Касательная к окружности: свойства, признак и задачи

Касательная к окружности встречается почти в каждой задаче ЕГЭ и ОГЭ, где фигурирует окружность. Здесь — чёткое определение, два главных свойства касательной, признак, угол между касательной и хордой, теорема степени точки, формула радиуса вписанной окружности и четыре разобранных задачи с нарастающей сложностью.

Касательная к окружности: определение (7 класс)

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания.

Три возможных положения прямой относительно окружности:

• - прямая целиком вне окружности — нет общих точек;
• - прямая пересекает окружность в двух точках — это секущая;
• - прямая имеет ровно одну общую точку с окружностью — это и есть касательная.

Секущая «входит» в окружность и «выходит» из неё. Касательная к окружности лишь прикасается снаружи, не заходя внутрь круга. Именно единственность общей точки — основа всех свойств, которые разбираются ниже.

Свойство 1: касательная перпендикулярна радиусу в точке касания

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Пусть окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\), точка касания \(A\), касательная \(t\). Нужно доказать, что \(OA \perp t\).

Доказательство от противного. Предположим, что \(OA\) не перпендикулярна \(t\). Тогда из \(O\) можно опустить на \(t\) перпендикуляр \(OH\), где \(H \neq A\). В прямоугольном треугольнике \(OHA\) гипотенуза \(OA = R\), а \(OH < OA\), значит \(OH < R\) — точка \(H\) лежит внутри круга. Но тогда прямая \(t\) проходит через внутреннюю точку круга и пересекает окружность в двух точках. Противоречие с тем, что \(t\) — касательная. Предположение неверно, значит \(OA \perp t\).

Это свойство касательной к окружности — отправная точка почти в каждой задаче. Первый шаг решения: провести радиус в точку касания, зафиксировать прямой угол, выделить прямоугольный треугольник. К нему сразу применяется теорема Пифагора или тригонометрия.

Признак касательной к окружности

Признак — обратная теорема, которая позволяет доказать, что прямая является касательной.

Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Доказательство. Пусть радиус \(OA\) и прямая \(t\), проходящая через \(A\), перпендикулярна \(OA\). Возьмём любую точку \(B \neq A\) на прямой \(t\). В прямоугольном треугольнике \(OAB\) прямой угол при \(A\), значит гипотенуза \(OB > OA = R\). Следовательно, \(B\) лежит вне окружности. Любая точка \(t\), отличная от \(A\), вне окружности — значит, \(t\) касается окружности ровно в точке \(A\).

Свойство касательной к окружности и признак касательной вместе дают критерий: прямая является касательной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна радиусу в его конце.

Как используется при доказательстве. В задачах на доказательство касательности нужно:

По этой теме есть отдельный разбор: теорему Пифагора.

Свойство 2: два отрезка касательных из одной точки равны

Теорема. Если из внешней точки \(M\) проведены две касательные к окружности с точками касания \(A\) и \(B\), то \(MA = MB\), а биссектриса угла \(AMB\) проходит через центр \(O\).

Доказательство. Рассмотрим треугольники \(OAM\) и \(OBM\):

• - \(OA = OB = R\) (радиусы одной окружности);
• - \(OM = OM\) (общая сторона);
• - \(\angle OAM = \angle OBM = 90°\) (свойство 1: касательная перпендикулярна радиусу).

По признаку «гипотенуза и катет» \(\triangle OAM = \triangle OBM\). Отсюда \(MA = MB\) и \(\angle AMO = \angle BMO\) — прямая \(OM\) является биссектрисой угла \(AMB\).

Свойства двух касательных к окружности сразу дают два инструмента: равенство отрезков и симметрию фигуры. Это существенно сокращает вычисления: как только из внешней точки проведены две касательные, их длины можно считать известными через \(\sqrt{OM^2 - R^2}\).

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной к окружности и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.

Теорема. Угол между касательной \(t\) и хордой \(AB\), проведённой из точки касания \(A\), равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \(AB\) с другой стороны хорды.

\[ \angle(t, AB) = \dfrac{1}{2}\,\smile AB \]

Два случая.

Случай 1. Угол образован касательной и хордой со стороны меньшей дуги \(AB\). Он равен половине меньшей дуги — острый.

Случай 2. Угол образован касательной и хордой со стороны большей дуги \(AB\). Он равен половине большей дуги — тупой. Два угла в сумме дают \(180°\) (прямая линия).

Хорда и касательная к окружности образуют два дополнительных угла; каждый из них равен половине соответствующей дуги. Удобно запомнить: это «вписанный угол с другой стороны хорды».

Типовая задача. Хорда \(AB\) делит окружность на дуги \(100°\) и \(260°\). Касательная проведена в точку \(A\). Найти оба угла между касательной и хордой.

Решение. Меньшая дуга \(= 100°\), большая \(= 260°\).

\[ \alpha_1 = \dfrac{100°}{2} = 50°, \qquad \alpha_2 = \dfrac{260°}{2} = 130°. \]

Проверка: \(50° + 130° = 180°\) — углы на прямой. Верно.

