Готово. Вот исправленная статья целиком:
--- title: Теорема Стюарта для треугольника: формула и доказательство description: Теорема Стюарта для треугольника — формула для любой чевианы. Выводим длину медианы и биссектрисы из одной формулы, разбираем доказательство и задачи ЕГЭ. slug: teorema-styuarta-dlya-treugolnika keywords: [теорема стюарта для треугольника, теорема стюарта для треугольника доказательство, теорема стюарта формула, теорема стюарта для биссектрисы, теорема стюарта егэ] author: Алмаз date: 2026-07-29 cluster: \(planimetriya_treug ---\)
Теорема Стюарта — одна из немногих формул геометрии, которая одним соотношением описывает медиану, биссектрису и любой другой чевиан треугольника. Ниже показано, как из этой формулы вывести длины медианы и биссектрисы, и где она встречается в задачах ЕГЭ.
Что такое теорема Стюарта для треугольника
Пусть в треугольнике \(ABC\) стороны обозначены стандартно: \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\). Из вершины \(A\) проведём отрезок \(AD\), где точка \(D\) лежит на стороне \(BC\). Введём обозначения:
\(m = BD\), \(n = DC\), причём \(m + n = a\), и \(d = AD\) — длина чевиана.
Теорема Стюарта для треугольника утверждает: если из вершины проведён чевиан длиной \(d\), делящий противоположную сторону на отрезки \(m\) и \(n\), то
\[ b^2 m + c^2 n = a(mn + d^2). \]
Чевиан — общее название любого отрезка из вершины до точки на противоположной стороне. Медиана, биссектриса и высота — частные случаи чевиана; теорема работает для всех трёх сразу.
Коротко
- \(a = BC\) — сторона, на которой лежит точка \(D\)
- \(b = CA\), \(c = AB\) — стороны, смежные с вершиной \(A\)
- \(m = BD\), \(n = DC\) — части стороны \(a\), всегда \(m + n = a\)
- \(d = AD\) — длина самого чевиана
- Положение точки \(D\) задаётся отношением \(m : n\)
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Формула теоремы Стюарта
Теорема Стюарта формула в стандартных обозначениях:
\[ b^2 m + c^2 n = a(mn + d^2). \]
Раскрывая скобки, получаем эквивалентную запись:
\[ b^2 m + c^2 n = amn + ad^2. \]
Если нужна длина чевиана явно:
\[ d^2 = \frac{b^2 m + c^2 n}{a} - mn. \]
Мнемоника для запоминания — фраза man + dad = bmb + cnc:
\[ \underbrace{m \cdot a \cdot n}_{\text{man}} + \underbrace{d \cdot a \cdot d}_{\text{dad}} = \underbrace{b \cdot m \cdot b}_{\text{bmb}} + \underbrace{c \cdot n \cdot c}_{\text{cnc}}. \]
Слева стоит \(a(mn + d^2)\), справа \(b^2 m + c^2 n\) — в точности формула теоремы Стюарта.
Доказательство теоремы Стюарта для треугольника
Способ 1. Через теорему косинусов
Обозначим \(\angle ADB = \theta\), тогда \(\angle ADC = 180^\circ - \theta\). Применим теорему косинусов к каждому из двух треугольников, на которые чевиан \(AD\) делит треугольник \(ABC\).
