Теорема о биссектрисе угла треугольника устанавливает, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону. Это одна из ключевых теорем планиметрии: она встречается в задачах ЕГЭ и ОГЭ и лежит в основе нескольких методов решения. В статье — формулировка, доказательство, разбор внешнего угла и типичные ошибки.
Сформулируйте теорему о биссектрисе угла треугольника
Пусть в треугольнике \(ABC\) из вершины \(A\) проведена биссектриса \(AD\), где точка \(D\) лежит на стороне \(BC\). Обозначим \(AB = c\), \(AC = b\).
Теорема о биссектрисе угла треугольника: биссектриса внутреннего угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]
Отрезок \(BD\) прилежит к стороне \(AB\), отрезок \(DC\) — к стороне \(AC\). Чем больше \(AB\) по сравнению с \(AC\), тем больший отрезок \(BD\) отсекает биссектриса.
Утверждение обратимо: если точка \(D\) делит \(BC\) в отношении \(AB : AC\), то \(AD\) — биссектриса угла \(A\). Это и есть теорема о свойстве биссектрисы угла треугольника в полной формулировке.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Доказательство теоремы о биссектрисе угла треугольника
Теорема о биссектрисе угла треугольника допускает несколько доказательств. Рассмотрим два наиболее распространённых.
Доказательство 1. Достраивание параллельной прямой
- Классическое доказательство через подобие
- Шаг 1: Через вершину C проводим прямую CE, параллельную биссектрисе AD, и продлеваем сторону BA до пересечения с ней в точке E.
- Шаг 2: Прямые AD и CE параллельны, поэтому углы \(\angle BAD\) и \(\angle AEC\) — соответственные: \(\angle AEC = \angle BAD = \tfrac{\alpha}{2}\).
- Шаг 3: Углы \(\angle DAC\) и \(\angle ACE\) — накрест лежащие при тех же параллельных прямых: \(\angle ACE = \angle DAC = \tfrac{\alpha}{2}\).
- Шаг 4: В треугольнике ACE два угла равны \(\tfrac{\alpha}{2}\), значит он равнобедренный и \(AE = AC\).
- Шаг 5: По теореме о пропорциональных отрезках, которые параллельная прямая CE отсекает на сторонах треугольника ABE: \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{BA}{AE} = \dfrac{AB}{AC}\). ∎
Доказательство 2. Метод площадей
- Доказательство методом площадей
- Шаг 1: Биссектриса AD делит треугольник ABC на два треугольника: ABD и ACD.
- Шаг 2: Оба треугольника имеют общую высоту, опущенную из A на прямую BC. Площади относятся как основания: \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{BD}{DC}\).
- Шаг 3: Запишем площади через две стороны и угол: \(S_{ABD} = \tfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin\angle BAD\), \(\quad S_{ACD} = \tfrac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin\angle CAD\).
- Шаг 4: Так как AD — биссектриса, \(\angle BAD = \angle CAD\). Общий множитель \(\tfrac{1}{2} \cdot AD \cdot \sin\angle BAD\) сокращается: \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{AB}{AC}\).
- Шаг 5: Из шагов 2 и 4: \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}\). ∎
По этой теме есть отдельный разбор: теорему Фалеса о пропорциональных отрезках.
Пропорциональные отрезки: применение теоремы в задачах
Теорема о биссектрисе угла треугольника и пропорциональных отрезках применяется по единому алгоритму: выписать пропорцию → обозначить неизвестные через параметр → составить уравнение из суммы отрезков → решить.
Задача 1. В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB = 6\), \(AC = 9\), \(BC = 10\). Биссектриса \(AD\) делит \(BC\) на отрезки \(BD\) и \(DC\). Найти их длины.
- Решение задачи 1
- Шаг 1: По теореме о биссектрисе: \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\).
- Шаг 2: Пусть \(BD = 2x\), \(DC = 3x\). Тогда \(2x + 3x = 10\), откуда \(x = 2\).
- Шаг 3: \(BD = 4\), \(DC = 6\).
Задача 2. В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB = 4\), \(AC = 6\), \(BC = 5\). Найти длину биссектрисы \(AD\).
- Решение задачи 2
- Шаг 1: По теореме о биссектрисе: \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\). При \(BC = 5\): \(BD = 2\), \(DC = 3\).
- Шаг 2: По формуле \(l_a^2 = bc - BD \cdot DC\), где \(b = AC = 6\), \(c = AB = 4\): \(l_a^2 = 4 \cdot 6 - 2 \cdot 3 = 24 - 6 = 18\).
- Шаг 3: \(l_a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
Задача 3. Биссектриса \(AD\) делит сторону \(BC\) так, что \(BD : DC = 2 : 5\). Найти \(AB\), если \(AC = 10\).
Из пропорции \(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{2}{5}\) сразу получаем \(AB = \dfrac{2}{5} \cdot 10 = 4\).
