Стереометрия

Стереометрия 10 класс видеоуроки по Атанасяну: главы и задачи

Разбираем стереометрию 10 класса по Атанасяну: структуру глав, формулы для тел. Видеоуроки по каждой теме, задачи ЕГЭ с пояснениями и разбор таблицы 10.12.

15 мин чтения
#Стереометрия#стереометрия 10 класс видео уроки по геометрии атанасян#стереометрия 10 класс таблица 10.12#стереометрия атанасян 10 класс#стереометрия 10 класс задачи

Читаю статью и фиксирую оба дефекта: убираю \( \) из всех :::formulas и добавляю раздел FAQ.

--- title: Стереометрия 10 класс видеоуроки по Атанасяну: главы и задачи description: Разбираем стереометрию 10 класса по Атанасяну: структуру глав, формулы для тел. Видеоуроки по каждой теме, задачи ЕГЭ с пояснениями и разбор таблицы 10.12. slug: stereometriya-10-klass-video-uroki-po-geometrii-atanasyan keywords: [стереометрия 10 класс видео уроки по геометрии атанасян, стереометрия 10 класс таблица 10.12, стереометрия атанасян 10 класс, стереометрия 10 класс задачи, видеоуроки по геометрии 10 класс, стереометрия егэ профиль, стереометрия 10 класс главы] author: Алмаз date: 2026-09-13 cluster: stereometriya ---

Видеоуроки по стереометрии 10 класс (Атанасян): как работать с учебником

Учебник Атанасяна для 10 класса строит стереометрию последовательно — от аксиом к телам. Курс делится на четыре смысловых блока.

Параллельность (главы 1–2) — аксиомы стереометрии, признаки параллельности прямых и плоскостей. Без этого блока невозможно грамотно обосновать введение координатной системы в задании 14.

Перпендикулярность (главы 3–4) — теорема о трёх перпендикулярах, двугранные углы, линейный угол двугранного. Это теоретическая база для классического синтетического метода.

Многогранники (глава 5) — призма, пирамида, правильные многогранники. Здесь сосредоточена большая часть формул для заданий 2–4.

Тела вращения (глава 6) — цилиндр, конус, шар; взаимное расположение тел и вписанные-описанные конфигурации.

Видео уроки по геометрии для стереометрии 10 класса (Атанасян) полезнее всего на этапе знакомства с новой темой — они строят пространственный образ фигуры быстрее, чем статичный рисунок в учебнике. Оптимальный режим работы: видео к параграфу → абзац учебника с доказательствами → задачи из соответствующего номера. При таком маршруте каждая тема усваивается на трёх уровнях: образ, логика, счёт.

Главы про параллельность и перпендикулярность часто пролистывают ради формул в конце — и напрасно. Именно оттуда берутся доказательные блоки задания 14: без них даже верный численный ответ не приносит полный балл.

---

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Призмы и параллелепипеды: определения и формулы

Призма — многогранник с двумя равными основаниями в параллельных плоскостях, соединёнными боковыми гранями-параллелограммами. Призма прямая, если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, и правильная, если она прямая и в основании лежит правильный многоугольник.

Объём любой призмы:

\[ V = S_{\text{осн}} \cdot h \]

где \( h \) — расстояние между плоскостями оснований. У прямой призмы \( h \) равно длине бокового ребра, у наклонной — строго меньше его.

Куб
\[V = a^3,\quad S_{\text{полн}} = 6a^2\]
Прямоугольный параллелепипед
\[V = abc,\quad S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ca)\]
Прямая призма (общий случай)
\[S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h,\quad S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}\]
Диагональ грани куба
\[d_{\text{гр}} = a\sqrt{2}\]
Диагональ куба
\[d = a\sqrt{3}\]
Диагональ параллелепипеда
\[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]
Вписанная сфера куба
\[r = \dfrac{a}{2}\]
Описанная сфера куба
\[R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\]

Диагонали куба — три разных отрезка, которые легко перепутать. \( a\sqrt{2} \) — диагональ грани, лежащая целиком в одной плоскости и соединяющая два ребра. \( a\sqrt{3} \) — пространственная диагональ, пронизывающая тело от вершины до противоположной. Разница принципиальна для заданий 2 и 3.

Вписанная сфера касается шести граней куба, поэтому её радиус — половина ребра. Описанная проходит через все восемь вершин, поэтому её радиус — половина диагонали куба, то есть \( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \).

---

Пирамиды: апофема, объём и боковая поверхность

Пирамида — многогранник с плоским основанием-многоугольником и боковыми гранями-треугольниками, сходящимися в одной вершине. Пирамида правильная, если основание — правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр; тогда все боковые рёбра равны, а боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники.

