Касательная и секущая к окружности: определения
Прежде чем формулировать теорему о касательной и секущей к окружности, договоримся о терминах.
Окружность — множество всех точек плоскости, равноудалённых от центра \(O\) на расстояние \(R\) (радиус): \(\{M : |OM| = R\}\).
Касательная — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку (точку касания). Ключевое свойство: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: \(t \perp OM\). Это свойство понадобится в доказательстве теоремы.
Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Часть секущей между этими точками является хордой. Если секущая проведена из внешней точки \(P\), она выделяет два отрезка: ближний (от \(P\) до первой точки пересечения) и дальний (от \(P\) до второй точки пересечения).
Коротко
- Касательная имеет одну общую точку с окружностью, секущая — две.
- Касательная ⊥ радиусу в точке касания \(t \perp OM\).
- Из одной внешней точки можно провести две касательные — они равны между собой.
---
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Теорема о касательной и секущей, проведённых из одной точки: формулировка
Пусть из внешней точки \(P\) проведены:
- - касательная \(PA\) к окружности (точка касания \(A\)),
- - секущая, пересекающая окружность в точках \(B\) и \(C\), причём \(B\) ближе к \(P\), чем \(C\).
Теорема о касательной и секущей к окружности, проведённых из одной внешней точки:
Квадрат касательной равен произведению ближнего и дальнего отрезков секущей.
\[ PA^2 = PB \cdot PC \]
Здесь:
- - \(PA\) — длина отрезка касательной от внешней точки до точки касания,
- - \(PB\) — расстояние от \(P\) до ближней точки пересечения секущей,
- - \(PC\) — расстояние от \(P\) до дальней точки пересечения секущей.
Важно: \(PB\) и \(PC\) — это расстояния от внешней точки до каждой из точек пересечения секущей, не длина хорды \(BC\).
---
Доказательство теоремы через подобие треугольников
Доказательство опирается на равенство углов и признак подобия треугольников.
- Доказательство теоремы о касательной и секущей
- Шаг 1. Соединим точку \(A\) с точками \(B\) и \(C\) — проведём хорды \(AB\) и \(AC\). Рассмотрим треугольники \(\triangle PAC\) и \(\triangle PBA\).
- Шаг 2. Угол \(\angle P\) — общий для обоих треугольников (вершина в точке \(P\)).
- Шаг 3. Докажем, что \(\angle PAC = \angle PBA\). Угол \(\angle PAC\) — угол между касательной \(PA\) и хордой \(AC\). По теореме об угле между касательной и хордой он равен половине дуги \(AC\): \(\angle PAC = \tfrac{1}{2}\smile\!AC\). Угол \(\angle PBA\) — вписанный, опирающийся на ту же дугу \(AC\) (с другой стороны): \(\angle PBA = \tfrac{1}{2}\smile\!AC\). Следовательно, \(\angle PAC = \angle PBA\).
- Шаг 4. Два угла равны \(\Rightarrow\) треугольники \(\triangle PAC\) и \(\triangle PBA\) подобны по признаку «угол-угол» (AA): \(\triangle PAC \sim \triangle PBA\).
- Шаг 5. Из подобия выписываем пропорцию соответственных сторон: \(\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{PC}{PA}\).
- Шаг 6. Перемножаем крайние и средние члены пропорции: \(PA \cdot PA = PB \cdot PC\), то есть \(PA^2 = PB \cdot PC\). Теорема доказана.
Ключевой момент — равенство \(\angle PAC = \angle PBA\): первый угол считается через касательную и хорду, второй — как вписанный, и оба опираются на одну дугу \(AC\).
---
По этой теме есть отдельный разбор: признаки подобия треугольников.
Теорема о квадрате касательной и секущей (следствие)
Формула \(PA^2 = PB \cdot PC\) — частный случай более общего понятия: степени точки относительно окружности.