Теорема о биссектрисе внешнего угла треугольника
Внешний угол при вершине \(A\) — это угол, смежный с углом \(A\) треугольника. Его биссектриса делит этот угол пополам.
Теорема о биссектрисе внешнего угла треугольника: биссектриса внешнего угла при вершине треугольника пересекает продолжение противоположной стороны и делит её внешним образом в отношении прилежащих сторон.
Если биссектриса внешнего угла при \(A\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(M\), то:
\[ \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}, \quad M \notin [BC] \]
Точка \(M\) находится вне отрезка \(BC\): при \(AB > AC\) — на продолжении за вершину \(C\), при \(AB < AC\) — за вершину \(B\).
| | Внутренний угол | Внешний угол | |---|---|---| | Точка деления | Внутри \(BC\), между B и C | Вне отрезка \(BC\), на продолжении | | Отношение | \(BD/DC = AB/AC\) | \(BM/MC = AB/AC\) | | Вид деления | Внутреннее | Внешнее |
Особый случай: при \(AB = AC\) биссектриса внешнего угла параллельна стороне \(BC\) и точки пересечения не существует. Равнобедренный треугольник — единственное исключение.
По этой теме есть отдельный разбор: теорема Чевы и Менелая.
Биссектриса угла равнобедренного треугольника
Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором \(AB = BC = a\) (боковые стороны), \(AC = b\) (основание), вершинный угол — \(\angle B\).
Теорема о биссектрисе угла равнобедренного треугольника проявляется особенно наглядно: биссектриса \(BD\) из вершинного угла одновременно является медианой и высотой к основанию. Это следует из осевой симметрии: треугольник симметричен относительно \(BD\), поэтому биссектриса перпендикулярна \(AC\) и делит его пополам.
Проверим пропорцию теоремы. Точка \(D\) — середина \(AC\), значит \(AD = DC = b/2\):
\[ \frac{AD}{DC} = \frac{b/2}{b/2} = 1 = \frac{AB}{BC} = \frac{a}{a} \]
Пропорция выполняется: равные боковые стороны дают равные отрезки.
Длину биссектрисы (она же высота к основанию) находят по теореме Пифагора:
\[ l = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} \]
Или через формулу длины биссектрисы, где \(\beta\) — вершинный угол:
\[ l = \frac{2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\dfrac{\beta}{2}}{a + a} = a\cos\frac{\beta}{2} \]
Коротко
- В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершинного угла совпадает с медианой и высотой к основанию.
- Длина этой биссектрисы: \(l = \sqrt{a^2 - b^2/4}\), где \(a\) — боковая сторона, \(b\) — основание.
- Биссектрисы при двух углах основания равнобедренного треугольника равны между собой.
- Если биссектриса и медиана совпадают, треугольник равнобедренный — и наоборот.
Типичные ошибки при применении теоремы о биссектрисе
Частые вопросы
Что утверждает теорема о биссектрисе угла треугольника?
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на два отрезка, отношение которых равно отношению прилежащих сторон: \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}\). Утверждение обратимо: если точка делит сторону в этом отношении, то отрезок из вершины до неё является биссектрисой.
Как доказывается теорема о биссектрисе угла треугольника?
Два основных способа. Классическое доказательство: через вершину C проводят прямую, параллельную биссектрисе AD, продлевают сторону BA до пересечения с ней; получают равнобедренный треугольник и применяют пропорциональность отрезков при параллельных прямых. Альтернативный способ — метод площадей: треугольники ABD и ACD имеют общую высоту из A, поэтому их площади относятся как основания; то же отношение получается через две стороны и угол, что и даёт нужную пропорцию.
Чем теорема о биссектрисе внешнего угла отличается от теоремы для внутреннего?
Отношение то же — \(AB : AC\), но точка пересечения лежит вне стороны \(BC\), на её продолжении. Это называется внешним делением. Если \(AB = AC\), биссектриса внешнего угла параллельна \(BC\) и не пересекает её.
Как найти длину отрезка с помощью теоремы о биссектрисе?
Нужно записать пропорцию \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}\), обозначить отрезки как \(BD = kx\), \(DC = lx\), где \(k : l = AB : AC\), затем использовать условие \(BD + DC = BC\) и решить линейное уравнение относительно \(x\).
Какие свойства имеет биссектриса угла равнобедренного треугольника?
Биссектриса из вершинного угла равнобедренного треугольника одновременно является медианой и высотой к основанию. Её длина равна \(\sqrt{a^2 - b^2/4}\), где \(a\) — боковая сторона, \(b\) — основание. Биссектрисы при двух углах основания равны между собой.
По этой теме есть отдельный разбор: свойства биссектрисы треугольника.
По этой теме есть отдельный разбор: признаки подобия треугольников.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.