Усечённый конус это: формулы объёма, площади и развёртки

Готово. Вот исправленная статья целиком:

---

`markdown --- title: Усечённый конус это: формулы объёма, площади и развёртки description: Усечённый конус — фигура, которую получают срезом конуса параллельной плоскостью. Формулы боковой поверхности, объёма, развёртки и разбор ошибок в ЕГЭ и ОГЭ. slug: usechennyj-konus-eto keywords: [усеченный конус это, усеченный конус формулы, усеченный конус объем, усеченный конус боковая поверхность, усеченный конус развертка, объем усеченного конуса это, усеченный конус это в геометрии, основание усеченного конуса это, радиус усеченного конуса это, высота усеченного конуса это, образующие усеченного конуса это] author: Алмаз date: 2026-07-28 cluster: stereometriya ---

Усечённый конус это тело, которое получают, срезав у обычного конуса верхушку плоскостью, параллельной основанию: остаётся фигура с двумя круговыми основаниями разного радиуса. Такая фигура встречается в задачах ЕГЭ и ОГЭ по стереометрии, и в этой статье разобраны все её элементы: что такое образующая, высота и оба основания, как выводятся формулы боковой поверхности, полной площади и объёма, а в конце — три типичные ошибки, из-за которых теряются баллы.

Усечённый конус — что это такое в геометрии

В геометрии усечённый конус это тело вращения, получаемое из прямого кругового конуса секущей плоскостью, параллельной основанию. Верхняя часть конуса отсекается, остаётся нижняя. Это не обрубок произвольной формы, а строго симметричная фигура с двумя параллельными круговыми гранями.

У каждого элемента фигуры своё имя и обозначение.

Большее основание — нижний круг с радиусом \(R\). Это то же основание, что у исходного полного конуса.

Меньшее основание — верхний круг с радиусом \(r\), где \(r < R\). Он возникает на месте среза.

Основание усечённого конуса — это любой из двух ограничивающих кругов. По традиции их различают: большее с радиусом \(R\) и меньшее с радиусом \(r\).

Высота \(h\) — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Высота усечённого конуса — это именно перпендикуляр, а не наклонный отрезок по поверхности.

Образующая \(l\) — отрезок, соединяющий соответствующие точки двух окружностей по боковой поверхности. Образующие усечённого конуса — это равные между собой отрезки, параллельные образующей исходного конуса.

Радиус усечённого конуса — это расстояние от оси до края основания; в задачах он встречается в двух видах: \(R\) у большего основания и \(r\) у меньшего. Оба нужны для расчётов.

Из прямоугольного треугольника в осевом сечении вытекает связь четырёх величин: один катет — высота \(h\), другой — разность радиусов \((R - r)\), гипотенуза — образующая \(l\):

\[ l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} \]

Боковая поверхность усечённого конуса: формула

Боковая поверхность усечённого конуса считается по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \pi(R + r) \cdot l \]

Главное: в формуле стоит образующая \(l\), а не высота \(h\). Это одна из самых частых ошибок в задачах.

Вывод через развёртку. Боковая поверхность разворачивается в кольцевой сектор — фигуру между двумя дугами. Мысленно достраиваем усечённый конус до полного; вершина полного конуса находится на расстоянии \(L\) от края большего основания (по образующей) и на расстоянии \(L - l\) от края меньшего.

Угол сектора \(\varphi\) определяется из равенства длины внешней дуги и длины окружности большего основания: \(\varphi L = 2\pi R\).

Площадь кольцевого сектора: \[ S = \frac{1}{2}\varphi L^2 - \frac{1}{2}\varphi (L-l)^2 = \frac{\varphi}{2}(2Ll - l^2) \]

Подставляя \(\varphi = \dfrac{2\pi R}{L}\) и используя соотношение подобия \(\dfrac{r}{R} = \dfrac{L-l}{L}\), получаем:

\[ S_{\text{бок}} = \pi(R + r) \cdot l \]

Почему \(l \neq h\): высота \(h\) — перпендикуляр внутри фигуры, образующая \(l\) — наклонный отрезок по поверхности. По теореме Пифагора \(l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} \geq h\), и равенство только при \(R = r\) (цилиндр).

По этой теме есть отдельный разбор: площади геометрических фигур.

Развёртка усечённого конуса: как построить

Развёртка усечённого конуса — это кольцевой сектор: полный круговой сектор с вырезанным внутренним меньшим сектором. Внешняя дуга соответствует большему основанию, внутренняя — меньшему.

Для построения нужны радиусы обоих секторов и угол. Достроим фигуру до полного конуса. Из подобия треугольников осевого сечения:

\[ \frac{L - l}{L} = \frac{r}{R} \implies L = \frac{Rl}{R - r} \]

Все параметры развёртки выражаются через \(R\), \(r\) и \(l\):

К боковой развёртке добавляются два полных круга — радиуса \(R\) и радиуса \(r\) — для изображения оснований. Кратчайший путь по поверхности ищут именно на развёртке: разворачивают, соединяют точки отрезком и вычисляют длину планиметрически.

Полная площадь поверхности усечённого конуса

Полная площадь поверхности включает боковую часть и оба круговых основания:

\[ S_{\text{полн}} = \pi(R + r) \cdot l + \pi R^2 + \pi r^2 \]

Каждое слагаемое:

\(\pi(R + r) \cdot l\) — боковая поверхность (кольцевой сектор развёртки).