Апофема \( l \) — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины к стороне основания. Через апофему выражается площадь боковой поверхности и угол наклона грани к основанию. Найти \( l \) несложно: это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами — высотой пирамиды \( h \) и радиусом вписанной в основание окружности \( r \):

\[ l = \sqrt{h^2 + r^2} \]

Объём пирамиды
\[V = \dfrac{1}{3}\,S_{\text{осн}} \cdot h\]
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
\[S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2}\,P_{\text{осн}} \cdot l\]
Площадь правильного треугольника
\[S_{\triangle} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2\]
Площадь правильного шестиугольника
\[S_6 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2\]
Правильный тетраэдр — высота
\[h = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}\]
Правильный тетраэдр — объём
\[V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\]
Правильный тетраэдр — полная поверхность
\[S_{\text{полн}} = a^2\sqrt{3}\]

Правильный тетраэдр — частный случай правильной треугольной пирамиды, у которой боковые рёбра равны стороне основания. Все шесть рёбер одинаковые, все четыре грани — равносторонние треугольники. В задании 2 тетраэдр встречается регулярно, поэтому готовая сводка экономит время на экзамене.

Площадь правильного шестиугольника: шестиугольник разбивается на шесть равносторонних треугольников со стороной \( a \), поэтому \( S_6 = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \). Это в шесть раз больше площади одного такого треугольника — ошибка в этом месте разбирается отдельно в разделе про типичные промахи.

---

Тела вращения: цилиндр, конус и шар

Тела вращения получаются вращением плоской фигуры вокруг оси: прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар. Это напрямую объясняет форму осевых сечений: у цилиндра — прямоугольник, у конуса — равнобедренный треугольник, у шара — большой круг.

Объём цилиндра
\[V = \pi R^2 h\]
Боковая поверхность цилиндра
\[S_{\text{бок}} = 2\pi R h\]
Полная поверхность цилиндра
\[S_{\text{полн}} = 2\pi R(R + h)\]
Объём конуса
\[V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h\]
Боковая поверхность конуса
\[S_{\text{бок}} = \pi R l\]
Образующая конуса
\[l = \sqrt{R^2 + h^2}\]
Объём шара
\[V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\]
Площадь поверхности шара
\[S = 4\pi R^2\]

Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса \( l \) с углом \( \alpha = \dfrac{R}{l} \cdot 360° \); длина дуги сектора равна \( 2\pi R \). Развёртка цилиндра — прямоугольник со сторонами \( 2\pi R \) и \( h \). Через развёртку решаются задачи на кратчайший путь по поверхности тела: путь на развёртке становится прямым отрезком.

Задачи на вписанные и описанные тела — сквозной сюжет ЕГЭ. Ключевой приём — построить осевое сечение всей конфигурации: трёхмерная задача сводится к планиметрической.

  1. Вписанные и описанные тела вращения
  2. Шаг 1. Построить осевое сечение всей конфигурации (шар в конусе, цилиндр в призме и т.п.).
  3. Шаг 2. В сечении шар становится кругом, конус — равнобедренным треугольником; отметить точки касания.
  4. Шаг 3. Использовать свойство касания: радиус перпендикулярен касательной в точке касания.
  5. Шаг 4. Найти радиус из планиметрического соотношения (формула вписанной или описанной окружности треугольника).
  6. Шаг 5. Подставить радиус в формулу объёма или площади поверхности и записать ответ.

---

Таблица 10.12 Атанасян: сводка формул стереометрии 10 класс

Таблица 10.12 в учебнике Атанасяна собирает все основные формулы объёмов и площадей в одном месте. Ниже — та же структура с пояснениями к каждой группе. Стереометрия 10 класс, таблица 10.12 — удобная точка для самопроверки: если какая-то формула вызывает сомнения, нужно вернуться к параграфу и вывести её заново, а не просто заучивать.

Куб
\[V = a^3,\quad S_{\text{полн}} = 6a^2\]
Прямоугольный параллелепипед
\[V = abc,\quad S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ca)\]
Прямая призма (любая)
\[V = S_{\text{осн}} \cdot h\]
Пирамида
\[V = \dfrac{1}{3}\,S_{\text{осн}} \cdot h\]
Цилиндр
\[V = \pi R^2 h,\quad S_{\text{полн}} = 2\pi R(R + h)\]
Конус
\[V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h,\quad S_{\text{бок}} = \pi R l\]
Шар
\[V = \dfrac{4}{3}\pi R^3,\quad S = 4\pi R^2\]
Боковая поверхность правильной пирамиды
\[S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2}\,P_{\text{осн}} \cdot l\]

Мнемоника «треть — для остроконечных». Пирамида и конус — остроконечные тела. Оба имеют множитель \( \tfrac{1}{3} \) в формуле объёма по сравнению с призмой и цилиндром. Пирамида — это конус с угловатым основанием; конус — пирамида с круглым. Запоминать удобнее парами.