Касательная и секущая из внешней точки: свойства

Если из внешней точки \(M\) проведены касательная \(MT\) и секущая, пересекающая окружность в точках \(A\) и \(B\) (\(A\) — ближняя к \(M\)), то выполняется теорема о степени точки:

\[ MT^2 = MA \cdot MB \]

Для двух секущих из одной внешней точки: \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\).

Типовая задача. Касательная из точки \(M\) имеет длину \(MT = 6\), секущая: \(MA = 4\). Найти \(MB\).

Решение.

\[ MT^2 = MA \cdot MB \;\Rightarrow\; 36 = 4 \cdot MB \;\Rightarrow\; MB = 9. \]

Длина хорды \(AB = MB - MA = 9 - 4 = 5\).

Типичная ошибка: подставить \(AB = 5\) вместо \(MB = 9\). Формула требует расстояние от \(M\) до дальней точки, а не длину хорды.

Касательные к вписанной окружности треугольника

Стороны треугольника являются касательными к вписанной окружности: каждая сторона касается окружности ровно в одной точке. Пусть вписанная окружность касается сторон \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\) в точках \(D\), \(E\), \(F\) соответственно.

По свойству равенства отрезков касательных из одной точки:

\[ BD = BF = p - b, \quad CD = CE = p - c, \quad AE = AF = p - a, \]

где \(p = \dfrac{a + b + c}{2}\) — полупериметр треугольника.

Свойства касательных к вписанной окружности применяются так: если известны две стороны треугольника и один из касательных отрезков, можно восстановить всё остальное. Радиус вписанной окружности \(r = S/p\) связывает площадь и полупериметр — стандартная формула для задач ОГЭ и ЕГЭ.

Аналогичное свойство — для описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны (\(a + c = b + d\)), что также следует из равенства отрезков касательных из каждой вершины.

Задачи на касательную к окружности (ЕГЭ/ОГЭ)

Задача 1. Длина касательного отрезка

Из точки \(M\) проведена касательная к окружности с центром \(O\) и радиусом \(5\). Расстояние \(OM = 13\). Найти длину касательного отрезка \(MT\).

Ответ: \(MT = 12\).

---

Задача 2. Угол между двумя касательными

Из внешней точки \(M\) проведены два касательных отрезка \(MA\) и \(MB\) к окружности с центром \(O\). Угол \(\angle AMB = 60°\). Найти угол \(\angle AOB\).

Ответ: \(\angle AOB = 120°\).

---

Задача 3. Степень точки

Касательная из точки \(M\) имеет длину \(MT = 8\). Через \(M\) проведена секущая: ближняя точка пересечения \(A\), \(MA = 2\). Найти \(MB\) и длину хорды \(AB\).

Ответ: \(MB = 32\), \(AB = 30\).

---

Задача 4 (уровень задания 16 ЕГЭ). Общая касательная двух окружностей

Две окружности с радиусами \(R = 5\) и \(r = 2\) касаются внешним образом. Найти длину их общей внешней касательной.

Ответ: \(2\sqrt{10}\).

---

По этой теме есть отдельный разбор: планиметрию ЕГЭ профиль.

Частые вопросы

Почему касательная перпендикулярна радиусу, а не просто «прикасается» к окружности?

Перпендикулярность — строгое следствие единственности общей точки. Доказательство от противного: если бы радиус и касательная не были перпендикулярны, из центра можно было бы опустить на прямую перпендикуляр, который короче радиуса, — значит, его основание лежит внутри круга, и прямая пересекает окружность дважды. Это противоречит определению касательной.

Чем признак касательной отличается от свойства?

Свойство формулируется в одну сторону: из того, что прямая — касательная, следует перпендикулярность радиуса. Признак работает в обратную: из того, что прямая перпендикулярна радиусу в его конце, следует, что она касательная. В задачах на доказательство касательности применяется именно признак.

Как не запутаться в формуле степени точки?

В формуле \(MT^2 = MA \cdot MB\) обе величины — расстояния от внешней точки \(M\): \(MA\) до ближней точки пересечения секущей, \(MB\) до дальней. Нельзя подставлять длину хорды \(AB\) вместо \(MB\) — это самая частая ошибка при работе со свойствами касательной и секущей к окружности.

Можно ли провести касательную из точки, лежащей на окружности?

Да, ровно одну. Она перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Из внешней точки проводятся ровно две касательные; из внутренней точки касательную к окружности провести невозможно.

Как связаны отрезки касательных из вершин треугольника с его периметром?

Если вписанная окружность касается сторон треугольника, то касательные отрезки из каждой вершины равны \(p - a\), \(p - b\), \(p - c\), где \(p\) — полупериметр, а \(a\), \(b\), \(c\) — длины противолежащих сторон. Это следует напрямую из свойства двух отрезков касательных из одной точки.

По этой теме есть отдельный разбор: центральный и вписанный угол окружности.

По этой теме есть отдельный разбор: вписанную окружность в треугольник.