Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника: формулировка

Формулировка теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника

Три ключевых понятия. Биссектриса угла треугольника — отрезок от вершины до точки на противоположной стороне, делящий угол пополам. Медиана — отрезок от вершины до середины противоположной стороны. Высота — перпендикуляр из вершины на противоположную сторону.

В произвольном треугольнике все три отрезка, проведённые из одной вершины, различны. В равнобедренном — нет.

Теорема о биссектрисе угла при вершине равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике \( ABC \), где \( AB = BC \) — боковые стороны, биссектриса \( BD \), проведённая из угла при вершине \( B \), является одновременно медианой и высотой к основанию \( AC \): \[ AD = DC \quad \text{и} \quad BD \perp AC. \]

Именно такая формулировка принята в школьных учебниках и засчитывается полностью на ЕГЭ и ОГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства равнобедренного треугольника.

Биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника: что она делает

Равнобедренный треугольник симметричен относительно оси, проходящей через вершинный угол и середину основания. Теорема о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника объясняется именно этой симметрией.

Углы при основании равны: \( \angle A = \angle C \). Поэтому биссектриса из вершинного угла \( B \) делит треугольник строго по оси симметрии — левая и правая части становятся зеркальными копиями. Отсюда сразу два вывода:

• - Основание делится пополам (\( AD = DC \)), то есть биссектриса одновременно является медианой.
• - Биссектриса перпендикулярна основанию (\( BD \perp AC \)), то есть является высотой.

Именно равенство углов при основании создаёт этот эффект: обе части треугольника несут одинаковые углы \( \angle A \) и \( \angle C \), что «вынуждает» биссектрису из \( B \) разбивать основание ровно посередине и падать на него под прямым углом. Теорема о биссектрисе, проведённой к основанию равнобедренного треугольника, переводит эту интуицию в строгое доказательство.

Доказательство теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника

Условие. Треугольник \( ABC \), \( AB = BC \), \( BD \) — биссектриса угла \( B \), точка \( D \) лежит на \( AC \).

Требуется доказать: \( AD = DC \) и \( BD \perp AC \).

Чтобы доказать теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника, достаточно установить равенство двух треугольников по признаку СУС.

Доказательство теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника завершено. Один признак равенства — СУС — даёт сразу оба следствия: биссектриса есть медиана и высота.

По этой теме есть отдельный разбор: биссектриса треугольника.

Теорема о равенстве биссектрис равнобедренного треугольника

Помимо биссектрисы из вершинного угла, в равнобедренном треугольнике есть два биссектрисы из углов при основании — они идут к боковым (равным) сторонам. Теорема о равенстве биссектрис равнобедренного треугольника утверждает следующее.

Теорема В равнобедренном треугольнике \( ABC \), где \( AB = BC \), биссектрисы углов при основании равны: если \( AM \) — биссектриса угла \( A \) (\( M \in BC \)), а \( CN \) — биссектриса угла \( C \) (\( N \in AB \)), то \( AM = CN \).

В ряде учебных программ это идёт отдельным пунктом — 12-я теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Доказательство.

Так как \( \angle A = \angle C \), то их половины тоже равны: \[ \angle BAM = \frac{\angle A}{2} = \frac{\angle C}{2} = \angle BCN. \]

Рассмотрим треугольники \( ABM \) и \( CBN \):

• - \( AB = CB \) — боковые стороны равнобедренного треугольника;
• - \( \angle BAM = \angle BCN \) — доказано выше;
• - \( \angle ABM = \angle CBN = \angle B \) — один и тот же угол при общей вершине \( B \).

Сторона \( AB \) заключена между углами \( \angle BAM \) и \( \angle ABM \) в треугольнике \( ABM \); сторона \( CB \) — между \( \angle BCN \) и \( \angle CBN \) в треугольнике \( CBN \). По признаку «угол–сторона–угол» (УСУ): \( \triangle ABM = \triangle CBN \), откуда \( AM = CN \). ∎

Равенство вытекает из равенства углов при основании и общей боковой стороны — никакой дополнительной информации не нужно.