Степень точки \(P\) относительно окружности радиуса \(R\) с центром \(O\) определяется как:
\[ \deg(P) = PO^2 - R^2 \]
Для внешней точки степень положительна. Можно показать, что для любой прямой через \(P\), пересекающей окружность в точках \(X\) и \(Y\):
\[ PX \cdot PY = PO^2 - R^2 = \text{const} \]
Это произведение не зависит от выбора прямой — только от положения точки \(P\). Теорема о квадрате касательной и секущей выражает тот же факт: \(PA^2\) (где \(A\) — точка касания) тоже равно \(PO^2 - R^2\), потому что \(PA^2 + R^2 = PO^2\) по теореме Пифагора (треугольник \(PAO\) прямоугольный).
Таким образом, теорема о квадрате касательной и секущей — одно из проявлений инварианта «степень точки».
---
Теорема о двух секущих из внешней точки
Теорема о касательной и секущей, и о двух секущих — это два частных случая одного утверждения.
Если из внешней точки \(P\) проведены две секущие, пересекающие окружность в точках \((A, A')\) и \((B, B')\) соответственно (ближние точки \(A\), \(B\), дальние \(A'\), \(B'\)), то:
\[ PA \cdot PA' = PB \cdot PB' \]
Доказательство аналогично: треугольники \(\triangle PAB'\) и \(\triangle PBA'\) подобны по признаку AA (общий угол \(P\) и равные вписанные углы на одну дугу).
Касательная — предельный случай секущей: когда секущую «поворачивают» до момента касания, обе точки пересечения сливаются в одну, и произведение \(PB \cdot PB'\) превращается в \(PA \cdot PA = PA^2\).
Коротко
- Внешняя точка — две секущие: \(PA \cdot PA' = PB \cdot PB'\).
- Внешняя точка — касательная и секущая: \(PT^2 = PA \cdot PA'\).
- Внутренняя точка — две хорды: \(AE \cdot EB = CE \cdot ED\).
- Во всех трёх случаях произведение постоянно — это степень точки.
Единый язык «степени точки» позволяет не запоминать три разные формулы, а вывести нужную из одного принципа.
---
По этой теме есть отдельный разбор: центральный и вписанный угол окружности.
Задачи на теорему о касательной и секущей (ЕГЭ/ОГЭ)
Задача 1. Найти длину касательной
Условие. Из внешней точки \(P\) проведены касательная \(PT\) и секущая, пересекающая окружность в точках \(A\) и \(B\). Известно: \(PA = 3\), \(AB = 5\). Найти \(PT\).
Решение.
Ближний отрезок секущей: \(PA = 3\). Дальний отрезок секущей: \(PB = PA + AB = 3 + 5 = 8\).
По теореме: \[ PT^2 = PA \cdot PB = 3 \cdot 8 = 24 \implies PT = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}. \]
Ответ: \(2\sqrt{6}\).
---
Задача 2. Найти ближний отрезок секущей
Условие. Касательная из точки \(P\) равна \(6\). Секущая пересекает окружность, причём дальний отрезок \(PC = 12\). Найти ближний отрезок \(PB\).
Решение.
\[ PA^2 = PB \cdot PC \implies 36 = PB \cdot 12 \implies PB = 3. \]
Длина хорды: \(BC = PC - PB = 12 - 3 = 9\).
Ответ: \(PB = 3\), хорда \(= 9\).
---
Задача 3. Две секущие
Условие. Из точки \(P\) проведены две секущие. Первая пересекает окружность в точках \(A\) и \(A'\): \(PA = 2\), \(PA' = 8\). Вторая пересекает в точках \(B\) и \(B'\): \(PB = 4\). Найти \(PB'\).
Решение.
\[ PA \cdot PA' = PB \cdot PB' \implies 2 \cdot 8 = 4 \cdot PB' \implies PB' = 4. \]
Ответ: \(PB' = 4\). (Обе секущие дают одинаковое произведение \(16\) — степень точки.)
---
Задача 4. Комбинированная (уровень ОГЭ/ЕГЭ база)
Условие. Окружность с центром \(O\) и радиусом \(5\). Из внешней точки \(P\) проведена касательная \(PT\); расстояние \(PO = 13\). Найти длину касательной.
Решение.
