Центральный и вписанный угол окружности: свойства и задачи

Исправляю: в блоке :::formulas убираю \( \) вокруг каждой формулы — там TeX должен быть голым.

--- title: Центральный и вписанный угол окружности: свойства и задачи description: Центральный и вписанный угол окружности — тема геометрии 8 класса и задание 1 ЕГЭ/ОГЭ. Определения, теорема, формулы и задачи с ответами для самопроверки. slug: centralnyj-i-vpisannyj-ugol-okruzhnosti keywords: [центральный и вписанный угол окружности, центральный и вписанный угол определение, центральный и вписанный угол свойства, центральный и вписанный угол задачи, центральный и вписанный угол опирающиеся на одну дугу, центральный и вписанный угол дуга окружности, центральные и вписанные углы окружности задания] author: Алмаз date: 2026-07-28 cluster: \(planimetriya_okr ---\)

Центральный и вписанный угол окружности — ключевая тема геометрии 8 класса и основа задания 1 ЕГЭ и ОГЭ. В статье собраны строгие определения, главная теорема с доказательством, формулы в удобной таблице, разбор задач с полным решением. В конце — тренажёр с ответами для самопроверки.

Определение центрального и вписанного угла окружности (8 класс)

Прежде чем разбирать свойства, нужны точные определения — именно с них начинается любая теория окружности, вписанного и центрального угла.

Вписанный угол α и центральный угол 2α опираются на одну дугу AB — наглядно видно соотношение 1 к 2

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности \( O \), стороны которого являются радиусами. Его градусная мера совпадает с мерой дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность (являются хордами).

Оба угла опираются на дугу — часть окружности, заключённую между точками пересечения сторон угла с окружностью.

Пример. Пусть \( O \) — центр, \( A \) и \( C \) — точки на окружности. Тогда \( \angle AOC \) — центральный угол на дугу \( AC \). Точка \( B \) лежит на окружности, но не на дуге \( AC \): тогда \( \angle ABC \) — вписанный угол на ту же дугу \( AC \).

Вот наглядная схема: центр \( O \) внутри, вершина \( B \) снаружи (на дуге), но оба угла «смотрят» на одну и ту же хорду \( AC \). Это и есть пара «центральный и вписанный угол, опирающиеся на одну дугу» — главный объект всей темы.

Коротко

Центральный угол: вершина в центре O, стороны — радиусы OA и OC
Вписанный угол: вершина B на окружности, стороны — хорды BA и BC
Дуга, на которую опирается угол — часть окружности между концами хорд
Центральный угол (в градусах) = градусная мера дуги

По этой теме есть отдельный разбор: задании 1 ЕГЭ по профильной математике.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Теорема о вписанном угле: свойства и связь с дугой окружности

Теорема о вписанном угле — главный результат всей темы, из которого выводятся все свойства центральных и вписанных углов окружности.

Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

\[ \angle ABC = \dfrac{1}{2}\,\angle AOC \]

Доказательство (случай: центр \( O \) лежит внутри угла \( ABC \)).

Проведём диаметр \( BD \). Треугольник \( OAB \) равнобедренный (\( OA = OB = R \)), поэтому \( \angle OAB = \angle OBA \). Внешний угол \( \angle AOD \) равен сумме двух углов треугольника: \( \angle AOD = 2\angle OBA \). Аналогично \( \angle COD = 2\angle OBC \). Сложим:

\[ \angle AOC = \angle AOD + \angle COD = 2\angle OBA + 2\angle OBC = 2\angle ABC. \]

Отсюда \( \angle ABC = \dfrac{1}{2}\angle AOC \). \(\square\)

Когда центр лежит на стороне вписанного угла или вне него, доказательство аналогично, но вместо сложения используется вычитание.

Следствия теоремы:

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны — они все равны половине одного и того же центрального угла.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \( 90° \): диаметр соответствует центральному углу \( 180° \), вписанный вдвое меньше.
3. Если вписанный угол прямой, то хорда, на которую он опирается, является диаметром.

Свойство «центральный и вписанный угол, опирающиеся на одну дугу» — основа решения задачи 1 ЕГЭ и большинства задач ОГЭ по теме окружности.

Формулы вписанного и центрального угла: как находить

Сведём теорию в компактную таблицу формул — от неё удобно отталкиваться при решении.

Вписанный через центральный

\[\beta = \dfrac{\alpha}{2}\]

Центральный через вписанный

\[\alpha = 2\beta\]

Вписанный через дугу (°)

\[\beta = \dfrac{\smile AC}{2}\]

Центральный через дугу (°)

\[\alpha = \smile AC\]

Угол на диаметр

\[\beta = 90^{\circ}\]

Здесь \( \alpha \) — центральный угол, \( \beta \) — вписанный, \( \smile AC \) — градусная мера дуги \( AC \).

Пошаговый алгоритм, как находить вписанный и центральный угол окружности в любой задаче:

Алгоритм нахождения угла через дугу или парный угол
Шаг 1. Определите тип угла: вершина в центре O → центральный; вершина на окружности → вписанный.
Шаг 2. Найдите дугу, на которую опирается угол (часть окружности между концами его сторон).
Шаг 3. Центральный угол = дуга в градусах. Вписанный угол = дуга / 2.
Шаг 4. Если известен один из пары (центральный или вписанный), второй = умножить или разделить на 2.
Шаг 5. Если угол опирается на диаметр — сразу ответ 90°, без вычислений.

