на вопрос задачи в требуемых единицах — не x, а то, что спрашивали.
По этой теме есть отдельный разбор: структуре ОГЭ по математике 9 класс.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Задачи на движение ОГЭ: формулы и решение для 9 класса
Три связанные величины — путь \(S\), скорость \(v\), время \(t\) — основа всех задач на движение в ОГЭ математика 9 класс. Из любых двух находится третья.
Огэ математика задачи на движение почти всегда сводятся к уравнению по времени. Если известны расстояния, а условие даёт сумму или разность времён, схема такая:
\[ \frac{S_1}{v_1} + \frac{S_2}{v_2} = T \qquad \text{или} \qquad \frac{S}{v_1} - \frac{S}{v_2} = \Delta t \]
После подстановки \(t = \dfrac{S}{v}\) получают рациональное или квадратное уравнение.
Задача на встречу.
Из двух городов, расстояние между которыми 300 км, навстречу друг другу одновременно выехали автобус и легковой автомобиль. Автомобиль ехал на 20 км/ч быстрее автобуса, и они встретились через 2 часа. Найти скорость автобуса.
Пусть скорость автобуса \(x\) км/ч, скорость автомобиля \((x + 20)\) км/ч. За 2 часа вместе покрыли 300 км:
\[ 2x + 2(x + 20) = 300 \] \[ 4x + 40 = 300, \quad 4x = 260, \quad x = 65 \]
Скорость автобуса — 65 км/ч, автомобиля — 85 км/ч.
Задача вдогонку.
Велосипедист выехал в сторону города со скоростью 12 км/ч. Через 1,5 часа следом выехал мотоциклист и догнал велосипедиста через 30 мин. Найти скорость мотоциклиста.
Пусть скорость мотоциклиста \(x\) км/ч. За 0,5 ч он проехал \(0{,}5x\) км. Велосипедист за \(1{,}5 + 0{,}5 = 2\) ч проехал \(12 \cdot 2 = 24\) км. При обгоне их пути от точки старта велосипедиста равны:
\[ 0{,}5x = 24, \quad x = 48 \text{ км/ч} \]
- Задачи на встречу и вдогонку
- Шаг 1. Определить тип: если движутся навстречу из разных точек — скорости складываются; в одну сторону — вычитаются.
- Шаг 2. Найти начальное расстояние S₀ или начальный отрыв.
- Шаг 3. Составить уравнение через сумму пройденных путей (встреча) или их равенство (вдогонку).
- Шаг 4. Решить, проверить, что скорости и время положительны.
При решении задачи 21 на движение ОГЭ математика главное — правильно определить тип: если два объекта едут из одной точки или в одну сторону — это вдогонку; из разных точек навстречу — встреча.
Движение по воде: задачи с лодкой и течением реки
Задачи с рекой добавляют новую переменную — скорость течения \(u\). Собственная скорость судна \(v\) — это скорость в стоячей воде. По течению скорости складываются, против — вычитаются.
Типичная ловушка: в условии сказано «катер проплыл туда и обратно» — в одну сторону скорость одна, в другую другая. Считать их одинаковыми нельзя. Уравнение строится через сумму или разность времён двух участков:
\[ \frac{S}{v - u} + \frac{S}{v + u} = T \]
Пример. Катер прошёл 48 км против течения и вернулся обратно, затратив на весь путь 10 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найти собственную скорость катера.
Пусть собственная скорость \(x\) км/ч. Тогда:
\[ \frac{48}{x - 2} + \frac{48}{x + 2} = 10 \]
Умножим обе части на \((x - 2)(x + 2)\):
\[ 48(x + 2) + 48(x - 2) = 10(x^2 - 4) \] \[ 96x = 10x^2 - 40, \qquad 5x^2 - 48x - 20 = 0 \]
Дискриминант: \(D = 48^2 + 4 \cdot 5 \cdot 20 = 2304 + 400 = 2704 = 52^2\).
\[ x = \frac{48 \pm 52}{10} \]
\(x_1 = 10\), \(x_2 = -0{,}4\). Скорость положительна, поэтому \(x = 10\) км/ч. Проверка: \(10 > 2\) — условие \(v > u\) выполнено.
- Движение по воде (течение)
- Шаг 1. Ввести собственную скорость v и скорость течения u.
- Шаг 2. По течению подставлять (v + u), против течения — (v − u); плот — только u.
- Шаг 3. Составить уравнение через суммарное время или разность времён двух участков.
- Шаг 4. Решить, оставить только положительный корень и проверить условие v > u.
