Свойство медиан треугольника, пересекающихся в одной точке

Готово. Возвращаю полный файл:

--- title: Свойство медиан треугольника, пересекающихся в одной точке description: Свойство медиан треугольника пересекающихся в одной точке: центроид делит каждую медиану 2:1 от вершины. Задачи ЕГЭ и ОГЭ: длины медиан, площади, координаты. slug: svojstvo-median-treugolnika-peresekayuschihsya-v-odnoj keywords: [свойство медиан треугольника пересекающихся в одной точке, свойство медиан треугольника доказательство, свойство медиан треугольника задачи, свойство медиан треугольника площадь, центроид треугольника, медиана треугольника отношение 2:1] author: Алмаз date: 2026-07-29 cluster: \(planimetriya_treug ---\)

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке — центроиде (точке тяжести), которая делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины. Это свойство активно используется в задачах ЕГЭ и ОГЭ: через него находят длины медиан, площади частей треугольника и координаты замечательной точки.

Медиана треугольника: определение и обозначения

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. В треугольнике \(ABC\) используют обозначения:

\(m_a\) — медиана из вершины \(A\) к середине \(BC\), \(m_b\) — медиана из вершины \(B\) к середине \(AC\), \(m_c\) — медиана из вершины \(C\) к середине \(AB\).

На экзамене легко перепутать медиану с двумя другими замечательными линиями.

Высота — перпендикуляр из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Её основание не обязано совпадать с серединой стороны.

Биссектриса делит угол пополам; точка её пересечения со стороной делит её пропорционально прилежащим сторонам: \[\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}.\]

Медиана же всегда приходит строго в середину стороны — это её единственное определяющее условие.

Полезный ориентир: средняя линия соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине: \[MN = \dfrac{1}{2}\,a, \quad MN \parallel a.\] Средняя линия возникает в доказательстве свойства медиан через подобие треугольников.

Свойство медиан треугольника: пересечение в одной точке

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Эта точка обозначается \(G\) и называется центроидом, или точкой тяжести. Свойство медиан треугольника, пересекающихся в одной точке, содержит и метрическое уточнение: центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Если \(AD\) — медиана длиной \(m_a\) (здесь D — середина BC), то: \[AG = \dfrac{2}{3}\,m_a, \quad GD = \dfrac{1}{3}\,m_a, \quad AG : GD = 2 : 1.\]

Аналогично для \(m_b\) и \(m_c\).

На чертеже медианы \(AD\), \(BE\), \(CF\) сходятся ровно в одной точке \(G\) внутри треугольника. Никакого «треугольника пересечений» не возникает — это следствие теоремы, а не случайность при точном построении.

Доказательство свойства медиан треугольника

Свойство медиан треугольника допускает несколько доказательств. Ниже — два наиболее полезных для практики.

Классическое доказательство (средняя линия и подобие)

Пусть \(G\) — пересечение медиан \(AD\) и \(CF\), где \(D\) — середина \(BC\), \(F\) — середина \(AB\).

Отрезок \(DF\) — средняя линия треугольника \(ABC\), соединяющая середины \(BC\) и \(AB\): \[DF \parallel AC, \quad DF = \dfrac{1}{2}\,AC.\]

(Доказательство теоремы о средней линии само использует достраивание параллелограмма: если продолжить \(DF\) за \(F\) до точки \(F'\) так, что \(FF' = DF\), то четырёхугольник \(ADCF'\) оказывается параллелограммом.)

Рассмотрим треугольники \(GDF\) и \(GAC\):

• - углы при \(G\) равны как вертикальные,
• - \(\angle GDF = \angle GAC\) как накрест лежащие при \(DF \parallel AC\).

По признаку AA треугольники \(GDF\) и \(GAC\) подобны с коэффициентом: \[k = \dfrac{DF}{AC} = \dfrac{1}{2}.\]

Отсюда \(GD : GA = 1 : 2\), то есть \(AG : GD = 2 : 1\).

Аналогичное рассуждение для каждой пары медиан показывает, что все три медианы делятся одной точкой \(G\) в отношении 2:1 от вершины.

Координатное доказательство (быстрый способ)

Пусть вершины: \(A(x_1,\,y_1)\), \(B(x_2,\,y_2)\), \(C(x_3,\,y_3)\).

Середина \(BC\): \(D = \left(\dfrac{x_2+x_3}{2};\;\dfrac{y_2+y_3}{2}\right)\).

Точка, делящая \(AD\) в отношении 2:1 от \(A\): \[G = \left(\frac{x_1 + 2\cdot\dfrac{x_2+x_3}{2}}{3};\;\frac{y_1 + 2\cdot\dfrac{y_2+y_3}{2}}{3}\right) = \left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\;\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).\]

Это выражение симметрично по всем трём вершинам: оно не меняется в зависимости от того, какую медиану взять. Значит, точка, делящая каждую из трёх медиан в отношении 2:1 от вершины, одна и та же — центроид: \[G = \left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\;\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).\]

По этой теме есть отдельный разбор: признаки подобия треугольников.

По этой теме есть отдельный разбор: теорему Чевы.

Медианы треугольника и площадь: что нужно знать

Свойство медиан треугольника и площадь связаны через следующий факт: три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.