Треугольник \(PTO\) прямоугольный (\(\angle PTO = 90°\) — касательная перпендикулярна радиусу).
\[ PT^2 = PO^2 - OT^2 = 169 - 25 = 144 \implies PT = 12. \]
Проверка через степень точки: \(\deg(P) = PO^2 - R^2 = 169 - 25 = 144 = PT^2\). Совпадает.
Ответ: \(PT = 12\).
---
Типичные ошибки при решении задач
Мнемоника для запоминания:
Для отрезков: «касательная-квадрат — это два отрезка секущей, оба от точки P». Записать формулу удобно в виде пропорции: \(\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PB}{PA}\) — касательная стоит и в числителе, и в знаменателе.
Для углов: «вершина внутри — складываем дуги, вершина снаружи — вычитаем». Знак определяет расположение вершины угла, а не тип прямых.
Коротко
- В формуле \(PA^2 = PB \cdot PC\) оба множителя — отрезки от точки P, не хорда BC.
- Угол между секущими вне круга: полуразность дуг (большая минус меньшая).
- Угол между хордами внутри круга: полусумма двух дуг.
- Касательная — предельный случай секущей, когда обе точки пересечения совпадают.
- Степень точки одинакова для любой прямой через эту точку: произведение отрезков постоянно.
По этой теме есть отдельный разбор: свойства и признак касательной к окружности.
---
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Что утверждает теорема о касательной и секущей к окружности?
Теорема утверждает: если из одной внешней точки проведены касательная и секущая к окружности, то квадрат длины касательной равен произведению ближнего и дальнего отрезков секущей: \(PA^2 = PB \cdot PC\). Оба множителя — расстояния от внешней точки до точек пересечения секущей с окружностью, а не длина хорды.
Как доказывается теорема о касательной и секущей?
Доказательство строится через подобие треугольников. Проводятся хорды \(AB\) и \(AC\); угол при вершине \(P\) общий, а угол \(\angle PAC\) (между касательной и хордой) равен вписанному углу \(\angle PBA\) — оба опираются на дугу \(AC\). По признаку AA треугольники \(\triangle PAC\) и \(\triangle PBA\) подобны, из пропорции сторон сразу получается \(PA^2 = PB \cdot PC\).
Чем отличается ближний отрезок секущей от дальнего?
Ближний отрезок \(PB\) — это расстояние от внешней точки \(P\) до первой (ближайшей) точки пересечения секущей с окружностью. Дальний отрезок \(PC\) — расстояние от \(P\) до второй (дальней) точки пересечения. Хорда \(BC = PC - PB\) — лишь разность этих отрезков; подставлять её в формулу вместо \(PC\) — типичная ошибка.
Работает ли теорема, если точка находится внутри окружности?
Нет. Теорема о касательной и секущей применяется только для внешней точки. Если точка внутри окружности, касательную из неё провести невозможно, а для двух хорд, пересекающихся внутри, действует другая формула: \(AE \cdot EB = CE \cdot ED\), где \(E\) — точка пересечения хорд.
Что такое степень точки и как она связана с теоремой?
Степень точки \(P\) относительно окружности радиуса \(R\) с центром \(O\) — это величина \(\deg(P) = PO^2 - R^2\). Для внешней точки она положительна и равна \(PA^2\) (квадрату касательной), а также произведению отрезков любой секущей через \(P\). Это означает: произведение \(PB \cdot PC\) одинаково для всех секущих из одной внешней точки — оно не зависит от направления секущей.
Можно ли применить теорему, если через внешнюю точку проведены две секущие (без касательной)?
Да. Если из точки \(P\) проведены две секущие, пересекающие окружность в точках \((A, A')\) и \((B, B')\), то \(PA \cdot PA' = PB \cdot PB'\). Это тот же принцип степени точки; касательная — предельный случай, когда две точки пересечения секущей сливаются в одну.
Как быстро запомнить формулу \(PA^2 = PB \cdot PC\)?
Удобно записать её в виде пропорции: \(\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PB}{PA}\). Касательная \(PA\) стоит и в числителе, и в знаменателе — она «связывает» два отрезка секущей. Мнемоника: «квадрат касательной — это два отрезка секущей, оба измеренные от точки \(P\)».
По этой теме есть отдельный разбор: задачи по планиметрии на ЕГЭ профиль.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.