\(\pi R^2\) — площадь большего основания.

\(\pi r^2\) — площадь меньшего основания.

Чтобы не пропустить второй круг, достаточно представить фигуру физически: снизу — круглое дно радиуса \(R\), сверху — круглая крышка радиуса \(r\). Оба входят в полную площадь.

У полного конуса верхнего «дна» нет — там точка. Поэтому его формула \(\pi R l + \pi R^2\) — частный случай при \(r = 0\).

Объём усечённого конуса: формула и вывод

Объём усечённого конуса — это:

\[ V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2) \]

Вывод методом дополнения. Достраиваем фигуру до полного конуса и вычитаем срезанную вершину.

Можно получить ту же формулу через подобие сечений: на высоте \(t\) от большего основания радиус сечения равен \(R(t) = R - \dfrac{(R-r)t}{h}\), интеграл площадей от 0 до \(h\) даёт тот же результат.

Выражение \(R^2 + Rr + r^2\) — не то же самое, что \((R + r)^2 = R^2 + 2Rr + r^2\). Коэффициент при \(Rr\) в правильной формуле равен 1, а не 2. При \(r = 0\) формула превращается в \(\dfrac{\pi R^2 h}{3}\) — объём полного конуса, что служит проверкой.

По этой теме есть отдельный разбор: все формулы объёмов геометрических тел.

Осевое сечение усечённого конуса

Осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция. Плоскость, проходящая через ось симметрии, пересекает фигуру по трапеции со следующими параметрами:

Основания трапеции равны \(2R\) и \(2r\) — диаметры обоих кругов. Боковые стороны равны \(l\) — длине образующей. Высота трапеции равна \(h\) — высоте конуса.

Трапеция равнобедренная, поскольку ось симметрии конуса делит оба диаметра пополам, а боковые стороны симметричны относительно неё.

Из осевого сечения удобно выводить любой из четырёх элементов по остальным трём. Прямоугольный треугольник с катетами \(h\) и \((R - r)\) и гипотенузой \(l\) даёт:

\[ l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}, \qquad h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2} \]

Пример: большое основание \(2R = 10\) (\(R = 5\)), малое \(2r = 4\) (\(r = 2\)), образующая \(l = 5\). Высота: \[ h = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \]

Через осевое сечение также решаются задачи на вписанные и описанные сферы: пространственная задача сводится к планиметрической.

Все формулы усечённого конуса — шпаргалка

Ниже — ключевые формулы усечённого конуса для быстрого поиска нужной зависимости.

Типичные ошибки в задачах с усечённым конусом

Часто задаваемые вопросы

Что такое усечённый конус простыми словами?

Усечённый конус это геометрическое тело, которое получают срезом вершины обычного конуса плоскостью, параллельной его основанию. В отличие от полного конуса, у него два круговых основания — нижнее большего радиуса \(R\) и верхнее меньшего радиуса \(r\).

Какие формулы усечённого конуса нужно знать для задач?

Основные формулы усечённого конуса: образующая \(l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}\), боковая поверхность \(S_\text{бок} = \pi(R+r)\cdot l\), полная поверхность \(S = \pi(R+r)\cdot l + \pi R^2 + \pi r^2\), объём \(V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)\). Образующая \(l\) и высота \(h\) — разные величины: \(l \geq h\) всегда.

Что такое основание усечённого конуса?

Основание усечённого конуса — это один из двух параллельных кругов, ограничивающих фигуру. Большее основание с радиусом \(R\) унаследовано от исходного конуса, меньшее с радиусом \(r\) образовано секущей плоскостью. Оба основания входят в формулу полной площади поверхности.

Как найти объём усечённого конуса?

Объём усечённого конуса это результат вычисления по формуле \(V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)\), где \(h\) — высота, \(R\) и \(r\) — радиусы оснований. Частая ошибка: путать \(R^2 + Rr + r^2\) с \((R+r)^2 = R^2 + 2Rr + r^2\) — коэффициент при \(Rr\) должен быть 1, а не 2.

Как построить развёртку усечённого конуса?

Развёртка усечённого конуса это кольцевой сектор. Для его построения вычисляют внешний радиус \(L = \frac{Rl}{R-r}\), внутренний радиус \(L - l = \frac{rl}{R-r}\) и угол \(\varphi = \frac{2\pi(R-r)}{l}\) рад. К боковой развёртке добавляют два круга радиусов \(R\) и \(r\), соответствующих двум основаниям.

По этой теме есть отдельный разбор: правильная пирамида.

По этой теме есть отдельный разбор: задание 14 ЕГЭ по стереометрии. `

---

Что исправлено:

Ключевое покрытие — все 10 фраз вплетены в текст без жирного:

• - вводный абзац: «Усечённый конус это тело…»
• - раздел определения: «В геометрии усечённый конус это тело вращения…»
• - элементы фигуры: «Основание усечённого конуса — это…», «Образующие усечённого конуса — это равные между собой отрезки…», «Радиус усечённого конуса — это расстояние…»
• - раздел развёртки: «Развёртка усечённого конуса — это кольцевой сектор…»
• - шпаргалка: добавлена вводная фраза «формулы усечённого конуса для быстрого поиска»
• - keywords в frontmatter дополнены четырьмя недостающими ключами

FAQ — добавлен раздел «Часто задаваемые вопросы» с пятью вопросами (определение, формулы, основание, объём, развёртка); каждый ответ дополнительно закрывает соответствующий ключ.