- Доказательство через теорему косинусов
- Шаг 1. В треугольнике \(ABD\) (стороны \(c\), \(m\), \(d\)): \quad \(c^2 = m^2 + d^2 - 2md\cos\theta\)
- Шаг 2. Умножаем на \(n\): \quad \(nc^2 = nm^2 + nd^2 - 2mnd\cos\theta\)
- Шаг 3. В треугольнике \(ACD\) (стороны \(b\), \(n\), \(d\)), угол при \(D\) равен \(180^\circ - \theta\), поэтому \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta\): \quad \(b^2 = n^2 + d^2 + 2nd\cos\theta\)
- Шаг 4. Умножаем на \(m\): \quad \(mb^2 = mn^2 + md^2 + 2mnd\cos\theta\)
- Шаг 5. Складываем результаты шагов 2 и 4; члены с \(\cos\theta\) взаимно уничтожаются: \quad \(nc^2 + mb^2 = nm^2 + mn^2 + (m+n)d^2\)
- Шаг 6. Правая часть: \(mn(m+n) + d^2(m+n) = (m+n)(mn + d^2)\)
- Шаг 7. Подставляем \(m + n = a\): \quad \(b^2 m + c^2 n = a(mn + d^2)\)
Способ 2. Координатный метод
- Координатное доказательство
- Шаг 1. Поместим \(D\) в начало координат: \(B = (-m,\; 0)\), \(C = (n,\; 0)\), \(A = (x,\; y)\) — произвольная точка плоскости
- Шаг 2. Запишем квадраты длин: \(d^2 = x^2 + y^2\), \quad \(c^2 = (x+m)^2 + y^2\), \quad \(b^2 = (x-n)^2 + y^2\)
- Шаг 3. Вычислим \(b^2 m + c^2 n\): \quad \(m(x^2 - 2nx + n^2 + y^2) + n(x^2 + 2mx + m^2 + y^2)\)
- Шаг 4. Раскрываем: члены \(-2mnx\) и \(+2mnx\) уничтожаются, остаётся \((m+n)(x^2+y^2) + mn(m+n)\)
- Шаг 5. Выносим \((m+n) = a\): \quad \(a(x^2 + y^2 + mn) = a(d^2 + mn) = a(mn + d^2)\)
Следствие для медианы: вывод формулы длины медианы
Если \(D\) — середина \(BC\), то \(m = n = \tfrac{a}{2}\). Подставим в теорему Стюарта:
\[ b^2 \cdot \frac{a}{2} + c^2 \cdot \frac{a}{2} = a\!\left(\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} + m_a^2\right). \]
Делим обе части на \(a \neq 0\):
\[ \frac{b^2 + c^2}{2} = \frac{a^2}{4} + m_a^2. \]
Отсюда:
\[ m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}, \qquad m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}. \]
Типичная ошибка в этом разделе — путаница с положением центроида. Центроид \(G\) (точка пересечения медиан) делит каждую медиану в отношении \(2:1\) от вершины. Если длина медианы \(m_a\), то \(AG = \tfrac{2}{3}m_a\), а не \(\tfrac{1}{2}m_a\). Подменять отношение \(2:1\) на \(1:1\) — ошибка, которая неверно даёт длины отрезков при задачах на центроид.
Теорема Стюарта для биссектрисы: формула и вывод
По свойству биссектрисы треугольника точка \(D\) делит сторону \(BC\) пропорционально прилежащим сторонам:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}. \]
Из этого и условия \(BD + DC = a\):
\[ m = BD = \frac{ac}{b+c}, \qquad n = DC = \frac{ab}{b+c}. \]
Подставим в теорему Стюарта для биссектрисы. Левая часть:
\[ b^2 \cdot \frac{ac}{b+c} + c^2 \cdot \frac{ab}{b+c} = \frac{ab(b^2 + c^2... )}{...} \]
Аккуратное вычисление:
\[ b^2 m + c^2 n = \frac{abc \cdot b}{b+c} + \frac{abc \cdot c}{b+c} = \frac{abc(b+c)}{b+c} = abc. \]
Правая часть:
\[ a(mn + l_a^2) = a\!\left(\frac{a^2bc}{(b+c)^2} + l_a^2\right). \]
Приравниваем и делим на \(a\):
\[ bc = \frac{a^2 bc}{(b+c)^2} + l_a^2 \implies l_a^2 = bc - \frac{a^2 bc}{(b+c)^2}. \]
Это совпадает с формулой из учебника. Альтернативная запись через полуугол:
Ошибка с биссектрисой внешнего угла: она не пересекает сторону \(BC\), а её продолжение. Точка деления лежит вне отрезка — деление внешнее. Отношение \(BD : DC = c : b\) сохраняется, но применять стандартную подстановку в теорему Стюарта с теми же \(m\) и \(n\) напрямую нельзя — точка \(D\) выходит за пределы стороны.
Теорема Стюарта на ЕГЭ: задачи и разбор
Теорема Стюарта на ЕГЭ явно не называется, однако формулы медианы и биссектрисы, которые из неё следуют, нужны в задачах 13–16. Разберём три типа.
