Теорема о вписанном угле в окружность: доказательство, следствия

Все 4 блока :::formulas исправлены. Вот полная статья:

---

`markdown --- title: Теорема о вписанном угле в окружность: доказательство, следствия description: Теорема о вписанном угле в окружность: формулировка, три случая доказательства, следствия. Как применять в задачах ЕГЭ и ОГЭ от задания 1 до задания 16. slug: teorema-o-vpisannom-ugle-v-okruzhnost keywords: [теорема о вписанном угле в окружность, теорема о вписанном угле доказательство, теорема о вписанном угле следствия, теорема о вписанном угле опирающемся на диаметр, градусная мера дуги окружности теорема о вписанном угле, теорема о вписанном угле в окружность доказательство] author: Алмаз date: 2026-07-29 cluster: \(planimetriya_okr ---\)

Вписанный и центральный углы: определения и связь

Окружность порождает два принципиально разных вида углов.

Центральный угол \(\angle AOB\) — угол с вершиной в центре \(O\) окружности. Его стороны — два радиуса, а дуга \(\smile AB\) между точками пересечения сторон с окружностью называется дугой, на которую он опирается. Важный факт: градусная мера центрального угла в точности равна градусной мере дуги.

Вписанный угол \(\angle ACB\) — угол с вершиной \(C\) на самой окружности, стороны которого пересекают окружность, то есть являются хордами. Дуга \(\smile AB\), не содержащая вершину \(C\), — дуга, на которую опирается этот угол.

Разница в положении вершины — ключевая. Центральный угол «смотрит» на дугу из центра, вписанный — с периферии. Из-за этого при одной и той же дуге центральный угол оказывается вдвое больше вписанного. Именно это и выражает теорема о вписанном угле в окружность.

\[ \angle AOB = 2\,\angle ACB \]

---

Формулировка теоремы о вписанном угле в окружность

Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пусть \(O\) — центр окружности, точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности, \(C\) не лежит на дуге \(\smile AB\). Тогда:

На схеме: угол при центре \(\angle AOB\) и вписанный угол \(\angle ACB\) опираются на одну дугу \(\smile AB\). Как бы ни перемещать точку \(C\) по дуге, не содержащей \(A\) и \(B\), угол \(\angle ACB\) остаётся неизменным.

---

По этой теме есть отдельный разбор: центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

Доказательство теоремы о вписанном угле

Теорема о вписанном угле в окружность доказывается в трёх случаях — в зависимости от того, где находится центр \(O\) относительно угла \(\angle ACB\).

Случай 1. Центр лежит на стороне угла

Пусть \(O\) лежит на стороне \(CA\). Тогда \(OC = OB = R\) — радиусы, значит треугольник \(OCB\) равнобедренный: \[ \angle OBC = \angle OCB = \angle ACB. \] Угол \(\angle AOB\) является внешним углом треугольника \(OCB\) при вершине \(O\), поэтому: \[ \angle AOB = \angle OBC + \angle OCB = 2\,\angle ACB \implies \angle ACB = \dfrac{1}{2}\,\angle AOB. \checkmark \]

Случай 2. Центр лежит внутри угла

Проведём диаметр \(CD\) через вершину \(C\) и центр \(O\). Он разбивает вписанный угол на два: \[ \angle ACD = \dfrac{1}{2}\,\angle AOD \quad \text{и} \quad \angle DCB = \dfrac{1}{2}\,\angle DOB \] (каждый — случай 1). Складываем: \[ \angle ACB = \angle ACD + \angle DCB = \dfrac{1}{2}(\angle AOD + \angle DOB) = \dfrac{1}{2}\,\angle AOB. \checkmark \]

Случай 3. Центр лежит вне угла

Снова проводим диаметр \(CD\). Теперь вписанный угол — разность двух углов из случая 1: \[ \angle ACB = \angle ACD - \angle BCD = \dfrac{1}{2}\,\angle AOD - \dfrac{1}{2}\,\angle BOD = \dfrac{1}{2}\,\angle AOB. \checkmark \]

Во всех трёх случаях вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Теорема о вписанном угле — доказана.

---

Градусная мера дуги и теорема о вписанном угле

Градусная мера дуги — это угол (в градусах), который данная дуга стягивает из центра окружности. Полная окружность имеет градусную меру \(360°\), полукруг — \(180°\).

Поскольку центральный угол по определению равен градусной мере дуги, на которую опирается, связь «градусная мера дуги окружности — теорема о вписанном угле» записывается напрямую, без промежуточного построения:

\[ \angle ACB = \dfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{AB} \]

где \(\overset{\frown}{AB}\) — градусная мера дуги, не содержащей точку \(C\).

Это позволяет переводить любую задачу с углами на язык дуг и обратно. Нашли дугу — поделили на два — получили вписанный угол. Нашли вписанный угол — умножили на два — получили дугу.

Пример. Дуга \(\smile AB = 140°\). Тогда вписанный угол \(\angle ACB = \dfrac{140°}{2} = 70°\).

---

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Это важнейший частный случай теоремы — он встречается в задачах всех уровней.