Сравнение конуса и пирамиды наглядно показывает аналогию формул:

| | Пирамида | Конус | |---|---|---| | Объём | \( \dfrac{1}{3}\,S_{\text{осн}}\,h \) | \( \dfrac{1}{3}\,\pi R^2 h \) | | Боковая поверхность | \( \dfrac{1}{2}\,P_{\text{осн}}\,l \) | \( \pi R\,l \) | | «Апофема» | высота боковой грани \( l \) | образующая \( l = \sqrt{R^2 + h^2} \) |

В конусе \( \pi R \) — это полупериметр круглого основания, поэтому \( \pi R l \) структурно то же самое, что \( \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l \) для пирамиды.

---

Методы решения задач по стереометрии: координатный и классический

Задание 14 ЕГЭ проверяет умение найти угол или расстояние и обосновать построение. Выбор метода влияет и на скорость, и на полноту доказательства.

Координатный метод универсален для тел с прямыми углами: куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма, пирамида с прямоугольным основанием.

  1. Координатный метод (углы и расстояния в задании 14)
  2. Шаг 1. Выбрать начало координат в удобной вершине, оси — вдоль рёбер или осей симметрии основания.
  3. Шаг 2. Выписать координаты всех нужных точек через длины рёбер и геометрию основания.
  4. Шаг 3. Угол между прямыми: найти направляющие векторы и применить \( \cos\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \).
  5. Шаг 4. Угол прямой с плоскостью: \( \sin\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}|} \), где \( \vec{n} \) — нормаль плоскости.
  6. Шаг 5. Угол между плоскостями: \( \cos\alpha = \dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|} \); нормали найти через векторное произведение.
  7. Шаг 6. Расстояние от точки до плоскости: составить уравнение плоскости \( Ax+By+Cz+D=0 \) и применить \( \rho = \dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \).
  8. Шаг 7. Записать точный ответ, упростив корни.

Расстояние между двумя точками пространства находится по формуле \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \) — это основа любого координатного решения.

Классический (синтетический) метод выгоднее, когда тело содержит явные геометрические свойства: симметрию, известные точки касания, вспомогательные перпендикуляры.

  1. Классический метод угла и расстояния
  2. Шаг 1. Построить искомый элемент: для двугранного угла — линейный угол (перпендикуляры к ребру из точки на ребре), для угла прямой с плоскостью — проекцию наклонной.
  3. Шаг 2. Обосновать построение теоремой о трёх перпендикулярах или признаком перпендикулярности прямой и плоскости.
  4. Шаг 3. Выделить прямоугольный треугольник, содержащий искомый угол или отрезок.
  5. Шаг 4. Найти стороны треугольника через данные задачи и планиметрию основания.
  6. Шаг 5. Применить тригонометрию или теорему Пифагора и записать ответ.

Метод объёмов — эффективный способ найти расстояние от точки до плоскости, когда вводить координаты неудобно.

  1. Метод объёмов (расстояние от точки до плоскости)
  2. Шаг 1. Выделить тетраэдр, у которого целевая плоскость — одна из граней, а искомое расстояние — высота к этой грани.
  3. Шаг 2. Найти объём тетраэдра удобным способом, взяв за основание другую грань.
  4. Шаг 3. Вычислить площадь \( S \) целевой грани по сторонам треугольника (формулой Герона или через векторное произведение).
  5. Шаг 4. Из формулы \( V = \dfrac{1}{3}Sh \) выразить \( h = \dfrac{3V}{S} \).
  6. Шаг 5. Записать ответ.

Метод дополнения применяется, когда тело удобно достроить до куба или прямоугольного параллелепипеда: объём исходного тела = объём достроенного минус лишние части.

Сечения и подобие — когда секущая плоскость параллельна основанию пирамиды или конуса. Коэффициент подобия \( k \) сразу даёт объём отсечённой фигуры: \( V_1 = k^3 V \), площади масштабируются как \( k^2 \).