Задача 1. Длина медианы
В треугольнике \(ABC\): \(a = 6\), \(b = 5\), \(c = 7\). Найти длину медианы \(m_a\) к стороне \(a\).
\[ m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 25 + 2 \cdot 49 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{50 + 98 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{112} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}. \]
Применяем формулу напрямую — никакой теоремы косинусов отдельно не нужно.
Задача 2. Длина биссектрисы
В треугольнике \(ABC\): \(a = 5\), \(b = 4\), \(c = 6\). Найти длину биссектрисы \(l_a\) из вершины \(A\).
\[ l_a^2 = bc - \frac{a^2 bc}{(b+c)^2} = 4 \cdot 6 - \frac{25 \cdot 24}{100} = 24 - 6 = 18, \quad l_a = 3\sqrt{2}. \]
Задача 3. Сторона через чевиан
В треугольнике \(ABC\) из вершины \(A\) проведён чевиан \(AD\), где \(D\) делит \(BC\) в отношении \(1:2\). Известно: \(AB = 5\), \(AC = 7\), \(AD = 4\). Найти \(BC\).
Обозначим \(BC = a\). Тогда \(m = \tfrac{a}{3}\), \(n = \tfrac{2a}{3}\). По теореме Стюарта:
\[ 49 \cdot \frac{a}{3} + 25 \cdot \frac{2a}{3} = a\!\left(\frac{a}{3} \cdot \frac{2a}{3} + 16\right). \]
\[ \frac{99a}{3} = a\!\left(\frac{2a^2}{9} + 16\right) \implies 33 = \frac{2a^2}{9} + 16 \implies a^2 = \frac{153}{2} \implies a = \frac{3\sqrt{34}}{2}. \]
Знаковая ошибка в подобных задачах: при применении теоремы косинусов в ходе решения знак перед \(2ab\cos\gamma\) должен быть минус. При тупом угле \(\cos\gamma < 0\), и оба слагаемых фактически складываются — сторона получается больше суммы квадратов. Если написать плюс, результат занижается.
По этой теме есть отдельный разбор: задачи на треугольники в ЕГЭ.
FAQ
Что такое теорема Стюарта для треугольника простыми словами?
Это равенство, которое связывает длину любого чевиана (медианы, биссектрисы, высоты) со сторонами треугольника и частями стороны, на которой лежит основание чевиана. Одна формула \(b^2 m + c^2 n = a(mn + d^2)\) заменяет три отдельных формула.
Чем теорема Стюарта отличается от теоремы косинусов?
Теорема косинусов связывает три стороны треугольника и один угол. Теорема Стюарта работает с чевианом внутри треугольника и не требует знания углов — только длин сторон и частей рассекаемой стороны.
Как применять теорему Стюарта для медианы?
Подставить \(m = n = \tfrac{a}{2}\) в основную формулу. После сокращения получается \(m_a = \tfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}\) — стандартная формула длины медианы.
Как применять теорему Стюарта для биссектрисы?
Использовать свойство биссектрисы: \(m = \tfrac{ac}{b+c}\), \(n = \tfrac{ab}{b+c}\). После подстановки и упрощения получается \(l_a^2 = bc - \tfrac{a^2 bc}{(b+c)^2}\).
Встречается ли теорема Стюарта в ЕГЭ?
Явно — нет. Но формулы медианы и биссектрисы, которые из неё выводятся, нужны в задачах 13–16 профильного ЕГЭ по математике. Знание вывода помогает не зазубривать формулы, а понимать их структуру.
Работает ли теорема Стюарта для тупоугольного треугольника?
Да, теорема справедлива для любого треугольника — остроугольного, тупоугольного и прямоугольного, — если точка \(D\) лежит строго между \(B\) и \(C\).
Типичные ошибки при работе с теоремой Стюарта
По этой теме есть отдельный разбор: длину медианы треугольника.
По этой теме есть отдельный разбор: свойства и формулу биссектрисы.
По этой теме есть отдельный разбор: теорему Чевы и Менелая.
---
Два исправления сделаны:
- 1.
Длина медианы к стороне \(a\)→Длина медианы к стороне a— убран TeX-разметчик из ключа:::formulas. - 2. Добавлен раздел
## FAQс шестью вопросами-ответами по теме перед «Типичными ошибками».
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.