Диаметр стягивает полуокружность, то есть дугу в \(180°\). Центральный угол на эту дугу равен \(180°\). Теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр, даёт:

\[ \angle ACB = \dfrac{1}{2} \cdot 180° = 90°. \]

Обратное утверждение тоже верно: если вписанный угол прямой, то хорда, на которую он опирается, является диаметром. Это удобно при построениях: чтобы найти центр описанной окружности прямоугольного треугольника, достаточно взять середину гипотенузы.

Типичная задача. Хорда \(AB\) является диаметром окружности с центром \(O\). Точка \(C\) лежит на окружности. Найти \(\angle ACB\).

По теореме: \(\angle ACB = 90°\). Ответ не зависит от положения \(C\) на дуге — он всегда прямой.

---

Следствия теоремы о вписанном угле

Из основной теоремы вытекают три следствия, которые применяются в задачах постоянно.

Следствие 1. Вписанные углы на одну дугу равны

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу \(\smile AB\), равны, поскольку каждый равен половине одного и того же центрального угла:

\[ \angle ACB = \angle ADB = \angle AEB = \dfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{AB}. \]

Как бы ни перемещать вершину по той же дуге — угол не меняется.

Следствие 2. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180°\)

Пусть четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Угол \(A\) опирается на дугу \(\smile BCD\), угол \(C\) — на дугу \(\smile BAD\). Эти дуги в сумме составляют полную окружность:

\[ \angle A + \angle C = \dfrac{\overset{\frown}{BCD} + \overset{\frown}{BAD}}{2} = \dfrac{360°}{2} = 180°. \]

Аналогично \(\angle B + \angle D = 180°\).

Следствие 3. Вписанный угол на диаметр равен \(90°\)

Разобрано в предыдущем разделе как частный случай теоремы.

---

По этой теме есть отдельный разбор: описанной окружности треугольника.

Задания ЕГЭ и ОГЭ: счёт углов через вписанный угол

Пример 1 — задание 1 (ОГЭ/ЕГЭ)

Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности. Дуга \(\smile BC = 100°\) (не содержащая \(A\)). Найти угол \(\angle BAC\).

Угол \(\angle BAC\) — вписанный, опирается на дугу \(\smile BC\): \[ \angle BAC = \dfrac{1}{2} \cdot 100° = 50°. \]

Пример 2 — задание 16 (профиль)

Окружность с центром \(O\) и радиусом \(R = 5\). Диаметр \(AB = 10\). Точка \(C\) на окружности, \(BC = 6\). Найти \(AC\).

По следствию теоремы о вписанном угле, опирающемся на диаметр: \(\angle ACB = 90°\). Треугольник \(ACB\) — прямоугольный с гипотенузой \(AB = 10\): \[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8. \]

---

Типичные ошибки при работе с вписанным углом

При любой конфигурации — сначала определяют положение вершины угла, и только потом выбирают формулу.

---

Частые вопросы

Чему равен вписанный угол окружности?

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: \(\angle ACB = \dfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{AB}\). Это же можно сформулировать иначе: вписанный угол равен половине центрального угла, стягивающего ту же дугу. Например, если дуга \(\smile AB = 120°\), то вписанный угол равен \(60°\).

Как доказать теорему о вписанном угле — все три случая?

В каждом случае через вершину вписанного угла проводят диаметр, выделяют равнобедренные треугольники (из двух радиусов) и применяют свойство внешнего угла. Случай 1 (центр на стороне) — один треугольник и внешний угол. Случай 2 (центр внутри) — диаметр делит угол на два, результаты складывают. Случай 3 (центр снаружи) — аналогично, но вычитают. Во всех трёх случаях получается \(\angle ACB = \dfrac{1}{2}\,\angle AOB\).

Почему вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°?

Диаметр стягивает дугу \(180°\), центральный угол на эту дугу тоже равен \(180°\). По теореме вписанный угол вдвое меньше: \(\dfrac{180°}{2} = 90°\). Это прямой угол независимо от положения вершины на дуге.

Каковы следствия теоремы о вписанном угле?

Три основных следствия: все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой; сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180°\); вписанный угол на диаметр равен \(90°\).

Как связаны вписанный угол и градусная мера дуги?

Градусная мера дуги совпадает с центральным углом на эту дугу. Вписанный угол вдвое меньше центрального, значит вдвое меньше градусной меры дуги: \(\beta = \dfrac{\alpha}{2}\). Это позволяет переходить от дуги к вписанному углу и обратно без построения центрального угла.

Чем вписанный угол отличается от центрального?

Центральный угол имеет вершину в центре окружности и равен по величине дуге, на которую опирается. Вписанный угол имеет вершину на самой окружности и равен половине дуги. При одной и той же дуге центральный угол всегда вдвое больше вписанного.

По этой теме есть отдельный разбор: теореме о касательной и секущей к окружности.

По этой теме есть отдельный разбор: задании 1 ЕГЭ профиль по планиметрии. `

---

Исправлено: во всех 4 блоках :::formulas убраны обёртки \( \) вокруг TeX-формул. Остальное тело статьи, frontmatter и компоненты ::: не тронуты.