Почему это так? Медиана \(AD\) делит \(\triangle ABC\) на два треугольника \(ABD\) и \(ACD\) с равными основаниями (\(BD = DC\)) и общей высотой из \(A\), поэтому их площади равны: \(S_{ABD} = S_{ACD} = \dfrac{S}{2}\). Аналогично для других медиан. Когда все три медианы проведены, центроид \(G\) дополнительно делит каждый из этих треугольников на два равных — итого шесть равных частей: \[S_1 = S_2 = S_3 = S_4 = S_5 = S_6 = \dfrac{S}{6}.\]

Типичная задача ЕГЭ на нахождение площади через центроид:

Площадь треугольника \(ABC\) равна 48. Медианы \(AD\) и \(BE\) пересекаются в точке \(G\). Найдите площадь четырёхугольника \(AGEC\).

Решение. Медианы делят треугольник на 6 равных частей, каждая площадью \(48/6 = 8\). Четырёхугольник \(AGEC\) объединяет три такие части: \(3 \cdot 8 = 24\).

Задачи на свойство медиан треугольника (с разбором)

Задачи на свойство медиан треугольника встречаются на ОГЭ и в базовой части ЕГЭ. Разберём три задачи по возрастанию сложности.

Задача 1. Найти AG и GD по длине медианы

Медиана \(AD = 15\). Точка \(G\) — центроид треугольника. Найдите \(AG\) и \(GD\).

Ответ: \(AG = 10\), \(GD = 5\).

Задача 2. Найти длину медианы по сторонам треугольника

В треугольнике \(ABC\): \(AB = 5\), \(AC = 7\), \(BC = 6\). Найдите длину медианы \(m_a\), проведённой из вершины \(A\) к стороне \(BC\).

Используем формулу медианы, выведенную через теорему косинусов: \[m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}.\] Здесь \(a = BC = 6\), \(b = AC = 7\), \(c = AB = 5\).

Ответ: \(m_a = 2\sqrt{7} \approx 5{,}29\).

Задача 3. Найти центроид по координатам вершин

Дан треугольник \(A(1,\;4)\), \(B(5,\;0)\), \(C(3,\;6)\). Найдите координаты точки пересечения медиан.

Медианы равнобедренного и равностороннего треугольников

В частных случаях треугольника медианы приобретают дополнительные свойства, которые нередко упрощают задачи ЕГЭ.

Равнобедренный треугольник. Если боковые стороны \(AB = BC\), то медиана, проведённая к основанию \(AC\), одновременно является высотой и биссектрисой. Это следствие осевой симметрии: ось симметрии равнобедренного треугольника проходит через вершину \(B\) и середину \(AC\) — и является всеми тремя линиями сразу.

Длина медианы к основанию (она же высота): \[h = \sqrt{a^2 - \dfrac{b^2}{4}},\] где \(a\) — боковая сторона, \(b\) — основание.

Равносторонний треугольник. Все три медианы равны между собой и совпадают с высотами и биссектрисами. Центроид совпадает с центром вписанной и центром описанной окружностей — все замечательные точки треугольника сходятся в одной.

Длина медианы со стороной \(a\): \[m = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\]

Поскольку центроид делит медиану в отношении 2:1, радиусы окружностей выражаются через \(m\): \[R = \dfrac{2}{3}\,m = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}, \quad r = \dfrac{1}{3}\,m = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\]

При этом \(R = 2r\) — характерное соотношение для равностороннего треугольника.

Типичные ошибки при работе с медианами

Ошибки в задачах на свойство медиан треугольника сводятся к двум устойчивым заблуждениям.

Первая ошибка — подменить «медиана делит сторону пополам» на «центроид делит медиану пополам». Медиана действительно делит сторону на два равных отрезка, но точка пересечения медиан делит саму медиану иначе: отрезок от вершины всегда вдвое длиннее отрезка до середины стороны.

Вторая ошибка возникает при нахождении длины медианы. Формула медианы выводится через теорему косинусов, и неверный знак в промежуточных выкладках ломает всё вычисление.

Частые вопросы

Как называется точка пересечения медиан треугольника и где она находится?

Точка пересечения медиан называется центроидом (точкой тяжести) и обозначается \(G\). Она всегда лежит строго внутри треугольника и делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

В каком отношении точка пересечения медиан делит каждую медиану?

Центроид делит медиану в отношении \(2:1\) от вершины. Если медиана \(AD = m_a\), то \(AG = \dfrac{2}{3}\,m_a\) и \(GD = \dfrac{1}{3}\,m_a\).

Чему равна длина медианы треугольника — как вычислить по формуле?

Длина медианы к стороне \(a\) вычисляется по формуле: \[m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2},\] где \(b\) и \(c\) — две другие стороны. Формула выводится через теорему косинусов, и знак перед \(2bc\cos\alpha\) там стоит «минус».

Как медианы треугольника связаны с его площадью?

Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей, каждая с площадью \(S/6\). Любые два соседних «куска» с общей вершиной в центроиде образуют треугольник площадью \(S/3\).

Почему в равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают?

В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны, поэтому каждая из трёх осей симметрии одновременно: делит угол пополам (биссектриса), проходит через середину противоположной стороны (медиана) и перпендикулярна ей (высота). В равнобедренном треугольнике это свойство выполняется только для медианы, проведённой к основанию.

Как найти центроид треугольника по координатам вершин?

Координаты центроида — среднее арифметическое координат вершин: \[G = \left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\;\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).\] Формула работает для любого треугольника; её симметричность по вершинам и объясняет, почему все три медианы пересекаются в одной точке.

По этой теме есть отдельный разбор: что такое медиана и как её вычислить.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы площадей фигур.

---

Единственное изменение: в :::formulas убраны \( \) вокруг формул в трёх строках. Всё остальное осталось без изменений.