Вписанные и центральные углы через хорды окружности

Хорда и центральный угол связаны через радиус:

\[ a = 2R\sin\dfrac{\alpha}{2} \]

где \( a \) — длина хорды, \( R \) — радиус, \( \alpha \) — центральный угол (= дуга в градусах), стягиваемый хордой \( a \).

Задачи на вписанные и центральные углы через хорды окружности в задании 1 ЕГЭ устроены так: даны несколько хорд и часть дуг, нужно восстановить неизвестный угол.

Счёт угла по дугам и хордам (задание 1 ЕГЭ)
Шаг 1. Выпишите все известные дуги. Полная окружность = 360°.
Шаг 2. Найдите неизвестную дугу вычитанием из 360°.
Шаг 3. Определите, какой угол искать: центральный (= дуга) или вписанный (= дуга / 2).
Шаг 4. Если угол образован пересекающимися хордами внутри круга: \(\varphi = \dfrac{\smile AB + \smile CD}{2}\).
Шаг 5. Запишите ответ, проверив соответствие: вписанный всегда меньше 90° при дуге < 180°.

Для пересекающихся хорд \( AB \) и \( CD \) с точкой пересечения \( E \) внутри круга работает соотношение произведений:

\[ AE \cdot EB = CE \cdot ED \]

Это формула степени точки — она позволяет находить длины отрезков хорд, когда углы уже известны.

Касательная и вписанные углы окружности

Угол между касательной и хордой — частный случай, объединяющий тему «окружность, касательная, вписанные и центральные углы».

Правило. Угол между касательной \( t \) в точке \( A \) и хордой \( AB \) равен половине дуги \( AB \), заключённой внутри этого угла:

\[ \angle(t,\, AB) = \dfrac{1}{2}\,\smile AB \]

Это в точности вписанный угол, опирающийся на хорду \( AB \) с другой стороны. Можно считать, что вершина вписанного угла «сдвинулась» к точке касания: угол при этом не изменился.

Угол с вершиной вне круга. Если из внешней точки \( M \) проведены две секущие (или касательная и секущая), угол при вершине:

\[ \varphi = \dfrac{\smile_{\text{б}} - \smile_{\text{м}}}{2} \]

где \( \smile_{\text{б}} \) — большая дуга, \( \smile_{\text{м}} \) — меньшая (из пары дуг, высекаемых секущими).

Для касательной и секущей из внешней точки \( M \) длины связаны соотношением:

\[ MT^2 = MA \cdot MB \]

где \( MT \) — отрезок касательной, \( MA \) и \( MB \) — расстояния от \( M \) до точек пересечения секущей.

Коротко

Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания: \(t \perp OM\)
Угол между касательной и хордой = половине заключённой дуги
Вершина вне круга: угол = полуразность дуг (\(\varphi = (\smile_{\text{б}} - \smile_{\text{м}})/2\))
Два отрезка касательных из одной внешней точки равны между собой

Задачи на вписанные и центральные углы с ответами (ЕГЭ, ОГЭ)

Разберём задачи уровня ОГЭ и ЕГЭ — от простого к сложному — с полным решением и ответом.

---

Задача 1. Дуга \( AC = 80° \). Найдите вписанный угол \( \angle ABC \), опирающийся на эту дугу.

Решение. По теореме о вписанном угле: \[ \angle ABC = \dfrac{\smile AC}{2} = \dfrac{80°}{2} = 40°. \]

Ответ: \( 40° \).

---

Задача 2. Центральный угол \( \angle AOC = 130° \). Найдите вписанный угол \( \angle ABC \), опирающийся на ту же дугу.

Решение. \[ \angle ABC = \dfrac{\angle AOC}{2} = \dfrac{130°}{2} = 65°. \]

Ответ: \( 65° \).

---

Задача 3. Два вписанных угла \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \) опираются на одну дугу \( AC \). Угол \( \angle ABC = 47° \). Найдите \( \angle ADC \).

Решение. Оба угла опираются на одну дугу: по следствию теоремы о вписанном угле они равны. \[ \angle ADC = \angle ABC = 47°. \]

Ответ: \( 47° \).

---

Задача 4 (вписанный четырёхугольник). Четырёхугольник \( ABCD \) вписан в окружность. Угол \( \angle A = 75° \), угол \( \angle B = 110° \). Найдите углы \( C \) и \( D \).

Решение. У вписанного четырёхугольника суммы противоположных углов равны \( 180° \): \[ \angle C = 180° - \angle A = 180° - 75° = 105°, \] \[ \angle D = 180° - \angle B = 180° - 110° = 70°. \]

Ответ: \( \angle C = 105° \), \( \angle D = 70° \).

---

Задача 5 (смешанный тип). На окружности по порядку отмечены точки \( A \), \( B \), \( C \), \( D \). Дуги: \( \smile AB = 80° \), \( \smile BC = 100° \), \( \smile CD = 60° \). Найдите вписанный угол \( \angle BAD \).

Решение. Полная окружность \( = 360° \), поэтому: \[ \smile DA = 360° - 80° - 100° - 60° = 120°. \] Угол \( \angle BAD \) — вписанный, опирается на дугу \( BCD \) (от \( B \) до \( D \), не содержащую \( A \)): \[ \smile BCD = 100° + 60° = 160°. \] \[ \angle BAD = \dfrac{160°}{2} = 80°. \]

Ответ: \( 80° \).

---

Тренажёр: вписанный и центральный угол окружности (с ответами)

Задачи для самостоятельного решения. Ответы скрыты — проверяйте только после того, как получен свой результат.

Базовый уровень (ОГЭ)

№ 1. Дуга \( AC = 70° \). Найдите вписанный угол \( \angle ABC \).