Формула длины биссектрисы и разбор задачи

Поскольку биссектриса вершинного угла равнобедренного треугольника является высотой, её длину проще всего найти через теорему Пифагора.

Пусть \( a \) — боковая сторона \( (AB = BC = a) \), \( b \) — основание \( (AC = b) \), \( BD \) — искомая биссектриса. Тогда \( D \) — середина \( AC \), и в прямоугольном треугольнике \( ABD \):

\[ BD^2 = AB^2 - AD^2 = a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2. \]

Вторая формула следует из того, что в прямоугольном треугольнике \( ABD \): \( BD = AB \cdot \cos\angle ABD = a \cdot \cos\dfrac{\angle B}{2} \).

---

Типовая задача

Условие. В равнобедренном треугольнике \( ABC \) боковые стороны \( AB = BC = 5 \), основание \( AC = 6 \). Найдите длину биссектрисы, проведённой из угла \( B \).

Решение.

Биссектриса из вершинного угла является высотой к основанию, поэтому \( AD = DC = 3 \). По теореме Пифагора в \( \triangle ABD \):

\[ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4. \]

Ответ: \( BD = 4 \).

Типичные ошибки при решении задач на биссектрису равнобедренного треугольника

Ошибка 1: свойство переносят на произвольный треугольник. Перед применением теоремы о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника нужно убедиться, что треугольник действительно равнобедренный и что биссектриса проведена именно из вершинного угла, а не из одного из углов при основании.

Ошибка 2: путаница инцентра с центроидом. Точка пересечения биссектрис (инцентр) равноудалена от сторон — на расстояние \( r \) (радиус вписанной окружности). Центроид делит медианы в отношении 2:1 от вершины. В равностороннем треугольнике обе точки совпадают, но в равнобедренном (а тем более в произвольном) они различны — подменять одну другой нельзя.

Частые вопросы

Чему равна биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника?

Если боковая сторона \( a \) и основание \( b \), то длина биссектрисы \( BD = \sqrt{a^2 - b^2/4} \) — по теореме Пифагора, поскольку биссектриса совпадает с высотой к основанию. Через вершинный угол: \( BD = a\cos(\angle B / 2) \).

Как доказать, что биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой?

Биссектриса \( BD \) делит треугольник \( ABC \) на \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \). В них \( AB = CB \) (по условию), \( \angle ABD = \angle CBD \) (биссектриса), \( BD = BD \) (общая сторона). По признаку СУС треугольники равны, откуда \( AD = DC \) (медиана) и \( \angle BDA = \angle BDC = 90^\circ \) (высота).

Равны ли биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам?

Да, равны. Поскольку углы при основании равны (\( \angle A = \angle C \)), их половины тоже равны. Треугольники \( ABM \) и \( CBN \) совпадают по признаку УСУ (угол–сторона–угол), поэтому \( AM = CN \).

Как найти длину биссектрисы равнобедренного треугольника?

При известных боковой стороне \( a \) и основании \( b \) — по теореме Пифагора: \( BD = \sqrt{a^2 - b^2/4} \). При известных боковой стороне и вершинном угле \( B \) — по формуле \( BD = a\cos(B/2) \). Если даны все три стороны, можно также воспользоваться общей формулой длины биссектрисы.

Верно ли, что в любом треугольнике биссектриса совпадает с высотой?

Нет. Биссектриса совпадает с высотой только в равнобедренном треугольнике, и только та, что проведена из вершинного угла. В произвольном треугольнике эти линии различны. Более того, если биссектриса из некоторой вершины совпадает с высотой, это является признаком равнобедренности — то есть доказывает, что треугольник равнобедренный.

По этой теме есть отдельный разбор: медиана треугольника.

По этой теме есть отдельный разбор: теорема о биссектрисе угла треугольника.