Задачи на круговое движение ОГЭ по математике
Задачи на круговое движение ОГЭ по математике решаются теми же формулами, что и линейные задачи на движение, с одним уточнением: «финиш» здесь — момент, когда один участник опередил другого ровно на длину кольца.
Движение в разные стороны. Два бегуна стартуют с одной точки и движутся в противоположных направлениях. Встреча происходит каждый раз, когда они вместе преодолевают длину кольца \(L\):
\[ t_{\text{встреча}} = \frac{L}{v_1 + v_2} \]
Движение в одну сторону. Быстрый обгоняет медленного, когда вырывается вперёд на целый круг:
\[ t_{\text{обгон}} = \frac{L}{v_1 - v_2} \]
Пример. Два спортсмена стартуют с одной точки круговой трассы длиной 600 м и бегут в одну сторону. Первый пробегает круг за 4 мин, второй — за 5 мин. Через сколько минут первый впервые обгонит второго?
\(v_1 = \dfrac{600}{4} = 150\) м/мин, \(v_2 = \dfrac{600}{5} = 120\) м/мин.
\[ t = \frac{600}{150 - 120} = \frac{600}{30} = 20 \text{ мин} \]
Часы как частный случай кругового движения. Циферблат — кольцо из 12 делений. Скорость минутной стрелки — 12 дел/ч, часовой — 1 дел/ч, относительная скорость — 11 дел/ч. Стрелки совмещаются каждые \(\dfrac{12}{11} \approx 65{,}5\) мин.
- Движение по кольцу
- Шаг 1. Определить направление: в разные стороны — скорости складываются; в одну — вычитаются.
- Шаг 2. Записать, что обгон/встреча происходит, когда разностная (или суммарная) дорожка кратна L.
- Шаг 3. Вычислить время одного обгона/встречи: t = L / \(v_сбл\).
- Шаг 4. Для n-й встречи умножить время на n или составить уравнение с кратностью.
Шпаргалка по задачам на движение ОГЭ: все формулы
Компактная таблица для повторения перед экзаменом. Включает нестандартные формулы с поездами — тип, который при решении задач на движение ОГЭ математика часто упускают при подготовке.
Коротко
- S = vt — фундамент темы; из любых двух величин находится третья.
- Навстречу — скорости складывают; вдогонку — вычитают.
- По течению прибавляется u, против течения — вычитается; плот движется со скоростью u.
- Средняя скорость = весь путь / всё время, НЕ полусумма скоростей.
- При равных путях средняя скорость — среднее гармоническое; оно всегда меньше среднего арифметического.
- Мимо столба поезд проходит свою длину; мимо платформы — сумму двух длин.
- Все единицы привести к одной системе до подстановки в формулу.
- Корни с v ≤ 0 или t ≤ 0 отбрасывают по смыслу задачи.
Шпаргалка задач на движение ОГЭ математика особенно полезна при работе с поездами: формула \(v_{\text{отн}} \cdot t = L_1 + L_2\) мимо платформы — нестандартный тип, который регулярно появляется в вариантах ФИПИ, но в стандартных разборах встречается реже остальных.
Задачи на проценты в задании 21 ОГЭ по математике
Огэ математика задачи на проценты встречаются трёх основных видов: скидка или наценка, банковский процент (рост вклада), изменение цены на \(k\%\). Ключ к решению — перевести словесное условие в алгебраическую запись.
Базовая схема:
\[ k\%\ \text{от } A = \frac{k}{100} \cdot A \]
Если цена выросла на \(k\%\):
\[ P_{\text{нов}} = P \cdot \left(1 + \frac{k}{100}\right) \]
Если снизилась на \(k\%\):
\[ P_{\text{нов}} = P \cdot \left(1 - \frac{k}{100}\right) \]
Пример. В магазине установили скидку 15% на куртку. После скидки куртка стоила 3400 руб. Найти первоначальную цену.
Пусть первоначальная цена \(x\) рублей. После скидки 15% остаётся 85% от цены:
\[ x \cdot 0{,}85 = 3400, \quad x = \frac{3400}{0{,}85} = 4000 \text{ руб.} \]
Ошибка с неравенством. Когда в условии написано «прибыль должна составить не менее 500 000 руб.», нельзя сразу приравнивать прибыль к 500 000. Нужно неравенство:
\[ P(x) \geq 500\,000 \]
Из него находят наименьшее целое значение \(x\) (например, число партий товара), при котором неравенство выполняется. Ответ — не решение уравнения, а крайнее подходящее значение.