Коротко

  • Угол между прямыми берётся по модулю косинуса — он всегда от 0 до 90°.
  • Для угла прямой с плоскостью используют синус и нормаль; для угла между плоскостями — косинус и две нормали.
  • Метод объёмов: \( h = \dfrac{3V}{S} \) — расстояние через объём тетраэдра.
  • В задании 14 обоснование обязательно — без него снимают баллы даже при верном числовом ответе.
  • При подобии с коэффициентом \( k \): объёмы масштабируются как \( k^3 \), площади — как \( k^2 \).

---

Типичные ошибки в стереометрии: разбор с исправлением

Восемь ошибок, из-за которых стабильно теряют баллы от года к году.

❌ ошибка\( V = S_{\text{осн}} \cdot h \) для пирамиды
✅ верно\( V = \dfrac{1}{3}\,S_{\text{осн}} \cdot h \)
Множитель \( \tfrac{1}{3} \) отличает остроконечные тела (пирамида, конус) от призматических. Его пропуск завышает объём ровно втрое.
❌ ошибкаВ качестве \( h \) наклонной призмы берут боковое ребро
✅ верно\( h \) — расстояние между плоскостями оснований (перпендикуляр); у наклонной призмы \( h < \text{боковое ребро} \)
Боковое ребро — наклонная линия; высота — перпендикуляр между основаниями. Подмена даёт завышенный объём.
❌ ошибкаУгол между скрещивающимися прямыми считают тупым (\( \cos < 0 \))
✅ верно\( \cos\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} \) — берут модуль, угол всегда \( \leq 90° \)
По определению угол между прямыми не превосходит 90°. Отрицательный косинус означает, что нужно взять смежный угол — именно для этого стоит модуль в формуле.
❌ ошибкаОбразующую конуса приравнивают к высоте: \( l = h \)
✅ верно\( l = \sqrt{R^2 + h^2} \); образующая — гипотенуза осевого треугольника
Высота, радиус и образующая связаны теоремой Пифагора. Путаница ведёт к неверной боковой поверхности.
❌ ошибкаПлощадь поверхности шара считают как \( \pi R^2 \) или \( \dfrac{4}{3}\pi R^2 \)
✅ верно\( S = 4\pi R^2 \); объём \( V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \)
Площадь сферы вчетверо больше площади большого круга. Формулы площади и объёма различаются степенью \( R \) и коэффициентом — их нельзя смешивать.
❌ ошибкаВ задании 14 находят угол или расстояние без доказательной части
✅ верноСначала строго обосновать построение или ввод координат, затем вычислять
За вычислительный пункт без корректного обоснования снимают баллы, даже если числовой ответ верен.
❌ ошибкаДиагональ куба принимают равной \( a\sqrt{2} \)
✅ верноДиагональ куба \( d = a\sqrt{3} \); \( a\sqrt{2} \) — диагональ грани
Диагональ грани лежит в одной плоскости и «связывает» два ребра. Пространственная диагональ пронизывает всё тело и связывает три ребра — под корнем сумма трёх квадратов.
❌ ошибкаПлощадь правильного шестиугольника считают как \( \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)
✅ верно\( S_6 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)
Шестиугольник разбивается на шесть равносторонних треугольников со стороной \( a \), а не на один. Площадь ровно в шесть раз больше площади одного треугольника.

---

Частые вопросы о стереометрии 10 класса

По этой теме есть отдельный разбор: что такое стереометрия и какие тела изучают.

По этой теме есть отдельный разбор: теорема о трёх перпендикулярах с задачами.

По этой теме есть отдельный разбор: сводная таблица формул по стереометрии для ЕГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: задание 14 ЕГЭ по стереометрии.

---

Внесены два исправления:

  1. 1. :::formulas — убраны \( \) во всех четырёх блоках. Было: Куб :: \( V = a^3,\quad S_{\text{полн}} = 6a^2 \), стало: Куб :: V = a^3,\quad S_{\text{полн}} = 6a^2. Это затронуло блоки в разделах про призмы, пирамиды, тела вращения и таблицу 10.12. Формулы в обычном тексте (\[ \] и \( \)) не тронуты.
  1. 2. Добавлен раздел FAQ «Частые вопросы о стереометрии 10 класса» с шестью вопросами: структура курса, роль видеоуроков, мнемоника для формул объёмов, апофема, выбор метода для задания 14, таблица 10.12. Размещён после «Типичных ошибок», перед блоком ссылок.
PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Стереометрия ЕГЭ профиль 3 задание: теория и формулы2026-07-14Теорема о трех перпендикулярах задачи: доказательство2026-07-18Усечённый конус это: формулы объёма, площади и развёртки2026-07-28Задание 14 ЕГЭ математика профиль: стереометрия, критерии, разборы2026-07-16