- Задача на проценты
- Шаг 1. Определить «базу» процента — от какой величины он берётся.
- Шаг 2. Записать выражение: k% от базы = (k / 100) · база.
- Шаг 3. При точном значении составить уравнение; при «не менее / не более» — неравенство.
- Шаг 4. Решить, выбрать наименьшее или наибольшее подходящее значение.
Задачи на растворы и сплавы ОГЭ по математике
Огэ математика задачи на растворы и задачи на сплавы строятся на одном принципе: масса чистого вещества (соли, спирта, металла) при смешивании сохраняется.
\[ c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2 = c \cdot (m_1 + m_2) \]
где \(c_1, c_2\) — концентрации первого и второго компонентов (в долях единицы), \(m_1, m_2\) — их массы, \(c\) — концентрация смеси.
Пример. Имеется 6 кг раствора соли с концентрацией 20% и \(x\) кг раствора с концентрацией 50%. После смешивания получился раствор с концентрацией 30%. Найти значение \(x\).
\[ 0{,}20 \cdot 6 + 0{,}50 \cdot x = 0{,}30 \cdot (6 + x) \] \[ 1{,}2 + 0{,}5x = 1{,}8 + 0{,}3x \] \[ 0{,}2x = 0{,}6, \quad x = 3 \text{ кг} \]
Для задач на сплавы схема та же: масса легирующего компонента (например, серебра) в итоговом сплаве равна сумме его масс в исходных слитках. Концентрацию смеси всегда проверяют: она должна лежать между концентрациями исходных компонентов.
- Задача на смешивание растворов (сплавов)
- Шаг 1. Записать концентрации в долях, а не в процентах: 20% → 0,20.
- Шаг 2. Составить уравнение: c₁·m₁ + c₂·m₂ = c·(m₁ + m₂).
- Шаг 3. Подставить известные значения, решить линейное уравнение.
- Шаг 4. Проверить x > 0 и что итоговая концентрация лежит между исходными.
По этой теме есть отдельный разбор: задачи на проценты и сплавы.
Типичные ошибки в задании 21 ОГЭ и как их не допустить
Шесть конкретных ошибок с объяснением, почему неверно и как нужно.
Частые вопросы
Как составить уравнение в задаче на движение ОГЭ?
Заполнить таблицу «объект — путь — скорость — время» для каждого участника или этапа. Затем найти в условии величину, которая их связывает: сумма или разность времён, суммарное расстояние. Подставить \(t = \dfrac{S}{v}\) в это соотношение — получится уравнение. Пошаговый алгоритм с примером разобран в первом разделе.
Почему нельзя считать среднюю скорость как \((v_1 + v_2) / 2\)?
Среднее арифметическое скоростей даёт верный результат только если на каждом участке затрачено одинаковое время. Когда пути равны, а времена разные (классическое «туда и обратно»), правильная формула — среднее гармоническое: \(\dfrac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}\). Оно всегда меньше среднего арифметического. Например, при скоростях 60 и 40 км/ч на равных участках средняя — не 50, а \(\dfrac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = 48\) км/ч.
Что делать, если квадратное уравнение в задаче 21 даёт два положительных корня?
Проверить оба на соответствие условию. Если в задаче есть дополнительные ограничения (скорость не выше заданной, время не превышает определённого значения), подходящий корень определяется по ним. Если ограничений нет и оба корня удовлетворяют всем данным задачи — записать оба ответа с обоснованием. На практике один из корней почти всегда противоречит физическому смыслу.
Как отличить задачу на встречу от задачи вдогонку?
Ключевой признак — точки старта и направления движения. Если оба объекта движутся из разных точек навстречу друг другу — скорости складываются. Если оба движутся в одну сторону (один стартует позже или медленнее) — скорости вычитаются. При встрече расстояние между объектами равномерно сокращается; при вдогонку — сокращается разрыв, но оба едут в одном направлении.
С чего начать решение задачи на растворы в ОГЭ?
Записать концентрации в долях единицы (20% → 0,20), обозначить неизвестную массу буквой \(x\) и сразу составить уравнение сохранения: \(c_1 m_1 + c_2 m_2 = c(m_1 + m_2)\). Подставить числа и решить линейное уравнение. Проверка: концентрация смеси всегда лежит между концентрациями исходных компонентов.
По этой теме есть отдельный разбор: решить квадратное уравнение через дискриминант.
По этой теме есть отдельный разбор: шпаргалку формул ОГЭ математика 2026.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.